A-Level Mathematics · 9709Pure Mathematics 2/3（A2）微分・積分 · Calculus

微分の技法（積・商・合成）

Differentiation Techniques (Product, Quotient, Chain)

Pure 1 で学んだ $x^{n}$ の微分だけでは、 $x^{2} e^{x}$ や $\frac{x}{x + 1}$ 、 $(3 x + 2)^{5}$ のような関数は扱えません。この単元では、関数どうしの掛け算・割り算・合成を微分するための三つの公式——連鎖律・積の微分法・商の微分法——を学びます。あわせて $e^{x}$ 、 $ln x$ 、 $sin x$ 、 $cos x$ といった頻出関数の導関数も押さえます。どの公式をいつ使うかを見抜く判断力が A2 微積分の核心であり、後の積分や微分方程式の土台にもなります。

The rule for differentiating $x^{n}$ from Pure 1 alone cannot handle functions such as $x^{2} e^{x}$ , $\frac{x}{x + 1}$ or $(3 x + 2)^{5}$ . This topic introduces the three rules needed to differentiate products, quotients and compositions of functions — the chain rule, the product rule and the quotient rule. Alongside them you will learn the derivatives of the common functions $e^{x}$ , $ln x$ , $sin x$ and $cos x$ . Recognising which rule to apply, and when, is at the heart of A2 calculus and forms the foundation for later integration and differential equations.

合成関数の連鎖律

The chain rule

$y$ が $u$ の関数、 $u$ が $x$ の関数というように、関数が入れ子になっている（合成されている）とき、その微分は連鎖律で求めます。 $u$ を置いて「外側を微分 × 内側を微分」と機械的に処理するのがコツです。たとえば $y = (3 x + 2)^{5}$ なら $u = 3 x + 2$ と置けば $\frac{d y}{d x} = 5 u^{4} \times 3 = 15 (3 x + 2)^{4}$ 。

When functions are nested — $y$ a function of $u$ , and $u$ a function of $x$ — the derivative is found with the chain rule. The trick is to introduce a substitution $u$ and work mechanically: 'differentiate the outside, times differentiate the inside'. For example, with $y = (3 x + 2)^{5}$ , letting $u = 3 x + 2$ gives $\frac{d y}{d x} = 5 u^{4} \times 3 = 15 (3 x + 2)^{4}$ .

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

積の微分法

The product rule

二つの関数の積 $y = uv$ を微分するときは積の微分法を使います。「一方を微分して他方はそのまま」を二通り作って足す、と覚えると確実です。 $u$ と $v$ 、そして $u^{'} = \frac{d u}{d x}$ 、 $v^{'} = \frac{d v}{d x}$ を先に書き出してから当てはめると計算ミスが減ります。

To differentiate a product of two functions $y = uv$ , use the product rule. A reliable way to remember it: 'differentiate one and leave the other', formed both ways and added. Writing out $u$ and $v$ together with $u^{'} = \frac{d u}{d x}$ and $v^{'} = \frac{d v}{d x}$ before substituting reduces careless errors.

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

商の微分法

The quotient rule

二つの関数の商 $y = \frac{u}{v}$ を微分するときは商の微分法を使います。分子の符号と順序に注意してください——「（分子を微分）×分母 −（分母を微分）×分子」を分母の2乗で割る、という順番です。順序を逆にすると符号を間違えるので、 $u$ が上、 $v$ が下と固定して覚えるのが安全です。

To differentiate a quotient of two functions $y = \frac{u}{v}$ , use the quotient rule. Watch the order and sign in the numerator: '(differentiate the top) times the bottom, minus (differentiate the bottom) times the top', all over the bottom squared. Reversing the order flips the sign, so it is safest to fix $u$ as the top and $v$ as the bottom.

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

標準的な関数の導関数

Derivatives of standard functions

三つの公式を使う前に、部品となる基本関数の導関数を覚えておく必要があります。指数・対数・三角関数の代表的な導関数は次のとおりです。 $e^{x}$ は微分しても変わらないこと、 $sin$ と $cos$ の微分で符号がどう動くかが要注意ポイントです。

Before applying the three rules, you need the derivatives of the building-block functions at your fingertips. The standard derivatives of the exponential, logarithmic and trigonometric functions are listed below. Note especially that $e^{x}$ is unchanged by differentiation, and watch how the sign behaves when differentiating $sin$ and $cos$ .

\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}, \frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x}, \frac{d}{d x} sin x = cos x, \frac{d}{d x} cos x = - sin x

英語の数学用語

English

日本語

derivative

導関数

chain rule

連鎖律（合成関数の微分法）

product rule

積の微分法

quotient rule

商の微分法

composite function

合成関数

exponential function

指数関数

natural logarithm

自然対数

trigonometric function

三角関数

例題

Worked examples

例題 1Example 1

連鎖律

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}

を用いて、

y = (2 x^{2} + 1)^{4}

を微分せよ。Using the chain rule

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}

, differentiate

y = (2 x^{2} + 1)^{4}

解答 · SOLUTION

1.
$u = 2 x^{2} + 1$ と置くと $y = u^{4}$ 、 $\frac{d u}{d x} = 4 x$ 、 $\frac{d y}{d u} = 4 u^{3}$ 。Let $u = 2 x^{2} + 1$ , so $y = u^{4}$ , with $\frac{d u}{d x} = 4 x$ and $\frac{d y}{d u} = 4 u^{3}$ .
2.
連鎖律より $\frac{d y}{d x} = 4 u^{3} \times 4 x = 16 x u^{3}$ 。By the chain rule, $\frac{d y}{d x} = 4 u^{3} \times 4 x = 16 x u^{3}$ .
3.
$u$ を戻して $\frac{d y}{d x} = 16 x (2 x^{2} + 1)^{3}$ 。Substituting back, $\frac{d y}{d x} = 16 x (2 x^{2} + 1)^{3}$ .

答え · ANSWER

\frac{d y}{d x} = 16 x (2 x^{2} + 1)^{3}

\frac{d y}{d x} = 16 x (2 x^{2} + 1)^{3}

例題 2Example 2

積の微分法を用いて、

y = x^{2} e^{x}

を微分せよ。Using the product rule, differentiate

y = x^{2} e^{x}

解答 · SOLUTION

1.
$u = x^{2}, v = e^{x}$ と置くと $u^{'} = 2 x, v^{'} = e^{x}$ 。Let $u = x^{2}$ and $v = e^{x}$ , so $u^{'} = 2 x$ and $v^{'} = e^{x}$ .
2.
積の微分法 $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ より $\frac{d y}{d x} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$ 。By the product rule $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , $\frac{d y}{d x} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$ .
3.
共通因数 $x e^{x}$ でくくると $\frac{d y}{d x} = x e^{x} (2 + x)$ 。Factoring out $x e^{x}$ gives $\frac{d y}{d x} = x e^{x} (2 + x)$ .

答え · ANSWER

\frac{d y}{d x} = x e^{x} (x + 2)

\frac{d y}{d x} = x e^{x} (x + 2)

例題 3Example 3

商の微分法を用いて、

y = \frac{sin x}{x}

を微分せよ。Using the quotient rule, differentiate

y = \frac{sin x}{x}

解答 · SOLUTION

1.
$u = sin x, v = x$ と置くと $u^{'} = cos x, v^{'} = 1$ 。Let $u = sin x$ and $v = x$ , so $u^{'} = cos x$ and $v^{'} = 1$ .
2.
$\frac{d y}{d x} = \frac{cos x \cdot x - sin x \cdot 1}{x ^{2}}$ 。 $\frac{d y}{d x} = \frac{cos x \cdot x - sin x \cdot 1}{x ^{2}}$ .
3.
整理して $\frac{d y}{d x} = \frac{x cos x - sin x}{x ^{2}}$ 。Tidying up, $\frac{d y}{d x} = \frac{x cos x - sin x}{x ^{2}}$ .

答え · ANSWER

\frac{d y}{d x} = \frac{x cos x - sin x}{x ^{2}}

\frac{d y}{d x} = \frac{x cos x - sin x}{x ^{2}}

練習問題

Practice

まず「積・商・合成のどれか」を見分けることが第一歩です。

u

と

v

（または

u

）を書き出し、それぞれの導関数を求めてから公式に当てはめましょう。基本関数の導関数は暗記が前提です。The first step is always to identify whether you have a product, a quotient or a composition. Write out

u

and

v

(or just

u

), find each derivative, then substitute into the rule. The standard derivatives are assumed known by heart.

(1)
$y = (3 x + 2)^{5}$ を微分せよ。
答えを見る · Show answer
$\frac{d y}{d x} = 15 (3 x + 2)^{4}$
(2)
$y = ln (x^{2} + 1)$ を微分せよ。
答えを見る · Show answer
$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$
(3)
$y = x ln x$ を微分せよ。
答えを見る · Show answer
$\frac{d y}{d x} = ln x + 1$
(4)
$y = sin 3 x$ を微分せよ。
答えを見る · Show answer
$\frac{d y}{d x} = 3 cos 3 x$
(5)
$y = \frac{x}{x + 1}$ を微分せよ。
答えを見る · Show answer
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$
(6)
$y = \frac{e ^{x}}{x}$ を微分せよ。
答えを見る · Show answer
$\frac{d y}{d x} = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}$
(7)
$y = e^{x} sin x$ を微分せよ。
答えを見る · Show answer
$\frac{d y}{d x} = e^{x} (sin x + cos x)$
(8)
$y = (x^{2} + 3 x)^{6}$ を微分せよ。
答えを見る · Show answer
$\frac{d y}{d x} = 6 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x)^{5}$

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合成関数の連鎖律

The chain rule

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

積の微分法

The product rule

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

商の微分法

The quotient rule

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

標準的な関数の導関数

Derivatives of standard functions

\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}, \frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x}, \frac{d}{d x} sin x = cos x, \frac{d}{d x} cos x = - sin x

例題

Worked examples

例題 1Example 1

連鎖律

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}

を用いて、

y = (2 x^{2} + 1)^{4}

を微分せよ。Using the chain rule

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}

, differentiate

y = (2 x^{2} + 1)^{4}

解答 · SOLUTION

1.
$u = 2 x^{2} + 1$ と置くと $y = u^{4}$ 、 $\frac{d u}{d x} = 4 x$ 、 $\frac{d y}{d u} = 4 u^{3}$ 。Let $u = 2 x^{2} + 1$ , so $y = u^{4}$ , with $\frac{d u}{d x} = 4 x$ and $\frac{d y}{d u} = 4 u^{3}$ .
2.
連鎖律より $\frac{d y}{d x} = 4 u^{3} \times 4 x = 16 x u^{3}$ 。By the chain rule, $\frac{d y}{d x} = 4 u^{3} \times 4 x = 16 x u^{3}$ .
3.
$u$ を戻して $\frac{d y}{d x} = 16 x (2 x^{2} + 1)^{3}$ 。Substituting back, $\frac{d y}{d x} = 16 x (2 x^{2} + 1)^{3}$ .

答え · ANSWER

\frac{d y}{d x} = 16 x (2 x^{2} + 1)^{3}

\frac{d y}{d x} = 16 x (2 x^{2} + 1)^{3}

例題 2Example 2

積の微分法を用いて、

y = x^{2} e^{x}

を微分せよ。Using the product rule, differentiate

y = x^{2} e^{x}

解答 · SOLUTION

1.
$u = x^{2}, v = e^{x}$ と置くと $u^{'} = 2 x, v^{'} = e^{x}$ 。Let $u = x^{2}$ and $v = e^{x}$ , so $u^{'} = 2 x$ and $v^{'} = e^{x}$ .
2.
積の微分法 $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ より $\frac{d y}{d x} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$ 。By the product rule $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , $\frac{d y}{d x} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$ .
3.
共通因数 $x e^{x}$ でくくると $\frac{d y}{d x} = x e^{x} (2 + x)$ 。Factoring out $x e^{x}$ gives $\frac{d y}{d x} = x e^{x} (2 + x)$ .

答え · ANSWER

\frac{d y}{d x} = x e^{x} (x + 2)

\frac{d y}{d x} = x e^{x} (x + 2)

例題 3Example 3

商の微分法を用いて、

y = \frac{sin x}{x}

を微分せよ。Using the quotient rule, differentiate

y = \frac{sin x}{x}

解答 · SOLUTION

1.
$u = sin x, v = x$ と置くと $u^{'} = cos x, v^{'} = 1$ 。Let $u = sin x$ and $v = x$ , so $u^{'} = cos x$ and $v^{'} = 1$ .
2.
$\frac{d y}{d x} = \frac{cos x \cdot x - sin x \cdot 1}{x ^{2}}$ 。 $\frac{d y}{d x} = \frac{cos x \cdot x - sin x \cdot 1}{x ^{2}}$ .
3.
整理して $\frac{d y}{d x} = \frac{x cos x - sin x}{x ^{2}}$ 。Tidying up, $\frac{d y}{d x} = \frac{x cos x - sin x}{x ^{2}}$ .

答え · ANSWER

\frac{d y}{d x} = \frac{x cos x - sin x}{x ^{2}}

\frac{d y}{d x} = \frac{x cos x - sin x}{x ^{2}}

練習問題

Practice

まず「積・商・合成のどれか」を見分けることが第一歩です。

u

と

v

（または

u

u

and

v

(or just

u

), find each derivative, then substitute into the rule. The standard derivatives are assumed known by heart.

(1)

y = (3 x + 2)^{5}

を微分せよ。

答えを見る · Show answer

\frac{d y}{d x} = 15 (3 x + 2)^{4}

(2)

y = ln (x^{2} + 1)

を微分せよ。

答えを見る · Show answer

\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

(3)

y = x ln x

を微分せよ。

答えを見る · Show answer

\frac{d y}{d x} = ln x + 1

(4)

y = sin 3 x

を微分せよ。

答えを見る · Show answer

\frac{d y}{d x} = 3 cos 3 x

(5)

y = \frac{x}{x + 1}

を微分せよ。

答えを見る · Show answer

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

(6)

y = \frac{e ^{x}}{x}

を微分せよ。

答えを見る · Show answer

\frac{d y}{d x} = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}

(7)

y = e^{x} sin x

を微分せよ。

答えを見る · Show answer

\frac{d y}{d x} = e^{x} (sin x + cos x)

(8)

y = (x^{2} + 3 x)^{6}

を微分せよ。

答えを見る · Show answer

\frac{d y}{d x} = 6 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x)^{5}

微分の技法（積・商・合成）

合成関数の連鎖律

積の微分法

商の微分法

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英語の数学用語

例題

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