A-Level Mathematics · 9709Pure Mathematics 1微分積分 · Calculus

積分のはじめ

Introduction to Integration

このページの内容

べき乗の積分
定積分
英語の数学用語
例題
練習問題
A-Level 数学の他の単元

積分は微分の逆の操作です。 x^{n} の積分は、指数を1増やして、その新しい指数で割ります。不定積分では積分定数 + C を必ず付けます。 Integration is the reverse of differentiation. To integrate x^{n}, increase the power by one and divide by the new power. For indefinite integrals, always add the constant + C .

べき乗の積分

Integrating powers

基本公式は次のとおりです（ただし n \neq = - 1 ）。 The basic rule is as follows (for n \neq = - 1).

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

定積分

Definite integrals

定積分は、積分した式に上端・下端を代入して引きます。積分定数 C は打ち消し合うので不要です。 For a definite integral, substitute the upper and lower limits into the integrated expression and subtract. The constant C cancels, so it is not needed.

英語の数学用語

English	日本語
integration	積分（する）
integral	積分
constant of integration ( $C$ )	積分定数
definite integral	定積分
limits	（積分の）上端・下端

例題

Worked examples

例題 1Example 1

\int x^{2} d x を求めなさい。 Find \int x^{2} d x .

解答 · SOLUTION

1. $指数 2 を 1 増やして 3 、その 3 で割ります。 Increase the power 2 to 3, then divide by 3 .$

答え · ANSWER

\frac{x ^{3}}{3} + C \frac{x ^{3}}{3} + C

例題 2Example 2

\int (2 x + 3) d x を求めなさい。 Find \int (2 x + 3) d x .

解答 · SOLUTION

1. $項ごとに積分： 2 x \to x^{2} 、 3 \to 3 x 。 Integrate term by term: 2 x \to x^{2}, 3 \to 3 x .$

答え · ANSWER

x^{2} + 3 x + C x^{2} + 3 x + C

練習問題

Practice

(1)
$\int x^{4} d x$
答えを見る · Show answer
$\frac{x ^{5}}{5} + C$
(2)
$\int (6 x^{2} - 2) d x$
答えを見る · Show answer
$2 x^{3} - 2 x + C$
(3)
$\int_{0}^{2} x d x$
答えを見る · Show answer
$2$

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Integrating powers

基本公式は次のとおりです（ただし n \neq = - 1 ）。 The basic rule is as follows (for n \neq = - 1).

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

定積分

Definite integrals

定積分は、積分した式に上端・下端を代入して引きます。積分定数 C は打ち消し合うので不要です。 For a definite integral, substitute the upper and lower limits into the integrated expression and subtract. The constant C cancels, so it is not needed.

英語の数学用語

English	日本語
integration	積分（する）
integral	積分
constant of integration ( $C$ )	積分定数
definite integral	定積分
limits	（積分の）上端・下端

例題

Worked examples

例題 1Example 1

\int x^{2} d x を求めなさい。 Find \int x^{2} d x .

解答 · SOLUTION

1. $指数 2 を 1 増やして 3 、その 3 で割ります。 Increase the power 2 to 3, then divide by 3 .$

答え · ANSWER

\frac{x ^{3}}{3} + C \frac{x ^{3}}{3} + C

例題 2Example 2

\int (2 x + 3) d x を求めなさい。 Find \int (2 x + 3) d x .

解答 · SOLUTION

1. $項ごとに積分： 2 x \to x^{2} 、 3 \to 3 x 。 Integrate term by term: 2 x \to x^{2}, 3 \to 3 x .$

答え · ANSWER

x^{2} + 3 x + C x^{2} + 3 x + C

練習問題

Practice

(1)
$\int x^{4} d x$
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$\frac{x ^{5}}{5} + C$
(2)
$\int (6 x^{2} - 2) d x$
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