A-Level Mathematics · 9709Pure Mathematics 1微分積分 · Calculus

微分のはじめ

Introduction to Differentiation

このページの内容

べき乗の微分公式
項ごとに微分する
英語の数学用語
例題
練習問題
A-Level 数学の他の単元

微分とは、関数の「変化の割合（傾き）」を求める操作です。関数 y = f (x) を微分して得られる関数を導関数といい、 \frac{d y}{d x} または f^{'} (x) と書きます。 Differentiation finds the rate of change (gradient) of a function. Differentiating y = f (x) gives the derivative, written \frac{d y}{d x} or f^{'} (x) .

べき乗の微分公式

Differentiating powers

y = x^{n} のとき、導関数は指数を前に出して、指数を1減らします。これがすべての基本です。 If y = x^{n}, bring the power to the front and reduce the power by one. This is the fundamental rule.

\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}

項ごとに微分する

Differentiate term by term

いくつかの項の和は、項ごとに微分して足します。定数項は微分すると 0 になります（傾きがないため）。 For a sum of terms, differentiate each term and add. A constant term differentiates to 0 (it has no gradient).

英語の数学用語

English	日本語
differentiation	微分（する）
derivative ( $\frac{d y}{d x}$ )	導関数
gradient	傾き・変化の割合
power / index	指数
constant	定数

例題

Worked examples

例題 1Example 1

y = x^{3} を微分しなさい。 Differentiate y = x^{3} .

解答 · SOLUTION

1. $指数 3 を前に出し、指数を 1 減らして 2 にします。 Bring the power 3 to the front and reduce the power to 2 .$

答え · ANSWER

\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}

例題 2Example 2

y = 2 x^{3} - 4 x + 5 を微分しなさい。 Differentiate y = 2 x^{3} - 4 x + 5 .

解答 · SOLUTION

1. $2 x^{3} \to 6 x^{2} 、 - 4 x \to - 4 、定数 5 \to 0 。 2 x^{3} \to 6 x^{2}, - 4 x \to - 4, constant 5 \to 0 .$

答え · ANSWER

\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} - 4 \frac{d y}{d x} = 6 x^{2} - 4

練習問題

Practice

(1)
$y = x^{5}$
答えを見る · Show answer
$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4}$
(2)
$y = 3 x^{2} + 7 x - 2$
答えを見る · Show answer
$\frac{d y}{d x} = 6 x + 7$
(3)
$y = x^{4} - x$
答えを見る · Show answer
$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

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べき乗の微分公式

Differentiating powers

y = x^{n} のとき、導関数は指数を前に出して、指数を1減らします。これがすべての基本です。 If y = x^{n}, bring the power to the front and reduce the power by one. This is the fundamental rule.

\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}

項ごとに微分する

Differentiate term by term

いくつかの項の和は、項ごとに微分して足します。定数項は微分すると 0 になります（傾きがないため）。 For a sum of terms, differentiate each term and add. A constant term differentiates to 0 (it has no gradient).

英語の数学用語

English	日本語
differentiation	微分（する）
derivative ( $\frac{d y}{d x}$ )	導関数
gradient	傾き・変化の割合
power / index	指数
constant	定数

例題

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例題 1Example 1

y = x^{3} を微分しなさい。 Differentiate y = x^{3} .

解答 · SOLUTION

1. $指数 3 を前に出し、指数を 1 減らして 2 にします。 Bring the power 3 to the front and reduce the power to 2 .$

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\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}

例題 2Example 2

y = 2 x^{3} - 4 x + 5 を微分しなさい。 Differentiate y = 2 x^{3} - 4 x + 5 .

解答 · SOLUTION

1. $2 x^{3} \to 6 x^{2} 、 - 4 x \to - 4 、定数 5 \to 0 。 2 x^{3} \to 6 x^{2}, - 4 x \to - 4, constant 5 \to 0 .$

答え · ANSWER

\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} - 4 \frac{d y}{d x} = 6 x^{2} - 4

練習問題

Practice

(1)
$y = x^{5}$
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$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4}$
(2)
$y = 3 x^{2} + 7 x - 2$
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$\frac{d y}{d x} = 6 x + 7$
(3)
$y = x^{4} - x$
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$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

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