Permutations & Combinations
「何通りあるか」を数える技術が場合の数です。本単元では、選択肢を掛け合わせる積の法則、 個すべてを並べる階乗 、 個から 個を順序つきで選ぶ順列 、順序を問わず選ぶ組合せ を学びます。鍵となる問いはただ1つ——「順序は関係あるか？」。レースの金銀銅は順序が大事（順列）、委員会のメンバー選びは順序が無関係（組合せ）。この区別ができれば、確率計算の土台が完成します。
Counting 'how many ways' is the art of combinatorics. In this topic you will meet the multiplication principle (multiplying choices together), the factorial (arranging all objects), permutations (choosing from where order matters) and combinations (choosing where order does not). One question decides everything: does order matter? Gold, silver and bronze in a race depends on order (permutation); picking members for a committee does not (combination). Master this distinction and you have the foundation for probability.
The Multiplication Principle
ある作業がいくつかの段階に分かれていて、各段階の選び方が独立に決まるとき、全体の場合の数は各段階の数の積になります。例えば、上着が 着、ズボンが 本あれば、組み合わせは 通り。「これを選び、かつ、次にあれを選ぶ」というように「かつ」でつながる選択は、掛け算で数えるのが基本です。
When a task splits into several stages and the choices at each stage are made independently, the total number of ways is the product of the numbers at each stage. For example, with jackets and pairs of trousers there are outfits. Whenever choices are linked by 'and' — choose this, and then choose that — you count by multiplying.
The Factorial $n!$
個の異なるものを一列に並べる方法は何通りでしょう。1番目に 通り、2番目に残り 通り…と積の法則を使うと、 になります。これを （ の階乗）と書きます。例えば 。約束として と定めます（これは後の公式で必要になります）。
In how many ways can you arrange distinct objects in a row? By the multiplication principle there are choices for the first place, for the second, and so on, giving . We write this as ( factorial). For example . By convention , which is needed for the formulas that follow.
Permutations $^nP_r$ (Order Matters)
個の異なるものから 個を取り出して順序つきで並べる方法の数が順列 です。1番目に 通り、2番目に 通り…と 個ぶん掛けると、公式 が得られます。「並べる」「順位をつける」「席に座らせる」のように順序が結果に影響する場面で使います。例：。
A permutation counts the ways to take of distinct objects and arrange them in order. Multiplying choices for the first place, for the second, and so on for places gives the formula . Use it whenever order affects the outcome: arranging, ranking, or seating. For example .
Combinations $^nC_r=\binom{n}{r}$ (Order Does Not Matter)
個から 個を、順序を問わずただ選ぶだけの方法の数が組合せ （または ）です。順列では同じ 個の並べ替え 通りを別物として数えてしまうので、その重複を割って となります。「選ぶ」「チームを作る」「委員会を決める」のように順序が無関係な場面で使います。例：。
A combination (also written ) counts the ways to choose of objects when order does not matter. A permutation over-counts, treating the rearrangements of the same objects as different, so we divide that out: . Use it for choosing, forming a team, or selecting a committee. For example .
Deciding: Does Order Matter?
問題を読んだら、まず「並べ替えると別の結果になるか」を自問しましょう。なるなら順列 、ならないなら組合せ です。『金・銀・銅のメダル』『3桁の暗証番号』『一列に並ぶ』は順序が結果を変えるので順列。『チーム3人を選ぶ』『5枚のカードの手札』『委員会のメンバー』は順序が無関係なので組合せ。同じ「 から を」でも答えは 倍違うので、ここを正しく判断することが最重要です。
When you read a problem, first ask: would rearranging the chosen items give a different outcome? If yes, it is a permutation ; if no, a combination . 'Gold, silver and bronze medals', 'a 3-digit PIN', 'standing in a row' all change with order — permutations. 'Choosing a team of 3', 'a hand of 5 cards', 'members of a committee' do not depend on order — combinations. Even for the same 'choose from ', the answers differ by a factor of , so getting this judgement right is the most important step.
Worked examples
Practice
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