A-Level Mathematics · 9709Probability & Statistics（統計）確率・統計 · Probability & Statistics

順列と組合せ

Permutations & Combinations

このページの内容

積の法則
階乗 $n!$
順列 $^nP_r$（順序が関係する）
組合せ $^nC_r=\binom{n}{r}$（順序は関係ない）
「順序は関係あるか？」で見分ける
英語の数学用語
例題
練習問題
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「何通りあるか」を数える技術が場合の数です。本単元では、選択肢を掛け合わせる積の法則、 n 個すべてを並べる階乗 n! 、 n 個から r 個を順序つきで選ぶ順列^{n} P_{r} 、順序を問わず選ぶ組合せ^{n} C_{r} を学びます。鍵となる問いはただ1つ——「順序は関係あるか？」。レースの金銀銅は順序が大事（順列）、委員会のメンバー選びは順序が無関係（組合せ）。この区別ができれば、確率計算の土台が完成します。 Counting 'how many ways' is the art of combinatorics. In this topic you will meet the multiplication principle (multiplying choices together), the factorial n! (arranging all n objects), permutations^{n} P_{r} (choosing r from n where order matters) and combinations^{n} C_{r} (choosing where order does not). One question decides everything: does order matter? Gold, silver and bronze in a race depends on order (permutation); picking members for a committee does not (combination). Master this distinction and you have the foundation for probability.

積の法則

The Multiplication Principle

ある作業がいくつかの段階に分かれていて、各段階の選び方が独立に決まるとき、全体の場合の数は各段階の数の積になります。例えば、上着が 3 着、ズボンが 4 本あれば、組み合わせは 3 \times 4 = 12 通り。「これを選び、かつ、次にあれを選ぶ」というように「かつ」でつながる選択は、掛け算で数えるのが基本です。 When a task splits into several stages and the choices at each stage are made independently, the total number of ways is the product of the numbers at each stage. For example, with 3 jackets and 4 pairs of trousers there are 3 \times 4 = 12 outfits. Whenever choices are linked by 'and' — choose this, and then choose that — you count by multiplying.

n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}

階乗 $n!$

The Factorial $n!$

n 個の異なるものを一列に並べる方法は何通りでしょう。1番目に n 通り、2番目に残り n - 1 通り\dotsと積の法則を使うと、 n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1 になります。これを n! （ n の階乗）と書きます。例えば 5! = 120 。約束として 0! = 1 と定めます（これは後の公式で必要になります）。 In how many ways can you arrange n distinct objects in a row? By the multiplication principle there are n choices for the first place, n - 1 for the second, and so on, giving n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1 . We write this as n! (n factorial). For example 5! = 120 . By convention 0! = 1, which is needed for the formulas that follow.

n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1, 0! = 1

順列 $^nP_r$（順序が関係する）

Permutations $^nP_r$ (Order Matters)

n 個の異なるものから r 個を取り出して順序つきで並べる方法の数が順列^{n} P_{r} です。1番目に n 通り、2番目に n - 1 通り\dotsと r 個ぶん掛けると、公式^{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!} が得られます。「並べる」「順位をつける」「席に座らせる」のように順序が結果に影響する場面で使います。例：^{7} P_{3} = \frac{7 !}{4 !} = 7 \times 6 \times 5 = 210 。 A permutation^{n} P_{r} counts the ways to take r of n distinct objects and arrange them in order. Multiplying n choices for the first place, n - 1 for the second, and so on for r places gives the formula^{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!} . Use it whenever order affects the outcome: arranging, ranking, or seating. For example^{7} P_{3} = \frac{7 !}{4 !} = 7 \times 6 \times 5 = 210 .

^{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!}

組合せ $^nC_r=\binom{n}{r}$（順序は関係ない）

Combinations $^nC_r=\binom{n}{r}$ (Order Does Not Matter)

n 個から r 個を、順序を問わずただ選ぶだけの方法の数が組合せ^{n} C_{r} （または (r n) ）です。順列では同じ r 個の並べ替え r! 通りを別物として数えてしまうので、その重複を割って^{n} C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!} となります。「選ぶ」「チームを作る」「委員会を決める」のように順序が無関係な場面で使います。例： (3 10) = \frac{10 !}{3 ! 7 !} = 120 。 A combination^{n} C_{r} (also written (r n)) counts the ways to choose r of n objects when order does not matter. A permutation over-counts, treating the r! rearrangements of the same r objects as different, so we divide that out:^{n} C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!} . Use it for choosing, forming a team, or selecting a committee. For example (3 10) = \frac{10 !}{3 ! 7 !} = 120 .

^{n} C_{r} = (r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}

「順序は関係あるか？」⁠で見分ける

Deciding: Does Order Matter?

問題を読んだら、まず「並べ替えると別の結果になるか」を自問しましょう。なるなら順列^{n} P_{r} 、ならないなら組合せ^{n} C_{r} です。『金・銀・銅のメダル』『3桁の暗証番号』『一列に並ぶ』は順序が結果を変えるので順列。『チーム3人を選ぶ』『5枚のカードの手札』『委員会のメンバー』は順序が無関係なので組合せ。同じ「 n から r を」でも答えは r! 倍違うので、ここを正しく判断することが最重要です。 When you read a problem, first ask: would rearranging the chosen items give a different outcome? If yes, it is a permutation^{n} P_{r}; if no, a combination^{n} C_{r} . 'Gold, silver and bronze medals', 'a 3-digit PIN', 'standing in a row' all change with order — permutations. 'Choosing a team of 3', 'a hand of 5 cards', 'members of a committee' do not depend on order — combinations. Even for the same 'choose r from n', the answers differ by a factor of r!, so getting this judgement right is the most important step.

英語の数学用語

English	日本語
Multiplication principle	積の法則（各段階の数を掛ける）
Factorial (n!)	階乗 $n!$（$n$ 個を並べる数）
Permutation (ⁿPᵣ)	順列 $^nP_r$（順序つきの選び方）
Combination (ⁿCᵣ)	組合せ $^nC_r$（順序なしの選び方）
Order matters	順序が関係する（→ 順列）
Order does not matter	順序が無関係（→ 組合せ）
Arrangement	配列・並べ方
Selection	選択・選び方

例題

Worked examples

例題 1Example 1

棚に 7 冊の異なる本を並べる。(a) 全部を一列に並べる方法は何通りか。(b) 左から 3 冊ぶんの並べ方は何通りか。 There are 7 different books. (a) In how many ways can all 7 be arranged in a row? (b) In how many ways can just the first 3 positions be filled?

解答 · SOLUTION

1. $(a) 7 冊すべてを並べるので 7! = 5040 通り。 (a) Arranging all 7 gives 7! = 5040 ways.$
2. $(b) 7 冊から 3 か所へ順序つきで入れるので^{7} P_{3} = 7 \times 6 \times 5 = 210 通り。 (b) Filling 3 ordered places from 7 is^{7} P_{3} = 7 \times 6 \times 5 = 210 ways.$

答え · ANSWER

(a) 5040 通り、(b) 210 通り。 (a) 5040, (b) 210 .

例題 2Example 2

10 人の生徒から 3 人の委員を選ぶ。選び方は何通りか。 A committee of 3 is chosen from 10 students. In how many ways?

解答 · SOLUTION

1. $委員に順位はなく順序は無関係なので組合せを使う。 The committee has no ranking, so order does not matter — use a combination.$
2. $(3 10) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 通り。 (3 10) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 ways.$

答え · ANSWER

120 通り。 120 .

例題 3Example 3

8 人の走者のレースで、(a) 金・銀・銅メダルの授与のされ方、(b) 上位 3 人（順位を区別しない）の選ばれ方は何通りか。 In a race with 8 runners, (a) in how many ways can gold, silver and bronze be awarded? (b) In how many ways can 3 finalists (no order) be chosen?

解答 · SOLUTION

1. $(a) メダルには順位があり順序が結果を変えるので順列。^{8} P_{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336 通り。 (a) Medals are ranked, so order matters — a permutation.^{8} P_{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336 ways.$
2. $(b) ただ 3 人を選ぶだけで順序は無関係なので組合せ。 (3 8) = 56 通り。 (b) Choosing 3 with no order is a combination. (3 8) = 56 ways.$

答え · ANSWER

(a) 336 通り、(b) 56 通り。 (a) 336, (b) 56 .

練習問題

Practice

次の問題を解いてみましょう。まず「順序が関係するか」を判断し、順列^{n} P_{r} と組合せ^{n} C_{r} を使い分けること。 Try the following. First decide whether order matters, then choose between a permutation^{n} P_{r} and a combination^{n} C_{r} .

(1)
$6$ 人を一列に並べる方法は何通りか。
答えを見る · Show answer
$6! = 720$ 通り
(2)
$9$ 個の異なるものから $4$ 個を取り出して順序つきで並べる方法は何通りか。
答えを見る · Show answer
$^{9} P_{4} = 3024$ 通り
(3)
$12$ 人から $5$ 人を選ぶ（順序は問わない）方法は何通りか。
答えを見る · Show answer
$(5 12) = 792$ 通り
(4)
$7$ 個の異なる品物から $2$ 個を選ぶ方法は何通りか。
答えを見る · Show answer
$(2 7) = 21$ 通り
(5)
$0$ から $9$ の数字を使い、同じ数字を繰り返さずに $3$ 桁の暗証番号を作る方法は何通りか。
答えを見る · Show answer
$^{10} P_{3} = 720$ 通り
(6)
$5$ 人を一列の $5$ つの席に座らせる方法は何通りか。
答えを見る · Show answer
$5! = 120$ 通り
(7)
$10$ 人の選手から $6$ 人のチームを選ぶ方法は何通りか。
答えを見る · Show answer
$(6 10) = 210$ 通り
(8)
互いに異なる $4$ 文字 W, O, R, D を並べ替えてできる文字列は何通りか。
答えを見る · Show answer
$4! = 24$ 通り

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積の法則

The Multiplication Principle

ある作業がいくつかの段階に分かれていて、各段階の選び方が独立に決まるとき、全体の場合の数は各段階の数の積になります。例えば、上着が 3 着、ズボンが 4 本あれば、組み合わせは 3 \times 4 = 12 通り。「これを選び、かつ、次にあれを選ぶ」というように「かつ」でつながる選択は、掛け算で数えるのが基本です。 When a task splits into several stages and the choices at each stage are made independently, the total number of ways is the product of the numbers at each stage. For example, with 3 jackets and 4 pairs of trousers there are 3 \times 4 = 12 outfits. Whenever choices are linked by 'and' — choose this, and then choose that — you count by multiplying.

n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}

階乗 $n!$

The Factorial $n!$

n 個の異なるものを一列に並べる方法は何通りでしょう。1番目に n 通り、2番目に残り n - 1 通り\dotsと積の法則を使うと、 n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1 になります。これを n! （ n の階乗）と書きます。例えば 5! = 120 。約束として 0! = 1 と定めます（これは後の公式で必要になります）。 In how many ways can you arrange n distinct objects in a row? By the multiplication principle there are n choices for the first place, n - 1 for the second, and so on, giving n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1 . We write this as n! (n factorial). For example 5! = 120 . By convention 0! = 1, which is needed for the formulas that follow.

n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1, 0! = 1

順列 $^nP_r$（順序が関係する）

Permutations $^nP_r$ (Order Matters)

n 個の異なるものから r 個を取り出して順序つきで並べる方法の数が順列^{n} P_{r} です。1番目に n 通り、2番目に n - 1 通り\dotsと r 個ぶん掛けると、公式^{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!} が得られます。「並べる」「順位をつける」「席に座らせる」のように順序が結果に影響する場面で使います。例：^{7} P_{3} = \frac{7 !}{4 !} = 7 \times 6 \times 5 = 210 。 A permutation^{n} P_{r} counts the ways to take r of n distinct objects and arrange them in order. Multiplying n choices for the first place, n - 1 for the second, and so on for r places gives the formula^{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!} . Use it whenever order affects the outcome: arranging, ranking, or seating. For example^{7} P_{3} = \frac{7 !}{4 !} = 7 \times 6 \times 5 = 210 .

^{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!}

組合せ $^nC_r=\binom{n}{r}$（順序は関係ない）

Combinations $^nC_r=\binom{n}{r}$ (Order Does Not Matter)

n 個から r 個を、順序を問わずただ選ぶだけの方法の数が組合せ^{n} C_{r} （または (r n) ）です。順列では同じ r 個の並べ替え r! 通りを別物として数えてしまうので、その重複を割って^{n} C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!} となります。「選ぶ」「チームを作る」「委員会を決める」のように順序が無関係な場面で使います。例： (3 10) = \frac{10 !}{3 ! 7 !} = 120 。 A combination^{n} C_{r} (also written (r n)) counts the ways to choose r of n objects when order does not matter. A permutation over-counts, treating the r! rearrangements of the same r objects as different, so we divide that out:^{n} C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!} . Use it for choosing, forming a team, or selecting a committee. For example (3 10) = \frac{10 !}{3 ! 7 !} = 120 .

^{n} C_{r} = (r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}

「順序は関係あるか？」⁠で見分ける

Deciding: Does Order Matter?

問題を読んだら、まず「並べ替えると別の結果になるか」を自問しましょう。なるなら順列^{n} P_{r} 、ならないなら組合せ^{n} C_{r} です。『金・銀・銅のメダル』『3桁の暗証番号』『一列に並ぶ』は順序が結果を変えるので順列。『チーム3人を選ぶ』『5枚のカードの手札』『委員会のメンバー』は順序が無関係なので組合せ。同じ「 n から r を」でも答えは r! 倍違うので、ここを正しく判断することが最重要です。 When you read a problem, first ask: would rearranging the chosen items give a different outcome? If yes, it is a permutation^{n} P_{r}; if no, a combination^{n} C_{r} . 'Gold, silver and bronze medals', 'a 3-digit PIN', 'standing in a row' all change with order — permutations. 'Choosing a team of 3', 'a hand of 5 cards', 'members of a committee' do not depend on order — combinations. Even for the same 'choose r from n', the answers differ by a factor of r!, so getting this judgement right is the most important step.

英語の数学用語

English	日本語
Multiplication principle	積の法則（各段階の数を掛ける）
Factorial (n!)	階乗 $n!$（$n$ 個を並べる数）
Permutation (ⁿPᵣ)	順列 $^nP_r$（順序つきの選び方）
Combination (ⁿCᵣ)	組合せ $^nC_r$（順序なしの選び方）
Order matters	順序が関係する（→ 順列）
Order does not matter	順序が無関係（→ 組合せ）
Arrangement	配列・並べ方
Selection	選択・選び方

例題

Worked examples

例題 1Example 1

棚に 7 冊の異なる本を並べる。(a) 全部を一列に並べる方法は何通りか。(b) 左から 3 冊ぶんの並べ方は何通りか。 There are 7 different books. (a) In how many ways can all 7 be arranged in a row? (b) In how many ways can just the first 3 positions be filled?

解答 · SOLUTION

1. $(a) 7 冊すべてを並べるので 7! = 5040 通り。 (a) Arranging all 7 gives 7! = 5040 ways.$
2. $(b) 7 冊から 3 か所へ順序つきで入れるので^{7} P_{3} = 7 \times 6 \times 5 = 210 通り。 (b) Filling 3 ordered places from 7 is^{7} P_{3} = 7 \times 6 \times 5 = 210 ways.$

答え · ANSWER

(a) 5040 通り、(b) 210 通り。 (a) 5040, (b) 210 .

例題 2Example 2

10 人の生徒から 3 人の委員を選ぶ。選び方は何通りか。 A committee of 3 is chosen from 10 students. In how many ways?

解答 · SOLUTION

1. $委員に順位はなく順序は無関係なので組合せを使う。 The committee has no ranking, so order does not matter — use a combination.$
2. $(3 10) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 通り。 (3 10) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 ways.$

答え · ANSWER

120 通り。 120 .

例題 3Example 3

8 人の走者のレースで、(a) 金・銀・銅メダルの授与のされ方、(b) 上位 3 人（順位を区別しない）の選ばれ方は何通りか。 In a race with 8 runners, (a) in how many ways can gold, silver and bronze be awarded? (b) In how many ways can 3 finalists (no order) be chosen?

解答 · SOLUTION

1. $(a) メダルには順位があり順序が結果を変えるので順列。^{8} P_{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336 通り。 (a) Medals are ranked, so order matters — a permutation.^{8} P_{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336 ways.$
2. $(b) ただ 3 人を選ぶだけで順序は無関係なので組合せ。 (3 8) = 56 通り。 (b) Choosing 3 with no order is a combination. (3 8) = 56 ways.$

答え · ANSWER

(a) 336 通り、(b) 56 通り。 (a) 336, (b) 56 .

練習問題

Practice

次の問題を解いてみましょう。まず「順序が関係するか」を判断し、順列^{n} P_{r} と組合せ^{n} C_{r} を使い分けること。 Try the following. First decide whether order matters, then choose between a permutation^{n} P_{r} and a combination^{n} C_{r} .

(1)
$6$ 人を一列に並べる方法は何通りか。
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$6! = 720$ 通り
(2)
$9$ 個の異なるものから $4$ 個を取り出して順序つきで並べる方法は何通りか。
答えを見る · Show answer
$^{9} P_{4} = 3024$ 通り
(3)
$12$ 人から $5$ 人を選ぶ（順序は問わない）方法は何通りか。
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$(5 12) = 792$ 通り
(4)
$7$ 個の異なる品物から $2$ 個を選ぶ方法は何通りか。
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$(2 7) = 21$ 通り
(5)
$0$ から $9$ の数字を使い、同じ数字を繰り返さずに $3$ 桁の暗証番号を作る方法は何通りか。
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$^{10} P_{3} = 720$ 通り
(6)
$5$ 人を一列の $5$ つの席に座らせる方法は何通りか。
答えを見る · Show answer
$5! = 120$ 通り
(7)
$10$ 人の選手から $6$ 人のチームを選ぶ方法は何通りか。
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$(6 10) = 210$ 通り
(8)
互いに異なる $4$ 文字 W, O, R, D を並べ替えてできる文字列は何通りか。
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$4! = 24$ 通り

順列と組合せ

積の法則

階乗 $n!$

順列 $^nP_r$（順序が関係する）

組合せ $^nC_r=\binom{n}{r}$（順序は関係ない）

「順序は関係あるか？」⁠で見分ける

英語の数学用語

例題

練習問題

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順列と組合せ

積の法則

階乗 $n!$

順列 $^nP_r$（順序が関係する）

組合せ $^nC_r=\binom{n}{r}$（順序は関係ない）

「順序は関係あるか？」⁠で見分ける

英語の数学用語

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