IGCSE 数学 0580
解法パターン133選

「Write 2016 as the product of prime factors」「Find the highest common factor (HCF) of 36 and 84」「Find the lowest common multiple (LCM) of 20 and 24」、28x⁵ と 98x³ の HCF、「From this list, write down a cube number / a prime number / an irrational number」、「PN が square number になる最小の P」、「N=2⁴×3⁵×7 のとき 14N を素因数の積で書け」、「The sum of the prime numbers greater than 6 and less than x is 18. Find a possible value for x」のように和から範囲を逆算する型。

「Shade the region (Acup B)'」「Use set notation to describe the shaded region」「Complete the Venn diagram」「xi=(x:1≤ x≤20)、A=(even numbers)」「Find n(Acap B')」「1人選ぶときの確率を求めよ」「2人を無作為に選ぶときの確率を求めよ」など、ベン図または集合記号が出てくるすべての設問。

「simple interest at a rate of r% per year」「compound interest」「increases / decreases exponentially at a rate of r% per year」と書かれ、元金・利率・年数・最終額のどれかが未知の設問。「Find the value of r」「find the number of complete years」「in which year is it first greater than」もここ。

「Write ... in standard form」「Give your answer in standard form」「Write 1.27×10⁻³ as an ordinary number」、27^-2/3 や 125²/3 の値、5⁵×5⁻⁵ のような指数法則、10⁴⁰⁰div(10²²⁰×10⁸⁰)=10^(k)、「Simplify √(300)+√(48)」「Expand and simplify (2-√5)(1-3√5)」「(5-√2)(1+3√2)=c+k√2 の c と k を求めよ」「Rationalise the denominator」。

出発・到着時刻や所要時間が与えられて経過時間・到着時刻を求める設問、速さ・距離・時間のうち2つが与えられて残り1つを指定単位（km/h、m/s、h min）で求める設問、「average speed for the whole journey」、「a train of length 105 m passes completely through a station」、速さ時間グラフから加速度や距離を読む設問。

1点前後の短答で、「correct to 2 significant figures / 1 decimal place / the nearest 10」と丸め方だけを指示される、「By writing each number correct to 1 significant figure, work out an estimate」と概算を求められる、分数・％・循環小数・標準形を「in order of size, starting with the smallest」で並べる、< > = を選ぶ、「Write ... in figures」、温度や標高で負の数の差や増減を求める設問。

「correct to the nearest 5 cm」「correct to 1 decimal place」「correct to 2 significant figures」と丸め方が書かれていて、upper bound / lower bound / largest possible value / smallest possible value を求める設問、または「Complete this statement about the value of ...」で不等式を書かせる設問。

「Without using a calculator」「You must show all your working」と書かれ、分数どうしの＋または−が中心の式。答えの形が「as a fraction in its simplest form」「as a mixed number」で指定される。同じ式に×÷や括弧が混ざっている4点前後の問題や、全体を1として残りを求める文章題もここに入る。

数字の上に点のついた小数（0.dot4、0.2dot6、0.dot62dot1）が与えられ、「Write the recurring decimal ... as a fraction」「in its simplest form」と言われる設問。2点以上のときは「You must show all your working」が必ず付く。

「Calculate.」「Work out」とだけ書かれ、分数線・根号・累乗・三角比が入った式が1本示される1〜2点の問題。「correct to 2 decimal places」「writing down your full calculator display」が続くこともある。「Insert one pair of brackets to make this calculation correct」もここに入る。

答えを比（a:b）の形で書く設問。「share 640 in the ratio 8 : 15 : 9」「Divide90 in the ratio 2 : 3」のように全体量（または1項の値）と比が与えられる型、「Write the ratio ... in its simplest form」「in the form 1 : n」、表の2つの値（標準形でもよい）から 1:n を作る型。「The scale of a map is 1 : 125 000」の縮尺で、地図上の長さ・面積から実際を求める型、実際の面積と縮尺から図面上の面積を求める型、図と実際の面積から縮尺 1:n を求める型もここ。⚠️「Write A as a fraction of B」のように分数で答えるよう指示されたら P10 へ。

「Without using a calculator, work out 21/4×32/3」「2/7div6/11」のように × か ÷ が中心で、答えを「fraction in its simplest form」「mixed number」で求められる3〜4点の問題。「7/11 of 198 kg」のように量に分数をかける型や「Find the reciprocal of 11/4」も同じ。

「The sale price 924 is after a 12% reduction」「4%の損で6000 で売った」「5%増えて546台になった」「This includes a tax of 6%」「45 litres is 72% of ...」のように、すでに変化したあとの値が与えられて、もとの値段・元本・もとの個数を聞かれる設問。「This is 3/13 of the number he had at the beginning」のように分数で与えられる型も同じ。

「Work out A as a percentage of B」「Write 55 g as a percentage of 2.2 kg」「Calculate the percentage increase / decrease / profit / loss」のように2つの量から割合そのものを答える設問。「Write 0.70 as a fraction of5.60」「Write 32 cm as a fraction of 2 m, give your answer in its lowest (simplest) terms」のように分数で答える型、「Write 72% as a fraction in its simplest form」「Write 0.004 as a fraction」、および表に標準形で与えられた面積・人口から「AはBの何%か」「population density」を出す大問もここ。

「1 = 68.14 rupees」のように為替レートが1行で与えられて金額を換算する設問、「0.50 per kilometre plus 0.40 per minute」「15.50 for the first hour and then 7.25 for each additional hour」のような基本料金＋単価の料金体系、「In which country does 1 litre cost more and by how much」のような1あたりの比較、表の空欄を単価から埋める設問。

「Increase 42 by 16%」「reduced by 15%」「a discount of 15%」「pays 7% tax on」「18% of the 600 cakes」のように、もとの値と増減率の両方が数で与えられ、変化後の値・部分の量・残りを聞かれる設問。「1年目に15%増、翌年さらに18%増」「20%下がり翌年さらに15%下がった。overall percentage change は」のように変化が2回以上続く型、さらに「1年目の率と2年間の overall が与えられ、2年目の率を求める」逆向きの型も同じ。

「Simplify 2m²×5m³」「t²¹div t⁷」「(16x⁸)^(3/4)」のような累乗の整理、および「Solve 16^(x)=4」「3^(q)×27=1/81」「Find m in terms of n」のような指数方程式。

「Simplify」で分子・分母に x の式が入っている、「Write as a single fraction in its simplest form」、関数の f(x)+g(x) や f(x)-g(x) を1つの分数で書けと言われたとき。分数式の掛け算・割り算も同じ。

「Find V when m=10 and p=-3」「Solve 3(2x-7)=15」「Solve 5-2x<11」「Find x when f(x)=19」「Write down the integers that satisfy」、数直線と不等式の読み替え。答えが数になる小問。

「Find the nth term of this sequence」「Find the next two terms」「Sequence A / B / C の表を完成させよ」。図形のパターンが並んでいて個数を数えさせる設問も同じ。「The sum of the first n terms is ...」と和の式が与えられる型も含む。

「Complete the table of values」「Draw the graph of y=… for -3≤ x≤3」「Use your graph to solve」「By drawing a suitable straight line, solve」「By drawing a tangent, find the gradient」「On the axes, sketch the graph of」。

「Factorise」「Factorise completely」。12a³-21a、3x²-12xy のように全部の項に同じものが入っている式、x²-49、x²+7x+12、6x²+x-15、項が4つ並んだ式。

「Solve the simultaneous equations」「The line ... intersects the curve ... at A and B. Find the coordinates」。数列の一般項に a、b があり、いくつかの項の値から求めるときも同じ手順になる。

「Solve x²+7x+12=0」「Solve, giving your answers correct to 2 decimal places」「Use the quadratic formula」「Write x²+7x-5 in the form (x+a)²+b」、分母に x がある方程式の「Solve」、頂点や最小点の座標から係数を求める設問。

「Make x the subject of the formula」「Rearrange the formula」「Find f⁻¹(x)」のように、答えが数ではなく式になる問題。f⁻¹(3) や ff⁻¹(x) のように逆関数に値や関数が入っている形も同じ考え方。

「y is directly proportional to x²」「y is inversely proportional to the square root of (x+1)」「Find y in terms of x」「When x=7, y=9. Find y when x=23」。「Explain what happens to F when d is halved」「when the value of p is multiplied by 9」「x is increased by a factor of 4」のように倍率だけを聞く小問も同じ型。

「Expand and simplify」「Expand the brackets」と言われ、かっこが1つ〜3つ並んでいる式。(x+4)²、かっこの前がマイナスや文字、「... is equivalent to ...」で定数 a、b、c を求める形もこの型。

「Find dy/dx」「Find the coordinates of the stationary points」「Find the gradient of the curve at x=2」「Find the equation of the tangent」「Determine whether it is a maximum or a minimum」。

縦軸が Speed、横軸が Time のグラフで「Calculate the acceleration」「Work out the total distance travelled」「Find the average speed」「Complete the speed-time graph」「estimate the acceleration at t=7.5 seconds」と聞かれるとき。縦軸が Distance の距離時間グラフ（distance-time graph）で「Find the speed of the train between 07 00 and 07 30」「Calculate the average speed for the whole journey」「Write down the part of the journey with the fastest speed」「Draw this part of the journey on the diagram」と聞かれるときも同じ型。

「Write down an expression, in terms of x, for ...」「Write an equation in terms of x and show that it simplifies to x²+5x-24=0」。速さ・単価・面積・角度の関係が文章や図で与えられ、まず式を作らせる設問。

「By shading the unwanted regions, find and label the region R」「Write down the three inequalities that define the shaded region」、および領域の中の整数の点で利益や費用を最大・最小にする設問。

「Find f(-3)」「Find gf(3)」「Find fg(x) in its simplest form」「Find f(2x)」「Find the value of hh(2)」のように、関数に数や式を入れて値・式を求める設問。

「parallel to AB」「perpendicular to line L」「perpendicular to PQ and passes through P」と書かれ、通る点が1つ指定されている設問。「Show that the equation of L3 is y=2x-1」のように答が先に示される形や、凧形（kite）の対角線のように図形の性質から垂直だと分かる形も同じ手順。

「Find the equation of the perpendicular bisector of AB」「Show that the perpendicular bisector is 2y+5x=74」と書かれた設問。凧形の対称軸、「A と B から等距離にある点が並ぶ直線」、円の直径 PQ の垂直二等分線も同じ型。2点の座標だけが与えられ、通る点（中点）は自分で作らなければならない。

2点の座標（A と B、P と Q など。図に点だけ打たれている形も含む）が与えられ「Find the equation of the line through A and B」「Give your answer in the form y=mx+c」と指示される設問。「Find the gradient of the line joining the points」のように傾きだけを問う短答も同じ入口。

直線の式が文字式で与えられ、「Write down the gradient」「Find the co-ordinates of the point where the line crosses the y-axis」「Work out the co-ordinates of the point of intersection of line A and line B」「Show that these two lines are perpendicular」のように、式そのものから情報を取り出す設問。3x-8y+20=0 や 3x+2y=18 のように y= の形になっていない式で聞かれることが多い。同じ大問の続きで「2直線と y 軸で囲まれた面積」「3点でできる三角形の面積」を聞かれる形も、この手順の延長で処理する。

方眼のグラフに直線 l や L が描かれていて「Work out the gradient of the line L」「Find the equation of line l」と問われる設問。座標の数値は文章に書かれていない。「By drawing a suitable tangent, find the values of a and b」のように自分で接線を引いてから読み取る形も同じ。

2点の座標が与えられて「Find the length of AB」「Calculate the length」「Show that OP=OQ」と長さを聞かれるとき、または「Calculate the angle between the line AB and the x-axis」「Calculate the acute angle between AC and the x-axis」と角度を聞かれるとき。「as a surd in its simplest form」と指定される形や、そのまま円の半径・円周に使う形も同じ入口。まず「overrightarrowPQ（列ベクトル）を聞かれているのか、長さ PQ を聞かれているのか」を設問文で確認する（どちらも同じ Delta x, Delta y から出発するので取り違えやすい。矢印つきの overrightarrowPQ や解答欄が縦2段なら列ベクトルで答える別パターン）。

求めたい点や文字が直接与えられず、「A line has gradient 5. M is (x, 8) and N is (k, 23)」「The line has a gradient of 2」＋座標に k が入る形、「A point H lies on the y-axis such that the distance GH=13 units」「D is the point on CE such that 2CE=5DE」「平行四辺形 ABCD の4つ目の頂点 D」「正方形 ABCD の残りの頂点 C と D（a, b はともに正の整数）」「AM:MB=2:3 となる M の位置ベクトルを a と b で表せ」のように、条件からしか答えが決まらない設問。「the two possible positions」とあれば答えは必ず2つ。

2点の座標（数値でも w や b のような文字でも）が与えられて「Find the coordinates of the midpoint of the line AB」「Find the mid-point of AB」とだけ聞かれる設問。直径の両端が与えられて円の中心を聞かれる形も同じ。逆に「AB is a line with midpoint M. A is (2, 3) and M is (12, 7). Find the coordinates of B」のように、片方の端点と中点からもう一方の端点を求める形も同じ道具で解く。凧形 ABCD では対称軸でない対角線 BD が交点で2等分されるので、「対角線の交点は BD の中点」と読み替えて D を求める。配点2点＝座標ごとに1点、が定型。

「Write as column vectors」「overrightarrowAB=」のように矢印つきのベクトルを問われ、解答欄が縦2段の括弧になっている設問。O が原点で overrightarrowOB を聞かれる形や、同じ大問で overrightarrowPQ（ベクトル）と PQ（長さ）が続けて問われる形も含む。矢印がついていればベクトル、|overrightarrowPQ| や「Find the length」なら長さ（三平方のパターン）と、最初に見分ける。

regular polygon、interior angle、exterior angle、number of sides や hexagon / octagon / decagon の語がある。角から辺の数、辺の数から角、どちらの向きも出る。角が文字式や比で与えられる形、2つの正多角形が1つの頂点に集まる形や1辺を共有して隣り合う形もここ。

Using a ruler and compasses only、Leave in your construction arcs、equidistant from A and B、nearer to AC than to AB、Shade the region、construct the position of ... と書かれている。

図に角の数値がいくつか書き込まれていて、isosceles・quadrilateral・straight line・equilateral などの語や等辺の印がある。x や angle BAC を求めさせる1〜3点の設問。

円周上に4点以上あって弦や四角形ができている図、diameter や DOB is a straight line と書かれている図、AB is extended to F のように一辺が延長されている図。中心Oがなくても使える。「どの線が直径か選べ（ring the line that is a diameter）」「なぜ BD は直径でないのか」のように直径そのものを判定させる設問、直径の両端と円周上の点でできる直角三角形に長さが与えられて円周や弧の長さを聞かれる設問もここ。

mathematically similar な2つの立体・容器・図形で、体積（容積・リットル・質量）または面積が両方与えられ、長さが片方だけ、あるいは1つも与えられていない。0580で最も出る型。

図に centre O があり、Oから円周へ線が引かれている。角OBAのような半径と弦のなす角が与えられている、または同じ弧に中心角と円周角の両方が現れている。reflex（優角）が絡む図もここ。

the bearing of B from A、Find the actual distance、Measure the marked angle、Write the scale in the form 1 : n、Mark the position of B のように、方位・測定・縮尺換算を求められる。NOT TO SCALE なら計算、Scale 付きなら測定。

tangent to the circle at T のように接点が明示されている。接点と中心が結ばれている、外部の1点から接線が2本出ている、接点から弦が出ている、のどれかが図にある。

Write down the order of rotational symmetry、draw all the lines of symmetry、Shade one more small square so that ...、A quadrilateral has one line of symmetry and no rotational symmetry のように、対称性そのものを数える・描く・名前で答える。

図に平行の矢印があり parallel、a straight line intersecting two parallel lines と書かれている。NOT TO SCALE の図に x° や y° があり、与えられた角から離れた場所の角を求めさせる。

図の角が (3x-40)°、2x°、(4m+38)° のように文字式で書かれている、または a:b:c=3:4:5 の比で与えられている。find the value of x、Show that ... と続く。文字式が書かれていなくても、同じ大きさの未知角が図の2か所以上に現れて「和から引くだけ」では届かない設問（二等辺の等しい角が2組ある図、「残りの角はすべて等しい」と書かれた多角形など）もこの型。

Triangle ABC is similar to triangle PQR と宣言されている、ABとCDが平行でADとBCが点Xで交わっている、PQがBCに平行で三角形の中に小さい三角形が入っている、円の中で2本の弦が交わっている。図は NOT TO SCALE。

mathematically similar と書かれ、対応する長さが1組（または縮尺 1 : n）与えられていて、面積・表面積・ラベルの面積・体積・容積・質量を求めさせる。影の部分の面積の比を聞かれる形もここ。

Explain, giving reasons, why triangle ... is similar to ...、Show that triangle ... is isosceles、Complete the following statements and reasons、Congruent or not congruent と条件名の表を埋める、SSS ASA SAS RHS に丸をつける。正多角形の図で「合同な三角形はどれか」を答えさせる形式もここ。

giving a geometrical reason、Give a reason for each step of your working、Complete the statement、... is called のように、値だけでなく理由や名称そのものを書かせる。解答欄が「= _(_)_ because _(_)_」の形になっている。

The diagram shows the net of a cuboid、Write down the mathematical name of this solid、The sum of each pair of opposite faces is 7、the number of planes of symmetry、The axis of rotational symmetry passes through ... のように立体そのものを問われる。

直方体・角柱・円柱・円錐・球・半球の寸法がすべて与えられていて「Calculate the volume」「Calculate the total surface area」と聞かれるとき。断面が台形・三角形・正多角形の角柱、単位を答えさせる設問も同じ。角柱の体積が先に与えられて断面の高さ・辺を show that する型（例 volume 253.8 cm3 の prism で h を求める）もここから入る。

面積・周・弧長・扇形の面積のほうが先に与えられ、h・x・半径・中心角を求めよと言われるとき。「The area of the triangle is 528 cm2」「The perimeter of each of the three shapes is 60 cm」「The total perimeter of a semicircle is 19.02 cm」「Find the value of k」「Show that x=108」も同じ入口。

「a shape made from a square and a semicircle」「Work out the area of the shaded region」「Calculate the percentage of the rectangle that is shaded」のように、2つ以上の基本図形をつないだ図・食い込んだ図の面積。正多角形の面積、正多角形の面積が先に与えられて1辺を show that する型、答えを a+kπ で書かせる型も同じ。

「a solid made from a cone and a hemisphere」のように立体をつないだ形、球をくり抜いた立方体・箱のすきま、「The sphere touches all the faces of the cube」のようにぴったり入っている形、「a cut is made parallel to the base and the top section is removed」の錐台。2つの複合立体の表面積が等しいと言われる型も含む。

面積・周・弧・扇形を聞かれているのに、垂直高さ・半径・中心角が図に書かれていないとき。等脚台形、直角、接線（接点で 90°）、弦、正多角形、座標だけが与えられている型。

半径（または直径）と中心角がそのまま与えられていて、円周・円の面積・弧長・扇形の面積・扇形の周長（perimeter of the sector）のどれかを聞かれているとき。他の図形処理をしなくても数値がそろっている型。「major arc」「major sector」「give your answer in terms of π」「The perimeter of this sector is (p+qπ) cm. Find the value of p and the value of q」も同じ入口。

体積や表面積の値が先に与えられ、半径・高さ・辺の長さを Calculate / Find the value of と聞かれるとき。「has a curved surface area of 105π cm2」「The surface area of the sphere is 81π cm2」「高さは半径の2倍」のように関係だけが与えられる型も同じ。「The volume of the cylinder is equal to the volume of the sphere. Find the value of r」のように、2つの立体の体積（または表面積）が等しいと言われて片方の寸法を求める型もここ。melted down / poured into のような融解・移し替えの記述があるときだけ men-P13 に回す。

「[Density = mass ÷ volume]」「0.015 per cm2」「flows at a speed of 8 cm/s」「75 000 litres per second」のように1あたりの量が添えられ、答えの単位が kg・kg/m3・litres・minutes・cents で指定されているとき。

弦と弧で囲まれた影の部分（segment・the shaded segment）の面積を求めるとき。横に寝た円柱・半円柱に深さ d まで水が入っていて、体積や litres を聞かれるときも同じ手順。

melted down and made into / poured into / filled / the level of the water decreases / how many complete ... can be made。溶かす・移す・注ぐ・沈めるという記述があるときは、文中で2つの立体の体積が等しいと書かれていてもこちら。融解や移し替えの記述がなく「体積（表面積）が等しい」とだけ書かれて寸法を求める型は men-P12。

円錐で母線と半径だけ（または垂直高さと半径だけ）が与えられて体積・曲面積・全表面積を聞かれるとき。角錐で側面の三角形の高さが図に書かれていない型も同じ。

扇形を丸めて円錐にする、円錐を母線で切り開いて扇形にする、長方形を丸めて円柱にする、展開図から寸法を求める型。sector angle x や底面の半径 r を求めさせる。

「Calculate the area」「Work out the area」と聞かれ、図に底辺と垂直高さ（台形なら平行な2辺と高さ）がすべて書き込まれているとき。2点の短答が中心。

perimeter（周の長さ）を聞かれている図形。扇形、弓形、合同な図形を貼り合わせた形、扇形と長方形の複合図形など。「Work out the perimeter of the shape」「Calculate the perimeter of the shaded segment」。

「Change 6200 cm2 into m2」「Convert 0.037 m3 into cm3」「Change 62 000 millimetres into kilometres」「Write these lengths in order of size, starting with the smallest」のように、換算そのものを聞かれる1〜2点の短答。

「mathematically similar」と書かれた2つの図形・立体が出てきて、対応する量が2種類与えられて残りを聞かれるとき。「The ratio of the radii of these two spheres is 1 : 2」のように比で与えられる型も同じ。

直方体・角柱・角錐の図（NOT TO SCALE）で「Calculate the angle between AG and the base ABCD」「the angle that the diagonal BH makes with the face ADHE」「the angle between the edge PB and the base」と問われている。

「Solve the equation … for 0°≤ x≤ 360°」で解答欄が2つ並んでいる、「x is an obtuse angle and sin x=0.43」「find the reflex angle x」のように角の種類が指定されて欄が1つ、または「Use your calculator to work out …」と三角比の値だけを聞かれる1点問題。

三角形の3辺の長さだけが与えられて角度（x°、p°、angle LMN、the largest angle）を聞かれている。角が1つも与えられていないのが合図。四角形で対角線を先に求めてから角を聞く後半でも出る。

2辺とその間の角（挟角）が与えられ、残りの辺を聞かれている。「Show that AB = 59.3 m, correct to 1 decimal place」の show that 型も同じ。未知辺 x が2か所に現れて「show that 2x²-17x-168=0」と二次式を作らせる形もこの型。

2辺と挟角がそろっていて Calculate the area、四角形や畑の総面積、ヘクタール換算や1軒あたりの土地で割る設問。逆に「The area of triangle ABC is 62.89 cm²」「show that angle EBA = 32」のように面積（や角柱の体積）が先に与えられて角・辺・x を聞かれる設問。

辺が2本と、その一方に向かい合う角が1つ与えられて角度（angle ABC、x°、y°）を聞かれている。「Calculate the obtuse angle BDC」「Angle ABC is obtuse」と鈍角が明記されていることもある。

正多角形（五角形・六角形）の内角・中心角を使う図、垂線・中点・等辺の印があって対称性で直角三角形に切り分けられる図、四角形が対角線で2つの三角形に分かれた図、扇形と三角形の組合せなど、1つの図が複数の三角形に分かれ、(i)(ii)(iii) と小問が続いて前で出した辺や角を次の三角形へ渡していく設問。面積の合計そのものを聞かれる設問は tri-P10 で扱う。

「Calculate the length of a diagonal of the cuboid」「Calculate BM」「Calculate the length of the rod PQ」。端点が「M is the midpoint of HG」「HQ : QG = 4 : 1」と与えられる形、対角線の長さから辺を逆算する形、「Show that this rod does not fit completely inside the box」もこの型。

直角の印がある三角形に、辺が2つだけ書かれて角を聞かれる、または角1つと辺1つが書かれて長さを聞かれる。「Calculate angle BAC」「Calculate the value of x」「Calculate AB」で、正弦定理・余弦定理を使うほどの情報がない場合。

直角のない三角形で、1辺と角が2つ（または内角の和・直線上の角・平行線の錯角で2つ目が作れる形）与えられ、別の辺の長さを聞かれている。「Use the sine rule to calculate …」と指定されることも多い。

図に North の矢印があり「The bearing of C from A is 145°」と方位角が与えられている、または「Find the bearing of B from C」と方位角そのものを聞かれている。「due east of」「due north of」が方位角と混ざる図も含む。

「On the axes, sketch the graph of y=sin x for 0°≤ x≤ 360°」と目盛りだけの軸が印刷されている、「Complete the table of values」「Draw the graph」「By drawing a suitable straight line, solve」が並ぶ大問、「Describe fully the symmetry」。

角度が与えられず長さだけが2つある。弦の中点、長方形の対角線、垂線など図から直角が読み取れて、辺・周・面積を求める。辺の長さが t や (2t+3) のように文字式で書かれた配点5以上の設問もこの型。

「exact value」「in surd form」「in the form p+k√q」「in terms of n」「Write down the value of cos 90°」のように答えの形が指定されている、または2025年以降のPaper 2（電卓不可）で 0°・30°・45°・60°・90° が出てくる設問。

「Calculate the shortest distance from C to BD」「D is the point on AC that is nearest to B」「the shortest possible length of this new road」のように、点から直線（辺）までの距離を聞かれている。

「angle of elevation」「angle of depression」「vertical pole」「from the top of a building」など、文章と横から見た図で角を扱う問題。高さの違う2本の柱や、目線の高さが書き込まれている図が合図。

「M is the midpoint of AB」「AP : PB = 4 : 1」「BF=4FC」「MS : SN = 5 : 3」のように線分を分ける点が定義され、その位置ベクトルや、その点を通るベクトルを文字式で求めるとき。0580の変換とベクトルで最も出る型。配点2〜4点。

「Describe fully the single transformation…」で、2つの図形が合同なのに辺の向きが 90° ずれている、または真逆を向いている（裏返ってはいない）とき。配点3点で「3 B1 for each」＝3項目それぞれに1点。直前の小問で回転させた像からもとの図形へ戻す逆変換を問われるときもここ。行列で表された変換（「represented by the matrix …」）は2020年の0580改訂で範囲外になったため、この型では扱わない。

「Describe fully the single transformation…」で、2つの図形が相似（形は同じで大きさが違う）とき。像が小さければ倍率は 1/2 のような分数、像が中心をはさんで逆さまなら倍率は負になる。配点3点。直前の小問で「Enlarge triangle T by scale factor -1/2, centre (0, 0). Label the image P」とかかせた直後に「Describe fully the single transformation that maps triangle P onto triangle T」と逆変換を問われるときもここ（2点）。行列で表された変換（「represented by the matrix …」）は2020年の0580改訂で範囲外になったため、この型では扱わない。

「Translate triangle T by the vector …」「Reflect shape P in the line x=3 / y=4 / y=x / y=-x / y=x+1 / x+y=6」のように変換と数値が指定されて方眼に像をかく設問。「draw MT(A)」のように変換記号が2つ並ぶ合成もここ。配点2〜3点。「after the transformation represented by the matrix …」と行列で指定される作図は2020年の0580改訂で範囲外になったため、この型では扱わない。

図に overrightarrowOA=mathbfa のように文字のベクトルが与えられ、「Find overrightarrowCA in terms of mathbfa and mathbfb」「in its simplest form」と別の辺や対角線を文字式で答えさせる設問。平行四辺形・台形・正六角形の図が付くことが多い。配点1〜2点。さらに、「mathbfa+2mathbfb is the position vector of point （空欄）」「Write down two vectors that can be written as 3mathbfa-mathbfb」のように式が先に与えられ、それに当てはまる点名や辺を答えさせる逆引きの小問もここ。

「Find |overrightarrowAB|」のように縦棒（絶対値記号）が付いている、または「the magnitude of …」「the length of AB」と書かれ、答えの欄が線1本（数値ひとつ）の設問。配点2〜3点。

次の2つの型がこの手順。(A)交点型＝「OP and AB are extended to meet at Q」「CB and ON are extended to meet at D」のように2直線を延長した交点の位置ベクトルを問う設問、および overrightarrowOT=c overrightarrowOR のような文字入りの等式から k や c を求める設問。(B)連立型＝mmathbfa+nmathbfb=mathbfc のように数値の列ベクトルが与えられ「Write down two simultaneous equations and solve them」「Find the value of y」と未知数を求める設問。どちらも「同じものを2通りに表して係数（成分）を等置する」が核。

「Describe fully the single transformation that maps 図形A onto 図形B」と問われ、2つの図形が合同（拡大でも回転でもない）とき。頂点をたどる回り方が変わらなければ平行移動、裏返っていれば線対称。配点2点で、変換名に1点・データに1点。y=x・y=-x・y=x+c の線対称は像が 90° 傾いて見えるが回転ではない（裏返っているかどうかだけで判定する）ので、この型に入れる。直前の小問でかいた像からもとの図形へ戻す「逆変換」を聞かれるときも、平行移動・線対称の逆であればこの手順で答える（拡大の逆は tvc-P03、回転の逆は tvc-P02）。なお「the transformation represented by the matrix …」のように行列で与えられる変換は2020年の0580改訂で範囲外になったため、この型では扱わない。

「Work out 3mathbfa-2mathbfb」「Find mathbfp-mathbfq」「Find 2mathbfv」のように列ベクトルが数値で与えられ、定数倍や和・差だけを求めさせる設問。答えの欄が縦2段の括弧になっている。配点1〜2点。

「Show that PT is parallel to RV」「Show that O, P and Q lie on a straight line」「Use vectors to find the ratio AB : BC」「Write down the ratio OP : OQ. Give your answer in the form 1 : n.」「Write down two statements about the relationship between …」のように、計算値ではなく2本のベクトルの関係そのものを答えさせる設問。

「Enlarge triangle T by scale factor k, centre (a,b)」と倍率と中心が指定されて像をかく設問。k が 1/2、-2、-1/2 のように分数や負のことが多い。配点2点。行列で指定される作図（「represented by the matrix …」）は2020年の0580改訂で範囲外になったため、この型では扱わない。

「Write overrightarrowAB as a column vector」「Find the coordinates of B」のように、点の座標と列ベクトルの一方が与えられてもう一方を求める設問。方眼に点が打たれた図つきの問題も同じ扱い。配点1〜2点。

「Rotate shape P through 90° clockwise about (a,b)」「rotation through 180° about (0, 0)」のように中心と角が指定されて像をかく設問。方眼がなく「90° 回転した点の座標を求めよ」と座標で答えさせる設問も同じ手順。配点2〜3点。行列で指定される作図（「represented by the matrix …」）は2020年の0580改訂で範囲外になったため、この型では扱わない。

成分の一方が t や k などの文字で、「The magnitude of the vector is 29」「|mathbfv|=13」のように大きさの値が先に与えられている設問。「与えられたベクトルに垂直で大きさが等しいベクトルを1つ書け」型もここ。配点2点。

「Shape P is enlarged by scale factor 3 to give shape Q … The area of shape P is 10 cm². Calculate the area of shape R.」のように、長さの倍率ともとの面積が与えられて面積を問われるとき。拡大が2回続くこともある。配点2〜3点。

方眼がなく「The point (a,b) is reflected in the line y=k. Write down the coordinates of the image in terms of a, b and k」と文字で答えるとき、または「Triangle ABC is rotated 180° about M … Write down the mathematical name of the quadrilateral / Find angle BAD」のように、できる図形の名前や角を問われるとき（NOT TO SCALE の図）。

2段階（必要なら3段階以上）の試行で Complete the tree diagram がある、「Aのときは…、Aでないときは…」と条件別に確率が与えられている、または rolls a dice twice、replaces the ball、2つの袋から1個ずつ、のように1回目が2回目に影響しない設定で「both times」「〜になる確率」を聞かれるとき。takes no more than three attempts to pass のように「3回目までに成功する」型、および別々の袋・別々の人（段ごとに確率が違う）で「一方だけが起こる」を聞かれる型もここ。

「Find the probability that … does not …」「Write down the probability that … is not …」のように1つの確率だけが与えられている問題、確率の欄が1つか2つ空いた表で Complete the table と指示される問題、1回の試行で「the number is 2 or 3」「lands on red or blue」のようにどれかになる確率を聞かれる問題。

ちょうど2回の選択で、種類が1つずつ指定されているとき＝one ball is red and one ball is blue、one student studies both and one studies Chemistry only、one number is odd and one number is even、exactly one card has the letter N、different colours、the two cards show different letters。3個以上取る型や「和が◯になる」型は prb-P06 で判定する。

3個以上取る・3回以上くり返す設問で at least two of these three、2 of the next 3、rejects exactly one coin（4個中1個）のように個数を指定されたとき、または2つのサイコロ・スピナー・カードの和や積が「the sum of the numbers is 5」「the score is 35」「a total of 15 points」「the total is at least 13」のように指定の値になる確率を聞かれたとき。同じ結果になる順番が何通りもあるのが目印。ちょうど2回の選択で「一方は赤・他方は青」と種類が1つずつ指定されている型は、積を2倍する別パターン（prb-P08）で判定する。

Find the value of x と聞かれる、個数や確率に x が入っている表、「個数」と「確率」の2行があって片方しか埋まっていない表、「あとから何個か加えたら確率が…になった」、または「Aが赤の確率は0.4、AとBが両方とも赤の確率は0.25」のように積のほうが先に与えられていて、もう片方の確率や「両方とも青（both blue／both yellow／both red）になる確率」を聞かれる問題。「両方とも黄が 1/10、では両方とも赤は」のように色を反転させて聞く向きも同じ型。

without replacement で2個（3個）取り、both red、the same colour、all three are black、「2人とも tests も好き」を聞かれるとき。ベン図の部分集団から2人選ぶ問題や、答の分数が指定された show that 型も同じ。

expects、expected number、Calculate an estimate of the number of times … と書かれ、確率（または個数の割合・相対度数）とくり返す回数が与えられているとき。40人中3人が歩いて通勤、のように標本の割合を全体にあてはめる問題も同じ。

Complete the table for the total scores、Complete the possibility diagram、Complete the sample space diagram とあるとき、または2つのサイコロ・スピナー・カードの和や積について確率を聞かれるとき。Given that the total is odd, … と条件が先に与えられる設問もここ。

at least one、not both、does not、「少なくとも1個はオレンジ」「一方または両方の駅で遅れる」のように、当てはまる場合が多くて数え上げが大変な設問。直前の小問がちょうど反対の確率になっているときもこの型。

Complete the Venn diagram と指示され、全体の人数・各集合の合計・「どちらでもない」人数が与えられているとき、n(Acup B)'、P(Scap C)、P(Scup C') のような集合記法や Shade the correct region が出るとき、または A person is chosen at random from those who have a car のように選ぶ相手が部分集団に限定されているとき。

hits the target for the first time on his nth attempt、keeps rolling until it lands on a 3、continues picking until she picks a green ball、the probability that this occurs on pick n is … のように、当たりが出るまでくり返す設定。答は n の値／n を使った式／「1回目・2回目・3回目のいずれかで当たる確率」のいずれか。

表の見出しが 0 < h ≤qslant 20 のような階級（不等号つき）で「Calculate an estimate of the mean」と書かれているとき。度数がヒストグラムや累積度数グラフからしか読めない形も同じ型。estimate の語が「中点を使え」の合図。

「Complete the cumulative frequency table」「On the grid, draw a cumulative frequency diagram」と指示されるとき。あとに「Use your graph to find …」が続くことが多い。

「On the grid, complete the histogram」「Draw a histogram to show the information in the table」、または「この階級の柱の高さは7cm。残りの柱の高さを求めよ」のように高さ（cm）の欄が与えられているとき。累積度数から度数を作ってから描かせる形もある。数値目盛りがなくKey（影の正方形1個＝n 個）だけの図から度数を読む形は sta-P10。

累積度数グラフ（cumulative frequency diagram）が与えられ「Find an estimate of the median / the lower quartile / the interquartile range / the 40th percentile」と聞かれるとき。「70% of the adults spent less than k hours. Find k」のように割合(%)が先に与えられて横軸の値を答える形もこの型（縦軸に 0.7× n を取って下ろす）。総数 n は問題文か縦軸の最上部に必ず書いてある。

「The mean is 7.6. Calculate the value of x」「平均が17から17.5に上がった。8回目の点数は」のように代表値が先に与えられて中身を求める設問。「1頭は2.6m、最小2.5m、範囲2.3m、同じ高さが3頭より多い、最頻値3.9m」のように平均が一切出てこず条件だけで幹葉図を完成させる型も同じ枠。

数値の並び・幹葉図（Keyつき）・値ごとの度数表が与えられ「Find the median / mode / range / interquartile range」と聞かれるとき。「51歳より年上の女性の割合は何%か」のように、並びから条件に合う個数を数えて割合(%)を答える形も含む。k 個の連続整数の範囲のように文字式で答える形も同じ考え方。

数値の並び・棒グラフ・幹葉図、または表の1行目が「点数」「冊数」「サイコロの目」のように個々の値そのもの（〜以上〜未満の階級になっていない）で、Calculate the mean と言われるとき。estimate の語は付かない。

箱ひげ図から中央値・範囲・四分位範囲を読む設問、四分位数や範囲の数値・累積度数グラフから「Draw a box-and-whisker plot」と描かせる設問、「賞状をもらう人数」のように割合から人数を出す設問、「75%の生徒より高い点を1つ書け（Write down a possible mark）」のように条件を満たす値を1つ答える設問。

「What type of correlation …?」「Write down the type of correlation …」「Put a ring around the one correct statement」と1点で問われ、文章に「as A increases, B increases (decreases)」があるか、散布図だけが与えられているとき。「The line in Diagram ( ) is the most appropriate line of best fit.」のように、同じデータに線を引いた複数の図（Diagram A〜D）から1つを選ぶ設問も同じ型。

「Draw a line of best fit」に続けて「Use your line of best fit to find an estimate …」「Estimate a mark for this student」と問われる小問。x から y を読む場合と、y から x を逆に読む場合の両方がある。自分で引かずに与えられた複数の図から最適線を1つ選ぶ形は sta-P12。

数値の並びが与えられ「Complete the stem-and-leaf diagram」と指示され、幹の列（1, 2, 3 …）だけが印刷されているとき。図の下に Key（1|3 は13を表す）が置かれているのも合図。

項目ごとの人数の表から「Find the sector angle」「Calculate the sector angle」と聞かれるとき、または円グラフの図から「Work out the number of students that walk to school」「Complete the pie chart」「Label each sector clearly」と言われるとき。

階級（不等号つき）の度数表があり「Write down the modal class」「Write down the modal time interval」「Write down the interval containing the median」「Write down the class interval containing the median」と1点で問われるとき。解答欄が「 <h≤qslant 」のように不等号だけ印刷されているのも合図。Paper4の統計の大問では冒頭の1点問題として常設。

「One of these … has a value of 70」「Write down the number of …」「plot this information」「draw a circle around the point」「how many … less than …」のように、線を引かずに点そのものを扱う小問。

縦軸が Frequency density のヒストグラムが与えられ「complete the table」「find the number of …」「calculate the percentage of …」と聞かれるとき。柱の幅がバラバラなのが最大の合図。縦軸に数値目盛りがなく「Key: the shaded square represents 10 apples」だけが与えられている図も同じ型。

「Give a reason why the mean would be an unsuitable average」「Which type of average can be used」「Make one comment comparing the distributions」「Explain why he is wrong」「Describe the effect on the median」のように、値を出すのではなく理由や判断を書かせるとき（多くは1〜2点）。

「the number of students who took more than 80 minutes」「trunk diameter greater than 3 metres」「45分より長くかかった人の割合」のように、横軸の値のほうが先に与えられて個数・割合・確率を聞かれるとき。逆に割合(%)が先に与えられて横軸の値を答える形（「70%の人が k 未満」）は sta-P05。