A-Level Mathematics · 9709Pure Mathematics 1（AS）代数・級数 · Algebra & Series

二項展開

The Binomial Expansion

二項展開は、 $(a + b)^{n}$ のような「2項の和のべき乗」を、地道に掛け算しなくても一気に展開するための道具です。鍵になるのが二項係数 $(r n)$ で、これはパスカルの三角形の数とぴったり一致します。この単元では正の整数 $n$ に限って、 $(a + b)^{n}$ の展開、特定の項や係数の取り出し方、そして一般項を使った効率的な求め方までを学びます。全部を展開せずに「欲しい項だけ」を狙い撃ちできるようになるのが目標です。

The binomial expansion is a tool for expanding a power of a sum, like $(a + b)^{n}$ , all at once instead of multiplying out by hand. The key ingredients are the binomial coefficients $(r n)$ , which match exactly the numbers in Pascal's triangle. Restricting to a positive integer $n$ , this topic covers expanding $(a + b)^{n}$ , picking out a specific term or coefficient, and using the general term to work efficiently. The aim is to target just the term you need without writing out the whole expansion.

二項係数とパスカルの三角形

Binomial coefficients and Pascal's triangle

二項係数 $(r n)$ は「 $n$ 個から $r$ 個を選ぶ場合の数」で、 $(r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$ と計算します。 $(0 n) = 1$ 、 $(n n) = 1$ 、そして $(r n) = (n - r n)$ という対称性があります。これらを上から並べると、各数がすぐ上の2つの和になるパスカルの三角形ができます（ $1$ ； $11$ ； $121$ ； $1331$ ； $\dots$ ）。 $n$ が小さいときは三角形を書いた方が速いこともあります。

The binomial coefficient $(r n)$ counts the ways to choose $r$ objects from $n$ , and is computed as $(r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$ . Note $(0 n) = 1$ , $(n n) = 1$ , and the symmetry $(r n) = (n - r n)$ . Listing these row by row produces Pascal's triangle, where each entry is the sum of the two above it ( $1$ ; $11$ ; $121$ ; $1331$ ; $\dots$ ). For small $n$ , writing out the triangle is sometimes the quickest route.

(r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}, (r n) = (n - r n)

二項定理：$(a+b)^n$ の展開

The binomial theorem: expanding $(a+b)^n$

正の整数 $n$ に対して、 $(a + b)^{n} = r = 0 \sum n (r n) a^{n - r} b^{r}$ が成り立ちます。書き下すと $(0 n) a^{n} + (1 n) a^{n - 1} b + (2 n) a^{n - 2} b^{2} + \dots + (n n) b^{n}$ 。各項で $a$ の指数は $n$ から $0$ へ1ずつ減り、 $b$ の指数は $0$ から $n$ へ1ずつ増えて、指数の和は常に $n$ です。係数だけ見るとパスカルの三角形の第 $n$ 行と一致します。 $a$ や $b$ の中に数（例： $2 x$ の $2$ ）が入っているときは、その数のべき乗も忘れずに掛けるのが最大の注意点です。

For a positive integer $n$ , $(a + b)^{n} = r = 0 \sum n (r n) a^{n - r} b^{r}$ . Written out, this is $(0 n) a^{n} + (1 n) a^{n - 1} b + (2 n) a^{n - 2} b^{2} + \dots + (n n) b^{n}$ . In each term the power of $a$ falls from $n$ to $0$ , the power of $b$ rises from $0$ to $n$ , and the two powers always sum to $n$ . The coefficients alone are row $n$ of Pascal's triangle. The biggest pitfall: when $a$ or $b$ contains a number (e.g. the $2$ in $2 x$ ), you must raise that number to its power too.

(a + b)^{n} = r = 0 \sum n (r n) a^{n - r} b^{r} = (0 n) a^{n} + (1 n) a^{n - 1} b + \dots + (n n) b^{n}

一般項で特定の項・係数を狙う

Using the general term to target a coefficient

展開の中の一般項（ $(r + 1)$ 番目の項）は $(r n) a^{n - r} b^{r}$ です。「 $x^{k}$ の項（や係数）を求めよ」と言われたら、 $b$ に含まれる $x$ の指数から $r$ を逆算し、その $r$ だけを代入すれば、全体を展開せずに済みます。例えば $(a + c x)^{n}$ なら一般項は $(r n) a^{n - r} (c x)^{r} = (r n) a^{n - r} c^{r} x^{r}$ なので、 $x^{k}$ が欲しければ $r = k$ とすればよい、という具合です。 $c$ のべき乗と $a$ のべき乗の両方を掛け忘れないことが、正解への分かれ目です。

The general term (the $(r + 1)$ th term) of the expansion is $(r n) a^{n - r} b^{r}$ . To find the term in $x^{k}$ (or its coefficient), work out $r$ from the power of $x$ carried by $b$ , then substitute just that $r$ — no need to expand everything. For instance, in $(a + c x)^{n}$ the general term is $(r n) a^{n - r} (c x)^{r} = (r n) a^{n - r} c^{r} x^{r}$ , so for $x^{k}$ you set $r = k$ . Remembering to raise both $c$ and $a$ to their powers is what separates a correct answer from a near miss.

general term = (r n) a^{n - r} b^{r}

英語の数学用語

English

日本語

binomial coefficient

二項係数

Pascal's triangle

パスカルの三角形

binomial theorem

二項定理

general term

一般項

coefficient of a term

項の係数

factorial

階乗

ascending powers

昇べきの順

例題

Worked examples

例題 1Example 1

(2 + x)^{5}

を昇べきの順にすべて展開せよ。Expand

(2 + x)^{5}

completely in ascending powers of

x

解答 · SOLUTION

1.
二項定理より各項は $(r 5) 2^{5 - r} x^{r}$ （ $r = 0, 1, \dots, 5$ ）。係数 $(r 5)$ は $1, 5, 10, 10, 5, 1$ 。By the binomial theorem each term is $(r 5) 2^{5 - r} x^{r}$ for $r = 0, 1, \dots, 5$ , with coefficients $(r 5) = 1, 5, 10, 10, 5, 1$ .
2.
$r = 0$ : $1 \cdot 2^{5} = 32$ 。 $r = 1$ : $5 \cdot 2^{4} = 80$ 。 $r = 2$ : $10 \cdot 2^{3} = 80$ 。 $r = 0$ : $1 \cdot 2^{5} = 32$ . $r = 1$ : $5 \cdot 2^{4} = 80$ . $r = 2$ : $10 \cdot 2^{3} = 80$ .
3.
$r = 3$ : $10 \cdot 2^{2} = 40$ 。 $r = 4$ : $5 \cdot 2^{1} = 10$ 。 $r = 5$ : $1 \cdot 2^{0} = 1$ 。 $r = 3$ : $10 \cdot 2^{2} = 40$ . $r = 4$ : $5 \cdot 2^{1} = 10$ . $r = 5$ : $1 \cdot 2^{0} = 1$ .
4.
よって $(2 + x)^{5} = 32 + 80 x + 80 x^{2} + 40 x^{3} + 10 x^{4} + x^{5}$ 。Hence $(2 + x)^{5} = 32 + 80 x + 80 x^{2} + 40 x^{3} + 10 x^{4} + x^{5}$ .

答え · ANSWER

32 + 80 x + 80 x^{2} + 40 x^{3} + 10 x^{4} + x^{5}

32 + 80 x + 80 x^{2} + 40 x^{3} + 10 x^{4} + x^{5}

例題 2Example 2

(3 - 2 x)^{4}

の展開における

x^{2}

の係数を求めよ。Find the coefficient of

x^{2}

in the expansion of

(3 - 2 x)^{4}

解答 · SOLUTION

1.
一般項は $(r 4) 3^{4 - r} (- 2 x)^{r} = (r 4) 3^{4 - r} (- 2)^{r} x^{r}$ 。The general term is $(r 4) 3^{4 - r} (- 2 x)^{r} = (r 4) 3^{4 - r} (- 2)^{r} x^{r}$ .
2.
$x^{2}$ が欲しいので $r = 2$ 。係数は $(2 4) 3^{2} (- 2)^{2}$ 。For $x^{2}$ take $r = 2$ . The coefficient is $(2 4) 3^{2} (- 2)^{2}$ .
3.
$(2 4) = 6$ 、 $3^{2} = 9$ 、 $(- 2)^{2} = 4$ なので $6 \times 9 \times 4 = 216$ 。Since $(2 4) = 6$ , $3^{2} = 9$ and $(- 2)^{2} = 4$ , this is $6 \times 9 \times 4 = 216$ .

答え · ANSWER

216

216

例題 3Example 3

(1 + 2 x)^{6}

の展開における

x^{3}

の項を求めよ。Find the term in

x^{3}

in the expansion of

(1 + 2 x)^{6}

解答 · SOLUTION

1.
一般項は $(r 6) 1^{6 - r} (2 x)^{r} = (r 6) 2^{r} x^{r}$ 。The general term is $(r 6) 1^{6 - r} (2 x)^{r} = (r 6) 2^{r} x^{r}$ .
2.
$x^{3}$ なので $r = 3$ 。係数は $(3 6) 2^{3} = 20 \times 8 = 160$ 。For $x^{3}$ take $r = 3$ . The coefficient is $(3 6) 2^{3} = 20 \times 8 = 160$ .
3.
よって求める項は $160 x^{3}$ 。Hence the required term is $160 x^{3}$ .

答え · ANSWER

160 x^{3}

160 x^{3}

練習問題

Practice

全部を展開する必要はありません。一般項

(r n) a^{n - r} b^{r}

から

r

を決めて、欲しい項だけを狙いましょう。数の係数のべき乗を掛け忘れないこと。You rarely need the whole expansion. From the general term

(r n) a^{n - r} b^{r}

, find

r

and target just the term you want — and don't forget to raise numerical coefficients to their powers.

(1)
$(1 + x)^{7}$ の展開における $x^{4}$ の係数を求めよ。
答えを見る · Show answer
$35$
(2)
$(2 + 3 x)^{4}$ の展開における $x^{2}$ の係数を求めよ。
答えを見る · Show answer
$216$
(3)
$(1 - 3 x)^{5}$ の展開における $x^{3}$ の係数を求めよ。
答えを見る · Show answer
$- 270$
(4)
$(x + 2)^{6}$ の展開における $x^{4}$ の係数を求めよ。
答えを見る · Show answer
$60$
(5)
$(3 - x)^{4}$ を昇べきの順にすべて展開せよ。
答えを見る · Show answer
$81 - 108 x + 54 x^{2} - 12 x^{3} + x^{4}$
(6)
$(2 x - 1)^{5}$ の展開における $x^{3}$ の係数を求めよ。
答えを見る · Show answer
$80$
(7)
$(1 + 2 x)^{8}$ の展開における最初の3項を昇べきの順に求めよ。
答えを見る · Show answer
$1 + 16 x + 112 x^{2}$
(8)
$(1 + \frac{x}{2})^{6}$ の展開における $x^{2}$ の係数を求めよ。
答えを見る · Show answer
$\frac{15}{4}$

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二項係数とパスカルの三角形

Binomial coefficients and Pascal's triangle

(r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}, (r n) = (n - r n)

二項定理：$(a+b)^n$ の展開

The binomial theorem: expanding $(a+b)^n$

(a + b)^{n} = r = 0 \sum n (r n) a^{n - r} b^{r} = (0 n) a^{n} + (1 n) a^{n - 1} b + \dots + (n n) b^{n}

一般項で特定の項・係数を狙う

Using the general term to target a coefficient

general term = (r n) a^{n - r} b^{r}

例題

Worked examples

例題 1Example 1

(2 + x)^{5}

を昇べきの順にすべて展開せよ。Expand

(2 + x)^{5}

completely in ascending powers of

x

解答 · SOLUTION

1.
二項定理より各項は $(r 5) 2^{5 - r} x^{r}$ （ $r = 0, 1, \dots, 5$ ）。係数 $(r 5)$ は $1, 5, 10, 10, 5, 1$ 。By the binomial theorem each term is $(r 5) 2^{5 - r} x^{r}$ for $r = 0, 1, \dots, 5$ , with coefficients $(r 5) = 1, 5, 10, 10, 5, 1$ .
2.
$r = 0$ : $1 \cdot 2^{5} = 32$ 。 $r = 1$ : $5 \cdot 2^{4} = 80$ 。 $r = 2$ : $10 \cdot 2^{3} = 80$ 。 $r = 0$ : $1 \cdot 2^{5} = 32$ . $r = 1$ : $5 \cdot 2^{4} = 80$ . $r = 2$ : $10 \cdot 2^{3} = 80$ .
3.
$r = 3$ : $10 \cdot 2^{2} = 40$ 。 $r = 4$ : $5 \cdot 2^{1} = 10$ 。 $r = 5$ : $1 \cdot 2^{0} = 1$ 。 $r = 3$ : $10 \cdot 2^{2} = 40$ . $r = 4$ : $5 \cdot 2^{1} = 10$ . $r = 5$ : $1 \cdot 2^{0} = 1$ .
4.
よって $(2 + x)^{5} = 32 + 80 x + 80 x^{2} + 40 x^{3} + 10 x^{4} + x^{5}$ 。Hence $(2 + x)^{5} = 32 + 80 x + 80 x^{2} + 40 x^{3} + 10 x^{4} + x^{5}$ .

答え · ANSWER

32 + 80 x + 80 x^{2} + 40 x^{3} + 10 x^{4} + x^{5}

32 + 80 x + 80 x^{2} + 40 x^{3} + 10 x^{4} + x^{5}

例題 2Example 2

(3 - 2 x)^{4}

の展開における

x^{2}

の係数を求めよ。Find the coefficient of

x^{2}

in the expansion of

(3 - 2 x)^{4}

解答 · SOLUTION

1.
一般項は $(r 4) 3^{4 - r} (- 2 x)^{r} = (r 4) 3^{4 - r} (- 2)^{r} x^{r}$ 。The general term is $(r 4) 3^{4 - r} (- 2 x)^{r} = (r 4) 3^{4 - r} (- 2)^{r} x^{r}$ .
2.
$x^{2}$ が欲しいので $r = 2$ 。係数は $(2 4) 3^{2} (- 2)^{2}$ 。For $x^{2}$ take $r = 2$ . The coefficient is $(2 4) 3^{2} (- 2)^{2}$ .
3.
$(2 4) = 6$ 、 $3^{2} = 9$ 、 $(- 2)^{2} = 4$ なので $6 \times 9 \times 4 = 216$ 。Since $(2 4) = 6$ , $3^{2} = 9$ and $(- 2)^{2} = 4$ , this is $6 \times 9 \times 4 = 216$ .

答え · ANSWER

216

216

例題 3Example 3

(1 + 2 x)^{6}

の展開における

x^{3}

の項を求めよ。Find the term in

x^{3}

in the expansion of

(1 + 2 x)^{6}

解答 · SOLUTION

1.
一般項は $(r 6) 1^{6 - r} (2 x)^{r} = (r 6) 2^{r} x^{r}$ 。The general term is $(r 6) 1^{6 - r} (2 x)^{r} = (r 6) 2^{r} x^{r}$ .
2.
$x^{3}$ なので $r = 3$ 。係数は $(3 6) 2^{3} = 20 \times 8 = 160$ 。For $x^{3}$ take $r = 3$ . The coefficient is $(3 6) 2^{3} = 20 \times 8 = 160$ .
3.
よって求める項は $160 x^{3}$ 。Hence the required term is $160 x^{3}$ .

答え · ANSWER

160 x^{3}

160 x^{3}

練習問題

Practice

全部を展開する必要はありません。一般項

(r n) a^{n - r} b^{r}

から

r

を決めて、欲しい項だけを狙いましょう。数の係数のべき乗を掛け忘れないこと。You rarely need the whole expansion. From the general term

(r n) a^{n - r} b^{r}

, find

r

and target just the term you want — and don't forget to raise numerical coefficients to their powers.

(1)

(1 + x)^{7}

の展開における

x^{4}

の係数を求めよ。

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35

(2)

(2 + 3 x)^{4}

の展開における

x^{2}

の係数を求めよ。

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216

(3)

(1 - 3 x)^{5}

の展開における

x^{3}

の係数を求めよ。

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- 270

(4)

(x + 2)^{6}

の展開における

x^{4}

の係数を求めよ。

答えを見る · Show answer

60

(5)

(3 - x)^{4}

を昇べきの順にすべて展開せよ。

答えを見る · Show answer

81 - 108 x + 54 x^{2} - 12 x^{3} + x^{4}

(6)

(2 x - 1)^{5}

の展開における

x^{3}

の係数を求めよ。

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80

(7)

(1 + 2 x)^{8}

の展開における最初の3項を昇べきの順に求めよ。

答えを見る · Show answer

1 + 16 x + 112 x^{2}

(8)

(1 + \frac{x}{2})^{6}

の展開における

x^{2}

の係数を求めよ。

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\frac{15}{4}

二項展開

二項係数とパスカルの三角形

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一般項で特定の項・係数を狙う

英語の数学用語

例題

練習問題

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