A-Level 数学 9709 P3（純粋数学3）
解法パターン141選

左辺と右辺の両方に絶対値がある不等式。|2x-1|<3|x+1| のように片方に係数がついていても、|2x-a|<|x+3a| のように文字定数 a が入っていても同じ型。設問文は Solve the inequality または Find the set of values of x satisfying the inequality で、スケッチの誘導なしに配点4点前後で単独に出る。

片方の辺だけが絶対値で、もう片方が 3x-4、2-5x、a-2x のような絶対値のない1次式である不等式。絶対値は左辺・右辺のどちらにあってもよい（|2x-3|<3x-4 も 2-5x>2|x-3| も 1+3x<|4x-2| も同じ型）。(a) で Sketch the graph of y=|2x-3| を描かせ、(b) が Hence or otherwise solve the inequality と続く形が多い。文字定数 a 入りもある。

Find the quotient and remainder when …（3次以上の多項式）… is divided by … と問われ、割る式が x²+x+3、2x²-x+1 のような二次式、または x+1 のような1次式。配点[3]が定番で、割られる式に x³ や x の項が欠けている（x⁴-3x³+9x²-12x+27、2x⁴-27、3x⁴-2x² など）ことが多い。

3次・4次の多項式に未知定数があり、割る式がすべて1次式で、「(x+2) が因数」「(2x-1) で割り切れる」「(x+1) で割ると余りは2」「(x-4) で割った余りは (x-2) で割った余りの3倍」のような条件が未知定数の個数と同じ本数だけ与えられている型。未知定数2つに条件2本が定番だが、2x³-x²+a に「(2x+3) が因数」だけが与えられる未知定数1つ・条件1本の小問（配点2点）も同じ手順で、この場合は代入1回で終わる。

割る式が x²-x+1、x²+x-1 のような2次式で、「x²-x+2 で割り切れる（divisible）」または「余りは 2x+3」と与えられている型。1次式の代入では条件が作れないのが見分け。

条件に p'(x) が現れる（p'(x) を (x-3) で割ると余り72、(x-2) が p(x) と p'(x) の両方の因数）か、(x-a)² が因数と書かれている（重解＝f(a)=0 かつ f'(a)=0）型。

(i) で 2|x-1|=3|x| のような絶対値の方程式（不等式ではなく等式）を解かせ、(ii) で x の位置が 5^(x) に変わった 2|5^(x)-1|=3× 5^(x) を Hence solve the equation と続けて問う型。答えは有効数字3桁で要求される。

When a and b have these values, factorise p(x) completely／find the real roots／Hence solve the inequality p(x) < 0 のように、前小問で決めた定数を使って続きを解く設問。(2x+3) が因数と与えられて a を先に求めさせてから不等式に続く型も同じ。

(a) で「x+a が f(x) の因数であることを示せ」、(b) で「割ったときの商を求めよ」と続き、最後に Hence solve で f(x) と同じ係数をもつ3次式が cosθ（sinθ・tanθ の場合もある）で与えられ、0^°≤qslantθ≤qslant 360^° のような角の区間が指定されている型。

Sketch the graph of y=|2x+3|、y=|2x-a| のように配点1点で単独に問われるスケッチの小問。直後の (b) が Hence … solve the inequality となっていて、同じ絶対値を含む不等式を解く下準備になっている。文字定数入りでも同じ。

P05 と同じ Find the quotient and remainder when … is divided by … の設問に対して、MSが Alternative Method として同じ配点で正式に認めているもう一つのルート。独立した設問タイプではないので、設問の見た目で選ぶものではなく、どの問題でも筆算のかわりに使ってよい（筆算の桁がずれやすいとき、また筆算の答えを検算したいときに向く）。割る式が二次式でも1次式でも、x² の係数が1でなくても同じ手順で通る。

(a)分解＋(b)展開の10点構成で、分母に (x-3)²、(2x+3)²、(3-x)²、(1-x)²、(2+x)²、(2+3x)² のように同じ1次式の2乗が入っている。(2+3x)² と 2+3x²、(2+x)² と 2+x² は印刷でほぼ同形に見えるので、2乗が括弧全体に掛かっているかを必ず確かめる。括弧全体に掛かっていればこの型、掛かっていなければ既約2次因子の P05。(b)は多くが x² まで、稀に x³ まで求められる。

(a)分解＋(b)定積分の構成で、分母に (2x+3)²、(x+2)²、(3+2x)²、(2-x)²、または x² のように同じ1次因子の2乗が入っている。(b)の答えが 1-ln 3、5/2-ln 72、9/4 のように対数でない項を含む形で指定されている。分解した式を2乗してから積分させる型（[f(x)]²）は、(a)自体には2乗の因子がなく相異なる1次因子2つの分解（P08）なので、P08 を主に使いこの型は2乗の項の積分にだけ併用する。

(a)分解＋(b)定積分の構成で、分母に x²+4、x²+2、3+x²、1+3x² のように因数分解できない2次式が入っている。分解の形が A/(px+q)+(Bx+C)/(x²+k) で、(b)の答えに π や tan ⁻¹、あるいは ln (x²+k) が現れる。B=0 で tan ⁻¹ だけ、C=0 で対数だけになる場合も同じルート。

(a)分解＋(b)展開の10点構成で、分母に x²+5、3+x²、2x²+3、x²+4、2+x² のように実数解を持たない2次式が入っている。判別のしかたは、その因子が同じ1次式の2乗（(2+3x)² や (2+x)² のように展開すると判別式が0）なら P04、x²+k 型で実数解を持たない（判別式が負）ならこの P05。括弧の外に2乗が付いているかを必ず見る。MSで確認するなら、主の分解形が定数3つ A、B、C に分かれていれば重複1次因子（P04）、Bx+C の1次式分子が現れれば既約2次因子（P05）。分子の次数が分母と同じで先頭に定数 A が付く回（2025年11月31番、(a)が6点）もここ。

(a)分解＋(b)定積分の構成で、分母が (px+q)(rx+s) や3つの1次式の積のように相異なる1次因子だけでできていて（2乗の因子も既約2次因子もない）、分子の次数が分母より低い。(b)の答えが ln 6 や 18ln 3-8ln 7 のように対数だけで表される。正の定数 a が分子や因子に混じる型もここ。2/((2x-1)(2x+1)) のように分子が定数で(a)が2点だけの型もこの手順で、そのあと [f(x)]² を積分させる続きが付く回は、2乗の項の積分だけ P09 を併用する。

(a)分解＋(b)定積分の構成で、分子の次数が分母の次数と同じ（(4x²+9x-8)/((x+2)(2x-1))、(x²+4ax+6a²)/((x+2a)(x+3a))）か、設問が「A+B/(x+2)+C/(2x-1) の形で表せ」と明示している。(b)の答えが 6+1/2ln16/7 や a(2+ln9/8) のように定数項と対数の和になる。

「Express … in partial fractions」とだけ書かれた5点の単独問題で、分子の最高次が分母の最高次と等しい（分母が2次なら分子にも x² がある）とき。分母は異なる2つの1次因子の積に因数分解できる形か、すでに (2x-1)(x-3) のように因数分解された形で与えられている。

(a)分解＋(b)展開の10点構成で、分子の次数が分母の次数と等しい（分子 12+12x-4x² に対し分母 (2+x)(3-2x)、分子 12x²+4x-1 に対し分母 (x-1)(3x+2)）。分母は1次因子だけででき、分解の形が定数 A から始まる。

(a)で partial fractions、(b)で ascending powers of x, up to and including the term in x² と続く10点構成。分母が (1+2x)(1-2x)(2+x) のように重なりのない1次式だけの積で、2乗の因子も因数分解できない2次因子もなく、分子の次数が分母より低い。

(b)が Hence find the coefficient of x³ in the expansion of f(x) のように、展開全体ではなく1つの係数だけを要求している。(b)の配点も4点前後と短く、(a)と合わせて9点前後になる。

P01 とまったく同じ仮分数型の「in parial fractions」に対して、MSが Alternative method として同じ5点を与える割り算ルート。別の問題型ではなく解き方の選択肢なので、型の判定は P01 の trigger で行い、そのうえで分母がすでに展開された2次式で与えられているときや、形を宣言するより割り算のほうが速いと感じるときにこちらを選ぶ。この単元ではどの問題も分子と分母が同次数なので商は必ず定数になる。

同じ底の対数が2つ以上ある方程式で、2ln x のような係数つきの対数や 2、-1、7 のような定数項が混じっているもの。「Show that ... can be written as a quadratic equation in x」「Hence solve」と続く形はこの型で確定。P02との判別は解く前に形で決める。対数を片側に集めて両辺をそれぞれ1個の対数にまとめたとき、(1) x を含む括弧が別の x の因子と掛け合わされる（ln (x-5)+ln x=7 の x(x-5)、ln (2x-3)+ln (x-1)、ln (2x-1)+ln x）か2乗される（2log₃(x-1) の (x-1)²、2log₁₀(x+1) の (x+1)²）、または (2) 商になっても分子と分母の最高次が違う（ln 3+ln (2x+5)-2ln x=2 の 3(2x+5) と x²、2log₂ x-log₂(x+1)=3 の x² と 8(x+1)）なら、x² と x が同居して3項2次になる＝この型。対比例：ln (x-5)+ln x=7 は積なので2次（この型、35.71 only）、ln (x+5)-ln x=5 は同次数の商なので1つのべき（P02、0.034）。

同じ底の指数が a^(2x) と a^(x) の2種類（または e^(x) と e^(-x) と定数）現れる方程式。「Using the substitution u=e^(x)」と指定される場合や、e^(2a)-4e^(a)+1=0 のような show that が前置される場合も含む。P05との判別はP05と同じ数え方で行い、a^(x) のべきが2種類（u² と u）ならこの型。見分けのコツは2つ。(1) a^(2x) と a^(x) が最初から同居する（9^(x)=3^(x)+12、5^(2x)=5^(x)+5）。(2) 負の指数があり、かつ分母を払った式に「指数の付かない定数項」が残る（frace^(x)+e^(-x)e^(x)+1=4 の 4、frac2e^(x)+e^(-x)2+e^(x)=3 の 6、4^(x)=3+4^(-x) の 3、3e^(2x)-4e^(-2x)=5 の 5）。この定数項に a^(x) が掛かって中間のべきが生まれる。

4^(3x-1)=3(5^(x))、2^(3x-1)=5(3^(1-x))、3× 2^(x+1)=4× 3^(2x-3)、2^(3x-4)=3/(5^(x)) のように底の違う指数が定数倍つきで両辺にあり、x が指数の中の1次式になっている等式。「Use logarithms to solve」「Give your answer in the form (ln a)/(ln b), where a and b are integers」も強い合図。

対数を外すと x のべきが1種類しか残らない方程式。P01との判別は解く前に形で決める。対数を片側に集めて両辺をそれぞれ1個の対数にまとめたとき、x を含む括弧が1つだけで相手が同じ次数の純粋なべきになっている（ln (x⁴-4) と x⁴、ln (2x²-3) と x²、ln (x³-3) と x³、ln (x²+1) と x²、ln (x+5) と x）か、括弧どうしが商で同じ次数になっている（ln (y+2)-ln (y+1)、ln (2y-3)-ln (y+4)）なら、最高次の項どうしがまとまって1つのべきしか残らない＝この型。「express y in terms of x」「Find q in terms of p」と答えが文字式になる形も必ずこの型。

底が同じ指数の項だけが複数ある等式（5^(x+2)=5^(x)+10、4^(x-2)=4^(x)-4²）や、(3^(x)+2)/(3^(x)-2)=8、frac2e^(x)+e^(-x)e^(x)-e^(-x)=4、frac3^(2x)+3^(-x)3^(2x)-3^(-x)=4 のように指数の分数式が定数に等しい形。P06との判別は数えて決める。分母を払い、負の指数があれば両辺に a^(x)（a^(2x) 型なら a^(2x)）を掛けてから、全項を a^(x) のべきで書き直し、相異なるべきの個数を数える。1種類だけならこの型。見分けのコツは2つ。(1) a^(2x) と a^(x) が最初から同居していない（5^(x+2) と 5^(x)、4^(x-2) と 4^(x)、3^(x)+2 と 3^(x)-2 のように全部同じべき）。(2) 分母を払った式に「指数の付かない定数項」が残らない（2e^(x)+e^(-x)=4e^(x)-4e^(-x)、3^(2x)+3^(-x)=4· 3^(2x)-4· 3^(-x) は定数項なし）。

y=ab^(x)、y²=Ae^(kx)、ky=e^(cx)、a^(y)=bx、a^(y)=b^(x)、xⁿy²=C、P=ae^(kt) のような関係式と、ln y 対 x、ln y 対 ln x、y 対 ln x、ln P 対 t の直線が図で与えられ、通る2点の座標（または傾きと切片）から定数2つを指定桁で求めよと言われる。

対数の中に e^(2x)、e^(-3x)、3^(x) のような指数が入っている方程式（ln (e^(2x)+3)=2x+ln 3、ln (1-e^(-2x))+3=0、5ln (4-3^(x))=6、ln (1+e^(2y))=x）。整理しても2次にならず、指数項が1種類だけ残るのが見分け方。

3^(y)=4^(2-x)、2^(y)=3^(1-2x)、x=A(3^(-y))、a^(2y-1)=b^(x-y) のような等式だけが与えられ（数値の点はない）、「By taking logarithms, show that the graph of y against x is a straight line」「Explain why the graph is a straight line」と「State the exact value of the gradient」がセットで問われる。

指数式が絶対値記号の中にある方程式・不等式（3|2^(x)-1|=2^(x)、4|5^(x)-1|=5^(x)、|2^(x+1)-2|<0.5）。方程式なら「giving your answers（複数形）」、不等式なら「find the set of values of x」と問われる。

x と ln y の対応表（3〜4組）と方眼が与えられ、「By plotting ln y against x for these pairs of values and drawing a suitable straight line, estimate the values of C and a」のように作図してから推定せよと指示される。

未知数 x が指数の位置だけに現れる不等式（2× 3^(1-2x)<5^(x)）で「find the set of values of x」と問われ、「in a simplified exact form（簡単な厳密形で）」と指定されている。数値で答えよという指示がないのが目印。

p/q=e^(a)、pq²=e^(b) のように正の数についての指数条件が2つ与えられ、ln (p⁷q) のような別の対数を a と b で表せと言われる型。

前半で対数をとって直線に直したあと、「Calculate the exact x-coordinate of the point of intersection of this line with the line y=2x」「Give your answer in the form (ln a)/(ln b), where a and b are integers」と交点の厳密な x を問われる。

y=frac1+e^(-x)1-e^(-x) のように分子・分母がともに e^(-x) の式である曲線について、値を求めさせずに「show that dy/dx is always negative」と符号そのものの証明を要求する設問。定義域が x>0 に限定されているのも合図。

tan (x+45°)=2cot x、cot2θ+cotθ=2、tan (α+β)=2 かつ tanα=3tanβ のように tan・cot が主役で角がずれている方程式。「By first expressing … as a quadratic equation in tan x」「can be written in the form tan ²θ+…=0」が合図。sin2θ+cos2θ=2sin ²θ のように全項が2次の同次式になる型も同じ手順で処理する。

(a) で sin と cos の1次結合がそのままの形で与えられ「Express … in the form Rcos (θ-α)（または Rsin (θ±α)）, R>0」と指示され、(b) が「Hence solve …」で、同じ係数のまま角だけが 2θ や 1/3x、1/2x に変わっている問題。

cosec θ=3sinθ+cotθ、3cos2θ=3cosθ+2、sinθ=3cos2θ+2、2cos x-cos1/2x=1 のように、逆数三角比や 2θ・3θ・1/2x が sinθ・cosθ と混ざり、「Express the equation … as a quadratic equation in sinθ（cosθ）」と着地先の三角比を指定される型。

左辺に cot, tan, sec, cosec または分数（(cos3x)/(sin x) 型、(2sin x-sin2x)/(1-cos2x) 型）が混ざった等式を「Prove the identity」「Show that」と示させる型。判定は右辺の見た目ではなく、左辺の分数と逆数三角比を通分・約分で消して右辺に一致させる作業かどうかで行う。右辺は 2cot2x、cos2x、tanθsec2θ、2sec2x のような2倍角ひとつの形のこともあれば、(sin x)/(1+cos x) のような単角の簡単な分数のこともある。

式の中に cos (x-60°)、sin (x-30°)、cos (1/2x+1/4π) のように角がずれた項が混ざっていて、設問に「By first expanding …」とあるか、そのままでは asin x+bcos x の形になっていない合成問題。

sin (θ+45°)、cos (θ+60°)、sin (x+1/6π) のように角がずれた項が並び、展開すると sinθ と cosθ が1次でしか現れない方程式。「find the exact value of tanθ」「show that tan x=…」「Showing all necessary working, solve」が合図。

直前の (a)/(i) で恒等式や tan ⁴x-12tan ²x+3=0、4sin ⁴θ+3sin ²θ-1=0、acos ⁴θ+bcos ²θ+c=0 のような偶数次の形を作らせ、続けて「Hence solve the equation …」と言われる設問。代入すると 4cos ³x+1=0 のように1項だけの n 乗になる型も含む。二次に落ちる型は区間内に3〜4個、1項だけの奇数乗の型は1個の解が出る。

「Show that the equation √2 cosec x+cot x=√3 can be expressed in the form Rsin (x-α)=√2」のように、逆数三角比（cosec, sec, cot, tan）を含む方程式を指定の R 形に書き換えよと言われ、(b) で Hence solve と続く問題。(b) の角が 2x になっていることもある。

cos4θ、cos4x のような4倍角が式の中に明示的にあり、それを sin ⁴θ、cos ⁴x のような単角の4乗（6乗）や cos2θ の式と結ぶ prove the identity / show that。4倍角が現れず cos ⁴θ+sin ⁴θ や sec ⁴θ-tan ⁴θ のような偶数乗の対称式だけの問題は P12 で処理する。

「By first expanding sin (2x+x), show that sin3x≡3sin x-4sin ³x」「Using the expansions of sin (3x+2x) and sin (3x-2x), show that 1/2(sin5x+sin x)≡sin3xcos2x」「By expressing 3θ as 2θ+θ, prove …」のように、展開の出発点が問題文で名指しされている証明。

cos ⁶x+sin ⁶x、cos ⁴θ+sin ⁴θ、cos ⁴θ-sin ⁴θ、sec ⁴θ-tan ⁴θ のように sin と cos（sec と tan）の高次の偶数乗が対称に並び、式の中に4倍角（cos4θ、cos4x）が現れない show that。「By first expanding (cos ²x+sin ²x)³」のような指示がつくことが多い。4倍角が明示されている問題は P10 で処理する。

合成のあとに「Hence state the greatest and least possible values of …」「find the value of x for which … takes its least possible value」と問われ、方程式を解けとは言われていない設問。式が2乗されている（(5sin x-3cos x)² など）ことも多い。

y が2つの三角関数の積で与えられ、停留点について「By considering the formula for cos (A+B), show that …」と1つの余弦にまとめる誘導がついている型。最後に π の分数で厳密な x 座標を答えさせる。

「Hence, showing all necessary working, find ∫… dx」「Hence show that ∫…=…」＝直前の (a)/(i) で証明した恒等式のどちらかの辺がそのまま被積分関数になっている設問。

(i)/(a) で恒等式（tan (45°+x)+tan (45°-x)≡2sec2x など）を証明させたあと、(ii)/(b) で「Hence sketch the graph of y=… for 0°≤ x≤90°」と、解けではなく描けと言われる設問。配点は3点前後で、枝の形と漸近線に点が割り振られている。

(a) で示した恒等式の右辺が 2cot2x、cos2x のように多重角ひとつの簡単な形で、(b) が「Hence solve … ＝定数」＝代入しても2乗も因数分解も出ず、tan2x=1/2 のような1次の式1本で終わる設問。配点は3点前後で、区間内の解はふつう2個。

y=sin xcos 2x、y=5sin ²xcos ³x、y=e^(2x)sin 2x、y=e^(-4x)tan x、y=e^(sin 2x)cos 4x、y=sec ²x√(3+2tan x) のように三角関数を含む積や商で曲線が与えられ、「区間内の停留点の x 座標を求めよ」「最大点 M の x 座標を3 s.f. で」「M の厳密な座標を求めよ」と問われる型。この型の大問は (b) で面積や置換積分を求める小問が続くことが多いが、そちらは本カタログの対象外なので、微分の小問だけをこの手順で処理する。

x と y が θ（または t）の sin、cos、tan、sec、ln (三角式) で与えられ、「Show that dy/dx=cotθ」「Show that dy/dx=-2sin 2θ」のように簡約後の形が示されている、または「dy/dx を tanθ だけで表せ」と求められる設問。配点はたいてい5点。

y=(2-x)e^(-1/2x)、y=xe^(1-2x)、y=frace^(3x²-1)1-x²、y=frace^(-2x)1-x²、y=frace^(1/2x)x、y=((ln x)²)/x、y=x^-2/3ln x、y=(x+5)√(3-2x) のように、多項式・冪・根号と e^(f(x)) や ln x の積または商で曲線が与えられ、「停留点の厳密な座標を求めよ」「最小点 M の exact coordinates を求めよ」「停留点の x 座標を3 d.p. で求めよ」と問われる型。分母が 2+sin x、cos x、tan1/2x のように三角関数の分数は dif-P14。この型の大問には面積・置換積分や旧シラバスの台形則の小問が続くことがあるが、それらは本カタログの対象外で、微分の小問だけをこの手順で処理する。

「the tangent is parallel to the x-axis」「show that there is only one point on the curve at which the tangent is parallel to the x-axis」「show that the curve does not have a tangent that is parallel to the x-axis」「the normal is parallel to the y-axis」（法線が y 軸に平行＝接線が x 軸に平行）のように、勾配が 0 になる点の座標や個数を問う設問。dy/dx を求めた直後の (b)・(ii) に置かれる。

x³+3xy²-y³=5、ln (x+2y)+xy²=1、ye^(2x)-y²e^(x)=2、sin y=tan x のように x と y が混ざった方程式で曲線が与えられ、「Show that dy/dx=·s」「Express dy/dx in terms of x and y」と指示される設問。

y=(x²)/(1-3x)、y=x/(1+ln x)、y=√(tan x)、y=sec x のように1つの式で曲線が与えられ、「the gradient of the tangent is equal to 8」「find the exact value of x for which f'(x)=-8」「express dy/dx in terms of tan x」「the gradient is 2 となる点の x 座標を求めよ」のように、勾配の値や導関数の表し方が指定される問題。同じ大問に台形則や面積・置換積分の小問（∫ を含む (i)(ii) など）や、作った方程式を反復式で解く小問が付くことがある。反復・符号変化は dif-P15、面積・積分の小問は本カタログの対象外なので、微分の小問だけをこの手順で処理する。

x、y が te^(2t)、ln (2+3t)、√(t+3)、(t-1)e^(-2t)、(t+1)/(2t+1) などで与えられ、「Express dy/dx in terms of t」「Obtain a simplified expression for dy/dx」「t=e のときの勾配を求めよ」「勾配がつねに正であることを示せ」と問われる設問。

「the tangent is parallel to the y-axis」「find the exact coordinates of the point where the tangent is parallel to the y-axis」のように垂直な接線を問うもの、および「the gradient of the normal is 1」「the tangent is parallel to y+2x=0」のように具体的な勾配が条件になるもの。多くは exact coordinates を要求する。「the normal is parallel to the y-axis」は接線が x 軸に平行なので dif-P06。

「Find the gradient of the curve at the point (1,3)」のように点が与えられる、または「at the point where x=0」「where y=1」と片方の座標だけ与えられて勾配の数値を問う設問。2本の接線のなす角を問う設問の前半もここ。

「the tangent to the curve at the point where x=2 meets the y-axis at (0,p)」「find the equation of the normal at the point where t=1、答えは ax+by+c=0 の形で」「show that the normal passes through (0,3-1/(e⁴))」のように、直線の方程式・切片・通過点が問われる設問。

dy/dx を求めた後の小問で「the gradient is equal to 3」「the gradient of the normal is -2」「the tangent is parallel to the y-axis」「the gradient has its maximum value at P」「stationary point」のように、勾配に条件が課される設問。

y=(3cos x)/(2+sin x)、y=(2-sin x)/(cos x)、y=frace^(sin x)cos ²x、y=frace^(3x)tan1/2x のように分母か分子が三角関数の分数で曲線が与えられ、「停留点の exact coordinates を求めよ」「x 座標を3 d.p. で求めよ」「この点が極大か極小か」と問われる設問。三角関数を含まない分数（y=frace^(-2x)1-x²、y=frace^(3x²-1)1-x²、y=((ln x)²)/x など）は dif-P13 の担当。

f(x)=(cos x)/(1+sin x)、y=(sin x)/(1+cos x) のような三角の分数式について「Show that f'(x)<0 for all x in the interval …」「Show that the gradient of the curve is positive for all x」と符号を示させる設問、および停留点を求めた後の「Determine whether this point is a maximum or a minimum」。

図とともに「The curves touch at the point where x=a」「the tangents to the curves are parallel」と書かれ、片方の曲線に定数 k が入っていて（k が無く勾配の一致だけの問題もある）、「show that tan a=2/a」「show that a=tan ⁻¹(frace^(a)sin a)」のような式を示させる設問。示した式を反復式で解く続きの小問（各回の値を書き残す型）は dif-P15 の担当。

「Verify by calculation that a lies between 1 and 1.5」「Show that the root lies in the interval …」のように区間に根があることを計算で確かめさせる小問、および「Use an iterative formula based on the equation in part (a) to determine a correct to 2 decimal places. Give the result of each iteration to 4 decimal places」のように反復式で根を求めさせる小問。直前の小問で微分から x=f(x)、t³+t²+3t-1=0、a=tan ⁻¹(frace^(a)sin a) のような方程式を作らせたあとに置かれる。

被積分関数が xcos3x、xsin1/2x、x²sin2x、x²cos1/3x、θsin1/2θ のように多項式と sin または cos の積で、0 から (π)/4、(π)/6、π などの区間の exact value や show that を求める形。曲線 y=xcos2x、y=x²cos2x と x 軸で囲む網かけ部分の面積も同じ。三角の部分が1乗のときがこのパターンで、cos ²・sin ² のように偶数乗が現れたらまず int-P09 で降次してから部分積分に移る。

被積分関数が x、x+1、2x-x²、1+x² などの多項式と e^(ax)（a は負や分数のことが多い）の積で、find the exact value、give your answer in terms of e と指定される形。曲線 y=(多項式)e^(ax) と軸で囲む網かけ部分の面積を求めさせ、前半で積の微分から最大点 M を出す誘導が付く形も同じ。

被積分関数が x³ln x、x²ln3x、x^(3/2)ln x、(ln x)/(x²)、(ln x)/(x⁴)、fracln x√(x) のように対数と x の冪の積（ln3x 単独も含む）で、Find the exact value、Show that、a+bln c の形で答えよと指定される形。曲線 y=x³ln x、y=(ln x)/(x⁴) と x 軸で囲む面積、前半で最大・最小点 M を出す誘導つきも同じ。上端が文字 a のままで「for all a>1、∫₁^(a)… dx<1/9 を示せ」と不等式を要求する形もこのパターン。

The constant a is such that ∫₀^(a)… dx=4 のように定積分の値が与えられ、(a) show that a=1/2ln (4a+2) のような式を導け、(b) a が 2.4 と 2.8 の間にあることを計算で確かめよ、(c) 反復式で小数第2位まで（各回は小数第4位まで）求めよ、と3段で続く形。図の最大点・最小点の x 座標を a とし tan a=1/2a や p=1/2tan ⁻¹frac1p を示させてから反復させる形も同じ流れ。

Using the substitution u=√(x)、u=1+x²、u=√3x²、u=e^(x) と置換が指定される形。根号 √(x) を含む商、(x⁵)/((1+x²)³) や x/(1+3x⁴)、xe^(-x²/4) のように x の奇数冪 ×（x² だけの関数）、frac2e^(2x)e^(2x)-3e^(x)+2 のような指数の有理式（限界が x=ln3、x=ln5）が目印。

被積分関数が sin と cos の積・冪で、どちらか一方が奇数個ある形。sin が奇数個で残りが cos だけで書けるなら u=cos x 系（u=cos x、u=2+cos x）、cos が奇数個で残りが sin だけで書けるなら u=sin x 系（u=1-sin x）と両向きに判別する。Using the substitution u=cos x、u=2+cos x、u=1-sin x と置換が指定されるか、(a) で sin4x≡4sin x(2cos ³x-cos x) のような恒等式を示させて Hence と続く形。曲線と x 軸で囲まれた面積の exact value や a+b√2 の形で答えよという指定も合図。

分母が x²+a²（実数の範囲で因数分解できない二次式）で、分子の次数が分母以上の分数の定積分。直前に「Find the quotient and remainder（商と余りを求めよ）」の小問があって Hence や Using your answer to part (a) と続く形、または分子に x の項と定数が同居していて部分分数分解ができないのに exact value を要求される形。

被積分関数が tan ⁻¹x/2 単独、xtan ⁻¹x、xtan ⁻¹2x の形。Using integration by parts, find the exact value と明示されるか、(a) で tan y=2x から dy/dx=2/(1+4x²) を示せ、(a) で x² を 4x²+1 で割った商と余りを求めよ、という誘導が前に付く。

(a) で (1-cos2θ)/(1+cos2θ)≡tan ²θ、(1+sinθ)/(1-sinθ)≡2sec ²θ+2secθtanθ-1 のような恒等式を Prove させ、Hence find the exact value of ∫… と続く形。または (a) で acosθ+bsinθ を Rcos (θ∓α) に表させ、(b) で分母がその式の2乗・分子が定数の定積分を Hence で求めさせる形。

被積分関数が frace^(-x)1+e^(-x) のように分子が分母の微分の定数倍になっている定積分。または前の小問で (1-cos2θ+sin2θ)/(1+cos2θ+sin2θ)=tanθ、cosec 2θ-cot2θ=tanθ のように tanθ に等しいことを示させ、続けてその定積分が 1/2ln3/2、1/2ln2 のような対数の値になることを show that で問う形。被積分関数がまだ与えられておらず、(i) で x=ln (1-y)-ln y から y=frace^(-x)1+e^(-x) を導かせ、(ii) でその y を積分させる形も同じ。

被積分関数が xsec ²x、x cosec²x のように「x ×（積分すると tan や cot になる関数）」の形。直前の小問で d/dxcot x=-cosec²x を示させて v を渡してくることが多い。答えに π と ln が同居するのも合図。

被積分関数が 3cos ²5x、cos ⁴θ-sin ⁴θ、4sin ²θcos ²θ のように三角関数の偶数乗を含む定積分の exact value。xcos ²x のように多項式が掛かっていてもこのパターンで、その場合は先に降次してから部分積分に移る。図の網かけ領域 R を x 軸のまわりに1回転させた立体の体積を π を用いて表せと言われ、y=√(x)cos x のように2乗すると cos ² が出る形も同じ。

e^(cos x)sin ³x、sin2x e^(2cos x)、sin √(x) のように、指定の置換をすると「u の1次（または2次）式 × 指数・三角」が残る形。(a) で show that の変換、(b) で hence find the exact value という2段構成が多い。

分母が (a²+x²)² の形、または √(x/(1-x)) のような形で、Using the substitution x=3tanθ、x=2tanθ、x=cos ²θ と x 側を三角で表す指定がある形。(a) が show that で ∫ kcos ²θ dθ に直せ、(b) が hence find the exact value という2段構成が定番。

「Use the iterative formula xₙ₊₁=g(xₙ) … to determine (calculate) the root correct to 2 (3, 4) decimal places. Give the result of each iteration to 4 (5, 6) decimal places.」のように、反復式と多くの場合は初期値が与えられ、答えの精度と反復値の表示桁が別々に指定されている配点3の小問。同じ大問に続く「State the minimum number of calculated iterations needed with this initial value …」（配点1・s24₃1|6(e)）もこの型で扱う。

曲線 y=f(x) について「停留点が x=p にある」「最大点 M の x 座標が a」「x=a で接線の勾配が 1（または 12）」「2曲線の接線が直交する」といった勾配の条件が与えられ、続けて Show that a satisfies the equation … と答えの形が印刷されている問題。f は xⁿcos kx、xe^(-5x)、ln x/(3+x)、xln (8-x) のような積・商の形が多い。

円・半円・扇形・台形・接線の図があり、「the area of … is 3 times the area of …」「the sum of the areas of the shaded sectors is 90% of the area of the trapezium」「the area of the shaded region is equal to the area of the circle」のように面積の比が与えられ、角 x（または θ）ラジアンについて Show that x=… と続く問題。

反復式が A と B の2つ与えられ、「Each formula is used with initial value x₁=2.5」「Show that one of these formulae produces a sequence which fails to converge, and use the other formula to calculate α correct to 2 decimal places」と続く配点4の小問。

多項式の曲線が x 軸と2点 (a,0)、(b,0) で交わり、片方の b が整数だと与えられていて、「Find the value of b」→「Hence show that a satisfies the equation a=…」と続く問題。

「By sketching a suitable pair of graphs, show that the equation … has exactly one root (only one root / one real root) in the interval …」のように、解かずにグラフを1組だけかいて指定区間の根の個数を示せと指示された配点2の小問。根が1つとは限らない。w20₃1|5 と w20₃3|5 は cosec x=1+e^(-x/2)（0<x<π）で交点が2つあり、続く小問も converges to one of these roots と複数の根を前提にしている。

「Verify by calculation that this root lies between 0.8 and 1」「Show by calculation that α lies between 2 and 3」「Show by calculation that 0.2<p<0.6」。反復計算に入る前に根の存在区間を確かめさせる配点2の小問。

「Show that if a sequence of values given by the iterative formula … converges, then it converges to the root of the equation in part (a)」や「State an equation satisfied by α and hence find the exact value of α」。反復計算そのものではなく収束先の同定を求めている配点1〜2の小問。

「the two points on the line whose distance from the origin is √(10)」「PA:OA=√7:1」「D on l₂ such that BD=AB」のように直線上で長さや比が指定された点を求めるとき、「the point P on l such that AP=BP」のように2定点から等距離の点を求めるとき、または「the acute angle between the directions of these lines is 1/4π」「angle PAB is equal to 120^°」「cosθ=1/(√6)」のように角が数値で与えられ、方向ベクトルの定数 a や媒介変数 t を求めるとき。距離・比・角の指定は2次方程式になって答えが2つ出るのが普通で、AP=BP 型だけは1次方程式になって答えが1つしかない。

「Show that the lines are skew」「Show that l does not intersect the line passing through A and B」「Determine whether l and m are parallel, intersect or are skew」。直線が式で与えられず点 A・B だけの場合も、まず自分で直線の式を作ってこの型に持ち込む。

「Find the length of the perpendicular from P to l」「Show that the length of the perpendicular from O to the line through M and N is frac√(53)6」「Show that the length of the perpendicular from the origin to the line m is 1/3√5」「Find the exact length of the perpendicular」のように、位置ではなく距離そのものを答えるとき。台形で「Find the distance between the parallel sides and hence find the area of the trapezium」と聞かれるときも、この距離が高さになる。

「平面の方程式を ax+by+cz=d の形で求めよ」と指定され、3点が与えられている、または「2直線に平行」「2平面に垂直」「直線 l と点 P を含む」「OA に平行で直線 BC を含む」などの条件で平面が決まるとき。「AB に垂直で AB の中点を通る平面」のように法線が最初から分かっている型も後半の手順は同じ。

「find the position vector of the point of intersection」「show that l and m intersect and state the position vector of the point of intersection」「Given that l intersects the line passing through A and B, find the value of m」「Given instead that the lines intersect, find the value of a and the position vector」のように、2直線が交わることが前提で、交点そのものか式に入っている未知定数を答えさせる設問。台形の対角線どうしの交点も同じ。さらに「Show that A lies on l₁」「The line l also passes through B. Find the value of t」「P lies on l」のように、相手が直線ではなく1つの点であっても同じ等置の作業になる。

「find the position vector of the foot of the perpendicular from A to l」「the position vector of the reflection of A in l」「the perpendicular from P meets m at Q. R lies on PQ extended with PQ:QR=2:3」のように、直線に下ろした垂線の足の位置ベクトル、またはその先の鏡映点・比で伸ばした点を求めるとき。直線が直方体などの図形から作られる場合も同じ。

2点 A, B の位置ベクトルだけが与えられて「Find a vector equation for the line through A and B」「State a vector equation for l」と問われるとき。または立体図や位置ベクトルの設定があって「AB の中点 M」「AN=2NB となる点 N」「DN=3NC」のように比で決まる点が出てくるとき、あるいは「ABCD is a parallelogram」「DC=3AB の台形」と書かれて第4頂点 D（や C）の位置ベクトルを求めるとき。後者は続けて「Find a vector equation for the line through M and N」と問われることが多い。

「Hence find the area of triangle ABC」「find the area of the parallelogram」「find the exact area, giving your answer in the form p√q」のように、直前の小問で cos や角度を出させたあとに面積を求めさせる文言。

2つの平面の方程式が与えられ、「Find a vector equation for the line of intersection of the planes」と問われるとき。直前に平面どうしのなす角や垂直の確認が付いていることが多い。

「平面に含まれ、かつ直線 l と直角に交わる直線」「点 P を通り OP と平面の両方に垂直な直線」「あるベクトルに垂直で x 成分をもたない直線」など、通る点は分かっていて方向だけが2つの垂直条件（または成分が0という条件）で決まるとき。

平面が ax+by+cz=d の形で与えられ、「the perpendicular distance of P from the plane」「show that the plane m bisects AB at right angles」「a plane parallel to m and nearer to O, the perpendicular distance between the planes is 1」「show that l is parallel to m」など、平面と点・直線の垂直・平行・距離を問われたとき。

「Using a scalar product, find the cosine of angle BAC」「find the acute angle between the directions of the two lines」「find the obtuse angle between the directions of the two lines」「Calculate the acute angle between the planes」「Show that l and m are perpendicular」「Show that angle ABC is a right angle」のように、2つの向きの関係（角度・直角）を内積で処理させる設問。直線どうし・平面どうし・辺どうし・対角線どうしが対象で、直線と平面のなす角だけは sin になるので P15 で扱う。

直線 r=a+λ d と平面（ax+by+cz=d または (r-a)· n=0）が与えられ、交点の位置ベクトルや直線が平面に当たる点までの長さを求めるとき。「直線 l は平面 ax+by+2z=13 の上にある」のように直線が平面に含まれることが条件で、平面の未知係数を求めるときも入口は同じ。

「Show that OABC is a rectangle」「verify that the parallelogram is a rhombus」「verify that the parallelogram is not a rhombus」のように四角形の種類そのものを証明・検証させる文言、および「Show that triangle ABC is isosceles」「Show that AB=2CD」「Show that OA=OB=√5」のように辺の長さの関係だけを示させる文言。

「Calculate the acute angle between l and p」「find the acute angle between the line and the plane」のように、片方が直線・もう片方が平面で角を問われるとき。また「The acute angle between the line l and the plane p is equal to sin ⁻¹2/3. Find the possible values of a」のように、直線と平面の角が数値で与えられて平面や直線の未知定数を求めるときも同じ型。2直線どうし・2平面どうしの角は P04 で、この型だけ sin になる。

xdy/dx=(2-x²)y、xdy/dx=(1-2x²)y、(x+1)dy/dx=y(x+2) のように、分離して積分すると独立変数側に対数以外の項（-1/2x²、-x²、x、-1/4e^(-4x) など多項式や指数）が残る型。通過点が1組だけ与えられ、「y を x の式で表せ」「対数を含まない形で」「簡単な形にせよ」と指示されている。判別は残る項の種類で行い、y が1次かどうかでは判定しない（両辺とも対数だけになるものは P02 の型）。

xtanθdx/(dθ)=x²+3、(3+cos2θ)dx/(dθ)=xsin2θ、(1-cos x)dy/dx=ysin x、dy/dx=xy/(1+x²)、(x+1)ydy/dx=y²+5、xln x+tdx/dt=0 のように、分離して積分すると両辺とも対数だけになり、多項式や指数の項が一切残らない型。「x（x²、y、y²）を…の式で表せ」「簡単にせよ」「x の最小値を述べよ」と、対数を残さない最終形を要求される。

分離すると cos ² y、cos ² 3y、cos ² 2x、sin ² 2x、sin ² 3y、tan ² x、csc ²θcotθ、sec2xtan2x のように三角関数の2乗や積が現れる型。e^(4x)dy/dx=cos ² 3y、e^(3t)dx/dt=cos ² 2x のように独立変数側が e^(-kx) だけになるものもこの型に含める（従属変数側が 1/(a+by²) で tan ⁻¹ になるものだけがP09）。直前の小問で「d/(dθ)(cot ²θ) を示せ」「csc ²θ を微分せよ」とあるときは、その結果を逆に使えという合図。

(x+1)(3x+1)dy/dx=y、xdy/dx=4-y²、5dx/dt=(20-x)(40-x)、x²dy/dx+y²+y=0 のように、分離すると分母が2つの1次因子の積・2乗の差・重複因子になる型。「Express ... in partial fractions」「Using partial fractions, solve」と明示されることが多い。

「〜に比例する（proportional to）」「k は定数」と書かれ、条件が2組（t=0 で x=0 と t=10 で x=25、通過点 (1,1) と (e,2) など）与えられている型。未知数が k と積分定数 c の2つある。「By setting up and solving a differential equation」で始まることが多い。

タンク・容器・風船に水や空気が出入りする文章題で、体積 V が深さ h（半径 r、辺 x）だけで表せ、(a) で「Show that ... dh/dt=·s」と最終形が指定されている。流出が「〜に比例する」「〜に反比例する」と書かれ、(b) で「t を h で表せ」「深さが80cmになるまでの時間を求めよ」と続く。

分離した結果 ∫ xe^(x)dx、∫ xsin3x dx、∫ 4xe^(-2x)dx、∫(1+y)e^(-3y)dy のように「多項式×指数」「多項式×三角」が現れる型。dy/dx=xe^(x+y) のように指数の肩が和になっている、(1+y) が係数に付いている問題文が合図。

dy/dx=e^(3y)sin ² 2x、dy/dx=e^(-2y)tan ² x、dN/dt=kN^(3/2)cos0.02t のように、y（N）が指数の肩や分数冪・負冪で1か所にだけ現れる型。「y を x で表せ」「x=1/2 のときの y の値」「N の最大値」を求めさせる。

「毎分30リットル入り 0.01V 漏れる」「Ne^(-0.02t) に比例して減る」のように、k や a,b が (a) で数値に確定してから (b) で解かせる型。最後に「N=800 のときの t」「t が大きくなるときの値」「反復式で2桁まで求めよ」がつく。

分離すると (y+4)/(y²+4)、(x+3)/(x²+9) のように分子が2項ある有理式になるか、(x³+5x²-2x-15)/(x²-3)（商 x+5、余り x）のように分子の次数が分母以上の有理式になる型。直前の小問に「商と余りを求めよ」とある場合も同じ合図。

面積・感染株数・個体数が「すでに変化した量と、まだ変化していない量の積に比例して増える」と書かれ、dx/dt=kx(N-x)（N は全体量）が与えられる、または show that で導かせる型。データが2組（t=0 と t=2 など）与えられて k を求めさせる、あるいは「t を x の単一の対数で表せ」と要求される。

dy/dx=frac1+4y²e^(x)、dy/dx=frac4+9y²e^(2x+1) のように、従属変数側が2乗和の逆数 1/(a+by²) になり、独立変数側が e^(-kx) だけになる型。最後に「x が無限大に近づくときの値を厳密な形で述べよ」がつく。cos ²・sec ² が現れる型（e^(3t)dx/dt=cos ² 2x など）は e^(-kx) と組んでいてもここではなくP03。

曲線上の点 P(x,y) と、接線（法線）が x 軸と交わる点 T（N）、P から x 軸に下ろした垂線の足 M（N）が図で与えられ、「MN=ydy/dx を示せ」「三角形 PMN の面積が tan x に等しい」「TN=2」「勾配が三角形 OPN の面積に等しい」のように図形量が条件として書かれている。

「On a sketch of an Argand diagram, shade the region whose points represent complex numbers z satisfying the inequalities ...」や「sketch the locus of points representing z satisfying ...」。逆に図が与えられて「Find two inequalities in terms of z that define the shaded region」と読み取らせる型も同じ辞書を使う。

「a+bi の2つの平方根を求めよ（a, b は real and exact）」と出る型。近年は「By first forming a quartic equation in x or y」と手順まで指定される。p(z²)=0 の根を hence で求めさせる型も、途中でこの手順を使う。電卓禁止・exact 指定が合図。

式の中に z^(*)（共役）や zz^(*)、|z| が混ざった方程式を解いて答えを x+iy の形で書け、と言われたとき。「z/(z+5) が実数」「arg ((z+4)/(z+4i))=0」のように商が実数という条件と |z| の値が同時に与えられる型も含む。共役が出てこなくても、5(z-3i)/(z+3i)=2-9i のように両辺に i の付いた z だけの1次方程式（分数形を含む）で x+iy を求めさせる型も同じ入口でよい。

複素数を「modulus と argument を求めよ」「re^(iθ) の形で」「r(cosθ+isinθ) の形で」と言われる設問全般。√2-√6 i、-1-√3 i、-√3+i のようにはじめから x+iy 形で与えられる型、zω のような積で与えられる型、u=(a+bi)/(c+di) のような分数で与えられる型のいずれもここに入る。分数のときだけ先に分母の共役を掛ける。exact values や 3 significant figures の指定が付くことが多い。

(1+2i)w²+4w-(1-2i)=0、iz²+2z-3i=0、(1-3i)z²-(2+i)z+i=0、(3+i)w²-2w+(3-i)=0 のように z²（w²）の係数そのものが複素数の2次方程式で、「giving your answers in the form x+iy」と指定される型。根が複素数の分母をもつので最後に有理化が要るのが分かれ目。z² の係数が1のものは cpx-P11 へ。多くは電卓禁止・showing all necessary working 付き。

実係数の多項式に複素根が1つ与えられ「State a second root」「Find the other roots」「Find the real factors of p(x)」と聞かれる型。実係数の z²+bz+c=0 の根が1つ（極形式 re^(iθ) のことも）与えられて b, c を求める型も同じ手順。

z=re^(iθ) や r(cosθ+isinθ) の形で与えられ zw、z/w、zⁿ、√z を re^(iθ) で答えよと言われたとき。「z²ω が実数」「Im wⁿ=0 となる最小の n」「|z|=2 の弧に対する z² の軌跡」のように偏角の条件や写像を問う型も含む。

u=3i/(a+2i)、z=1/(1+yi) のように実数の文字が式に入っていて、「x+iy の形で a の式として表せ」に続けて「arg u=1/4π となる a を求めよ」「arg u^(*)=1/3π となる a の exact な値を求めよ」「Re f(a)=-20」「(a-1/2)²+b²=1/4 を示せ」と続く型。

点 A、B、C が複素数を表すとして「角 AOB を求めよ／示せ」「OB と AC の幾何学的関係を完全に述べよ」「三角形 AOB が二等辺・直角二等辺であることを証明せよ」「ω を掛けることの幾何学的効果を述べよ」「u を u^(*) に移す1つの幾何変換を述べよ」と問われるとき。「BC=2AB かつ ∠ ABC=90^° となる第1象限の点 C を表す複素数を求めよ」のように、角と比から点そのものを作らせる型も含む。電卓使用不可の指示が付くことが多い。

軌跡や斜線領域について「Find the least value of |z|」「Calculate the greatest value of arg z（3 decimal places / in degrees）」「Find the least value of Im z in exact form」「Hence find the least value of |z-w| for points on these loci」と続くとき。境界に円がある型と、半直線や直線だけで円が無い型の両方がある。

v+iw=5 と (1+2i)v-w=3i のように v と w（z と w、u と w）についての式が2本与えられ、両方を x+iy の形で求めよと言われたとき。2本目が uw=6 のように積で与えられることもある。

z²-2piz-q=0、z²-6iz-12=0、z²+2√6 z+8=0 のように z² の係数が1（z の係数だけが虚数のこともある）の2次方程式を解かせたあと「根を Argand図に示せ」「exact な modulus と argument を求めよ」「三角形 OAB が正三角形であることを示せ」「q を p で表せ」と続く型。z² の係数そのものが複素数で有理化が要るものは cpx-P05 へ。

実係数の多項式（多くは3次）に未知定数 a, b, k が入っていて「u=p+qi が根である」と与えられ Find the values of a and b と聞かれる型。係数が全部既知で「Show that z=-1+2√6 i is a root」「Show that (x+3) is a factor」と証明させる型も同じ手順。

「7+i と 1-i の偏角を考えることにより tan ⁻¹(4/3)=tan ⁻¹(1/7)+1/4π を示せ」「arg (u^(*)/u) を考えて tan ⁻¹(4/3)=2tan ⁻¹(1/3) を示せ」「前の小問の答えを使って tan (5π/12) の値を示せ」のように、tan ⁻¹ や π/4 を含む等式を argument から証明させるとき。

値を求めるのではなく共役の代数的な性質そのものを証明させるとき。「u=a+ib、w=c+id（a, b, c, d は実数）のとき (u+w)^(*)=u^(*)+w^(*) を証明せよ」「z₁=r₁e^(iθ₁)、z₂=r₂e^(iθ₂) のとき (z₁z₂)^(*)=z₁^(*)z₂^(*) を示せ」のように、u と w の形（デカルト形か極形式か）が問題文で先に与えられているのが合図。配点は2〜3点と小さい。

(3-x)(1+3x)^(1/3)、(2x-5)√(4-x)（＝(2x-5)(4-x)^(1/2)）、(6-x)(1-2x)^(-3/2) のように、二項の因子に1次式（定数＋x）が掛かっている。「Find the coefficient of x³ in the expansion of ...」または2つの括弧の積を Expand せよ、の形で、係数の値は与えられていない。

括弧の先頭が 1 でない (3+2x)⁻³、(2-3x)⁻²、√(9-3x)、frac4√(4-3x)、(2-x²)⁻² 型。展開の第1項が 1 にならない式。ただし括弧が1つだけで、前に多項式（(2x-5) など）が掛かっていないものに限る。多項式が掛かっていれば ser-P03（P03 の手順1でこのくくり出しを行う）。

括弧の先頭が 1 で、指数が分数または負の因子が1つだけの式（frac1√(1-2x)、sqrt[3]1+6x、(1+3x)^(2/3) など）。「Expand ... in ascending powers of x, up to and including the term in x³, simplifying the coefficients」と指示され、掛かっている多項式や分母の分解がない。

分母が (a-2x)(3a+x) や (3a+2x)(2a-x) のように相異なる1次因子2つ（多くは文字定数 a 入り）で、(a) express in partial fractions [3] → (b) x² までの expansion [4] → (c) 有効範囲 [1] と続く型。最終の展開は数値ではなく a の式になる（ただし部分分数の A、B 自体は数値）。

分母に 2+x² や 2+3x² のように実数では因数分解できない2次式があり、「express in partial fractions」または「express in the form A/(3-x)+(Bx+C)/(2+x²)」→「hence obtain the expansion in ascending powers of x, up to the term in x³」と続く型。

√((1+2x)/(1-2x)) のように二項の因子が分子と分母に1つずつある（または (1+ax)^(p)(1+bx)^(q) の積）。掛ける相手が有限の多項式ではなく、展開すべき無限級数が2本になる型。分母が相異なる1次因子2つの分数式（7a/((a-2x)(3a+x)) など）を部分分数に分けずに解くときも、この型になる（ser-P06 の別解ルート）。

(a+bx)√(1+4x) のように「多項式×二項級数」の積を x の昇べきに展開したとき、x の係数と x² の係数の値が与えられ、そこから a、b を求めよと指示されている問題。設問文に expanded in ascending powers of x と the coefficients of x and x² are ... が同時に出てきたらこの型。

分母に (2+x)² のように同じ1次因子の2乗があり、分子が 24x+13 のような1次式で、部分分数 [5] → x² までの expansion [5] → 有効範囲 [1] と続く型。

「State the set of values of x for which the expansion is valid」の1点小問。二項展開の直後 (b) に付く場合と、部分分数に分けて展開した問題の最後 (c) に付く場合がある。