Quadratics · 10年間で60問 · パターン14種
Use b²-4ac=0 for tangency, or matching gradients, to determine the constant
「the line y=3x-4 is a tangent to the curve」「meets the curve at a single point P」「touches」のように接することが与えられ、定数の値を求めよ、または 4c=m²-12m+16 のような関係式を show that せよと言われているとき。
Form the discriminant inequality from the line and curve, then solve for the parameter
「Find the set of values of k for which the line and curve have two distinct points of intersection / do not meet / meet」のように、直線と曲線があって交点の個数だけを問われ、座標は聞かれず、定数が1文字（k, c, m, a, b）だけ残っているとき。直線も曲線も出てこない裸の二次方程式の実数解の個数は P04。
Substitute u = x^(k) or square both sides to obtain a quadratic, then reverse to the original variable
「By using a suitable substitution」「Showing all necessary working, solve the equation」で項が3つあり、大きいほうの指数が小さいほうのちょうど2倍になっているとき（x と x^(1/2)、x⁴ と x²、x⁶ と x³ など）。交点の座標を問う問題で、代入するとこの形になる場合も含む。直前の小問で 3y²-12y-15 のような平方完成を作らせておいて 3x⁴-12x²-15=0 を「Hence find the exact solutions」と解かせる型（s24₁1|1）もここ。かっこの中が x そのものでなく x²、x^(1/2) など x の累乗なら、命令文が P02 と同じでもこのパターンで解く。
Show the discriminant is always non-negative by completing the square in the parameter
「Show that, for all values of k, the curve and the line meet」「intersects the curve at two distinct points for all values of m」のように、定数がどんな値でも交わることを示す show that 型。A・B・C の記述を選ばせる形式も中身は同じ。
Fix a constant or its range using the least value or the discriminant
「f(x)>2 for all values of x」「no real roots となる p の範囲」「has exactly one root」「the whole of the curve lies above the x-axis」のように、二次式に未知の定数が入っていて、その定数の値または範囲を求めるとき。「3kx²+(k+8)x+3=0 has two distinct real roots となる k の範囲を求めよ」のように、直線も曲線も出てこない裸の二次方程式で実数解の個数だけが条件になっている場合もここに入る（直線と曲線の交点の話なら P07・P08）。
Clear the fraction first when x is in the denominator, then apply the discriminant
曲線の式に x が分母として入っていて（y=-m/x、y=-2/x、y=-1/2x、y=2x+12/x など）、直線を代入しても分数が残り、両辺に x を掛けないと3項二次式にならないとき。接する条件・交点の個数・交点の座標のどれを聞かれても、まずこの前処理から入る。xy=16、2x²-kxy+2=0、x²-3xy-40=0、2xy+5y²=24、2x²+3y²=k、y²=x+3 のように分数の形で書かれていない曲線は、直線を代入するだけで3項二次式になるので、P07・P08・P09・P11 の第1手順で処理する。
Use the completed square to solve the equation exactly
「Hence find the exact solutions of ...」「Hence solve 4x²+20x+6=45」のように、直前の小問で作った平方完成の形を使って解けと指示され、答えを根号を含む厳密形で求められているとき。ただしこのパターンを使うのは、平方完成のかっこの中の文字が x そのもの（元の式が x の二次式）である場合に限る。直前の平方完成が 3y²-12y-15 のように x²、x^(1/2) など x の累乗についてのもので、解かせる式が 3x⁴-12x²-15=0 のような4次式・分数指数の式なら、命令文が一字一句同じ「Hence find the exact solutions」でも P13 で解く。
Solve a quadratic inequality and give the set of values of x, choosing the completed square or factorising route
「Hence find the set of values of x for which f(x)<9」「x²+6x+2>9」「f(x)≤3」「y>13」「the gradient of the curve is positive」のように、二次式（または dy/dx）の符号条件を満たす x の範囲を聞かれるとき。直前の小問で平方完成させられていて設問が「Hence」だけなら、その形を使えという合図。
Read the vertex, greatest or least value, range and sketch from the completed square
「State the greatest value of f(x)」「State the range of f」「state the coordinates of the vertex」「stationary point の座標を示してグラフをかけ」のように、平方完成の直後に最値・値域・頂点・概形が問われるとき。
Describe translations and reflections of y=x² from the completed square
「The curve y=x² is transformed to y=x²+6x+5」「Describe fully the transformation(s) involved」「a reflection followed by a translation of C(m,n)」のように、y=x² からの変換を述べる、または m, n を求めるとき。
Multiply through by the denominator to obtain a quadratic, substituting the repeated bracket if present
方程式に 4/((2x-3)²) や 2/(x-1) のような分母があり、その分母（またはカッコの塊）が他の項にも現れる、あるいは分母を払うと二次式になるとき。
Complete the square into the required form and state the constants
「Express 3x²-12x+7 in the form a(x+b)²+c」のように答える式の形が指定され、その定数の値を求めよと言われているとき。(4x+a)²+b や a-(x+b)² のような変則的な形を指定される場合も含む。
Substitute the constant back, solve the quadratic and give the coordinates
「Find the coordinates of P」「Find the coordinates of A and B」「find the value of k and the coordinates of the point where the tangent meets the curve」のように、点の座標そのものを答えさせるとき。
Substitute the given point or roots to fix the constants, then find the remaining point
「one of the points of intersection has coordinates (5/2,1/2)」「the curve and the line intersect at the points with x-coordinates 0 and 3/4」「the solutions of f(x)=0 are x=1 and x=9」のように、交点や根が先に与えられていて、定数の値やもう一方の点を求めるとき。
Functions · 10年間で93問 · パターン14種
Express as constant plus fraction, clear denominators (squaring first if surd), factorise out x, then give the inverse, range and excluded value
f(x)=(ax+b)/(cx+d)、k/(cx+d)、k+m/(x-a)、(x²-4)/(x²+4)、fracx√(4-x²) のように分数や根号で定義され、xned/c や x>a の但し書きが付いた関数に対して、「f⁻¹(x) の式を求めよ」「答えを ax/(bx+c) の形で」「f⁻¹ の定義域を述べよ」「g⁻¹(x) が定義されない x の値を述べよ」「f の値域を述べよ」「Show that 1-8/(x²+4) can be expressed as (x²-4)/(x²+4) and hence state the range of f」「Show that 2/3+2/(3(3x-1)) can be expressed as 2x/(3x-1)」と問われるとき。
Complete the square, isolate the squared term, then choose the sign of the root from the domain
「x² を含む式を (x+a)²+b、2(x+a)²+b、a-2(x+b)² の形にせよ」に続いて「x≤ k（または x≥ k）で定義された f について f⁻¹(x) を求め、f⁻¹ の定義域を述べよ」「f の値域を述べよ」「f が一対一（逆関数をもつ）となる最小（最大）の k を述べよ」と出るとき。(2x+1)²+3 のように塊の2乗にまとまる合成関数の逆関数も同じ。
Reduce a composite or inverse equation to one equation, decide whether it is linear or quadratic, solve it and reject out-of-domain roots
「Solve the equation fg(x)=…」「gf(x)=13」「ff(x)=51」「fg(x)-3=gf(x)」「ff(x)=gf(2)」「Find the values of x for which f⁻¹(x)=g⁻¹(x)」のように、合成や逆関数を含む等式を解いて x を求めよと言われている。右辺が f(25/16) のように先に計算できる型もここに入る。ただし「has two equal roots」「≡」「verify that」と書かれていたら x を求める問題ではないので、判別式や係数比較を使う逆関数の性質の型（グラフ・存在・自己逆関数を扱う型）へ回す。
Decode a transformed equation into named transformations by splitting inner and outer changes
図はなく、y=2f(x-1)、y=f(3x)+2、y=3-f(x) のように変換後の式（または f と g の式）だけが与えられ、Describe fully the transformation(s) / a sequence of transformations と問われる（答えるのは言葉と数値）。
Compare corresponding points on two graphs to read the scale factor, translation vector and order
図に変換前後の2本のグラフ（実線 y=f(x) と破線、y=f(x) と y=g(x)、y=x³ や y=sin x と変形後）が描かれ、Describe fully a sequence of transformations which transforms … と、順序を明示して問われる。
Write the transformed equation by applying each transformation as a substitution, one step at a time
「State, in terms of f, the equation of the graph shown with broken lines」「Find an expression for g(x) in terms of f(x)」「A sequence of transformations is applied in the following order …. Find g(x), giving your answer in the form ax²+bx+c」「The curve … is translated by C(1,3). Find the equation of the translated curve」のように、答えが式（f 記法・具体式・定数の値）で要求される。
Use inverse-function properties (reflection in y=x, swapped domain and range) to sketch, justify existence, check self-inverses and equal-root conditions
「同じ図に y=f⁻¹(x) をかけ、mirror line も示せ」「explain why g is a one-one function」「g⁻¹(x) が求められない理由を説明せよ」「y=f(x) と y=f⁻¹(x) の交点を求めよ／f(x)=f⁻¹(x) に解がない理由」「Find the possible values of a given that the equation f⁻¹(x)=g⁻¹(x) has two equal roots」「f⁻¹(x)≡ f(x) となる p の値を述べよ」「g⁻¹(x) を求め、a=6 なら g⁻¹(x)≡ g(x) であることを確かめよ」「y=g⁻¹f(x) と y=g(x) がただ1点で交わる」のように、式を解いて x を出すのではなく逆関数の性質そのものを問う小問。
Form a composite function and simplify it into the required form
「Find an expression for gf(x)」「Show that gf(x)=…」「Hence expand gg(2x) completely」「fg(x)=6x²-21 が与えられて内側の a, b を求めよ」「g⁻¹f(x) を簡単にせよ」のように、合成した式そのものが答えになる設問。ただし合成を作らずに分数を「定数＋分数」に書き換えるだけの show that は、分数・根号の関数を扱う型で処理する。
Feed values through the (nested) functions from the inside out and equate to the given value to find the constants
「gg(2)=10」「ggf⁻¹(12)=62」「fgg(0)=96」「f((π)/6)=4 のとき定数 a と b を求めよ」「f(7)=5/2 と gf(5)=4 から a, b を求めよ」「The range of g is -4≤ g(x)≤ 10, find c and d」のように、具体的な数値や値域の端が与えられて関数の中の定数を求めよと言われている。
Handle a single-trig function in order: range, sketch, solutions inside the interval, then the inverse
f(x)=a+bsin (kx)、a-bcos x、atan1/2 x のように三角関数1個で作られた関数に 0≤ x≤ p のような区間が付き、「値域を述べよ」「Sketch the graph of y=f(x)」「座標軸との交点の座標を求めよ」「f(x)=6 を解け」「1 d.p. で解け」「exact solutions を求めよ」「g が逆関数をもつ最大の p（k）を述べよ」「f⁻¹(x) の式と、その定義域・値域を求めよ」と問われるとき。
Map key points forward or backward through the transformation to get coordinates or a sketch
「State the coordinates of the point on the new curve corresponding to A」「State the coordinates of the corresponding point on the original curve」「停留点 (p, q) に対応する点の座標を求めよ」「On the diagram sketch the graph of y=g(x)」のように、点の座標や図そのものが答えになる設問。
Complete the square on both quadratics, match to k f(x + p) + q, then read off the transformations
f と g がどちらも二次式で与えられ、「By first expressing each in completed square form」「Express g(x) in the form 2[(x+c)²+d]」「Express g(x) in the form kf(x+h)」に続けて「Describe fully the transformation(s)」と問われるとき。
Get the range from the vertex and the domain endpoints, and fix the unknown constant from the given boundary
「determine the range of fg」「Find the range of f」「Given that the range of gf is gf(x)≥ 39, find the value of k」「The range of h is h(x)≤ 15, find the values of c and k」「the range of f is f(x)≥ -33, find the possible values of a」のように、値域そのもの、または値域を手がかりにした定数決定が問われている。合成関数だけでなく、素の二次式・変換後の曲線・分数の合成の値域も同じ型で処理する。
Use range-inside-domain to fix the endpoints of a composite, or to explain why it cannot be formed
「find the greatest value of a and the least value of b which will permit the formation of gf」「Given that it is possible to form gf, find the least possible value of p and the greatest possible value of q」「State the largest value of k possible for the composition fg to be defined」「Explain why the composite function fg cannot be formed」「Explain why the composite function ff cannot be formed」「Explain why the composite function hg⁻¹ cannot be formed」。合成が作れるか作れないかの判定と説明はすべてこの型で、f と g、f と f、hg⁻¹ のように逆関数が混じるどの組合せでも手順は同じ。
Coordinate Geometry · 10年間で64問 · パターン15種
Substitute the line into the circle or curve and solve for the intersection points and the chord
円（または曲線）の式と直線の式が両方与えられ、「2点で交わる」「交点の座標を求めよ」「弦 AB の長さを exact form で」「三角形 ABC の面積」「x 軸・y 軸・x=k と交わる点」と問われるとき。垂直二等分線が曲線と交わる点を求める型もここ。接するとは書かれていないので判別式は使わず実際に解く。
Build the perpendicular bisector from the midpoint and the negative reciprocal gradient
2点 A, B の座標が与えられ「perpendicular bisector of AB の式を求めよ／show that」「AB の中点を通り AB に垂直な直線」「A と B から等距離の点が並ぶ直線」「垂直二等分線が y 軸や曲線と交わる点」と問われるとき。円の中心が2点から等距離という設定でも同じ。crd-P01 の特殊形で、「中点を通る」と「その2点を結ぶ線分に垂直」の2つが同時に指定されているときだけこちらを使う（どちらか片方だけなら crd-P01）。
At a point on the circle the tangent is perpendicular to the radius: use it to form tangents and normals
「点 B における接線の方程式を求めよ」「l が A で円に接することを示せ」「接線に垂直な直径の式」「DC が接線であることを示せ」「同じ点 A で同じ直線に接する半径 √(52) のもう1つの円の式」「原点から最も遠い点 P における接線の傾き」のように、円上の点（接点・直径の端点・極端な位置の点）でその接線や法線を扱うとき。接線が先に与えられて円の未知定数 p,q を決める型も同じ。
Use the discriminant of the substituted quadratic to fix tangency or the intersection condition
「is a tangent to the circle」「接するときの a（m）の値を求めよ」「2点で交わる k の範囲」「does not meet となる m の集合」のように、直線か円に未知定数が入っていて、位置関係のほうが条件として与えられているとき。
Work with squared lengths to solve for unknowns, prove equal lengths, and finish areas
「PQ の長さを 1 decimal place で」「AB の長さが 10/3 のとき a の値を求めよ」「AP=AB」「AC と BC の長さが等しい」「CD²=20」「二等辺であることを示し exact area を求めよ」のように、長さが問われる、または長さの等号が条件として与えられているとき。両端の座標がまだ分かっていないとき（直線や垂直二等分線が曲線・円と交わってできる2点の距離を問う型）は、先に crd-P09 の代入手順で交点の座標を出してからこのパターンに入る。
Work backwards from perpendicular, parallel and midpoint conditions to find a lettered point or constant
「垂直二等分線の式が 2y=3x+5 のとき B の座標を求めよ」「A(h,h)、B(4h+6,5h) の垂直二等分線が 3x+2y=k。h と k を求めよ」「C(h,3h) で angle ABC = 90°。h を求めよ」のように、直線のほうが先に与えられていたり座標に文字が入っていて、その文字や欠けている端点を求めるとき。
Fix the gradient from two points or a parallel/perpendicular condition, form the line, and find its intercepts or intersections
2点の座標が与えられて「その2点を通る直線」「AB に垂直な直線」「〜に平行な直線」「angle ABC = 90°」などが指定され、その直線の式や、x 軸・y 軸との交点、他の直線との交点（垂線の足）を問われるとき。ただし「2点の中点を通る」と「その2点を結ぶ線分に垂直」が同時に指定されている型（perpendicular bisector・2点から等距離）は crd-P03 を使う。中点だけ、または垂直だけならこのパターン。
Build the circle equation from a diameter or a centre and a point, and convert between standard and general form
「AB is a diameter」「中心 (5,2) が点 (7,5) を通る」のように中心と半径が決まる情報が与えられて円の式を求めるとき。x²+y²+ax+by+c=0 の形で係数の一部が未知、または中心・半径を読み取れと言われるとき。円上の「最も低い点」「原点から最も遠い点」など極端な位置の点を聞かれるとき、円を平行移動・対称移動した先の式を問われるときも同じ。
Form the two tangents at two points of contact, then find where they meet and the area they enclose
「A と B における接線が P で交わる」「円の外の点 T から引いた2本の接線」「2本の接線と直線 x=-2 が作る三角形の面積」のように、接点が2つあって、その接線の交点・接点を結ぶ直線・できる図形の面積を聞かれるとき。
Spot the right angle among three points on the circle and take the hypotenuse as the diameter
円周上に3点があり「AC is perpendicular to BC」「AB is perpendicular to BC」「angle PRQ is a right angle」「show that angle ABC = 90°」と書かれている、または3点を通る円の式を求めよと言われるとき。1点に p や k などの文字が入っていることが多い。
Set the centre as an unknown and solve two conditions simultaneously
中心が直接は求まらず条件が2つ与えられるとき。「A と B を通り中心が直線 12x-5y=70 上にある」「半径 10 の円が A と B を通る（中心が乗る直線を示せ）」「x 軸との最短距離が 8、y 軸との最短距離が 5、原点から中心までが 15」などが典型。
Two circles: write down both centres and radii, then use the centre distance, extreme distances, or the common chord
円が2つ与えられ「distance between the centres」「greatest and least possible values of d」「the two circles intersect at R and S」「RS の式を示せ」のように、2円の関係が問われるとき。
Given the gradient of the tangents, draw the normal through the centre to locate the points of contact
「傾き 1 の平行な2接線が点 A, B で接する」「傾き -1/2 の接線が2本ある。接点の x 座標を exact values で求めよ」のように、接線の傾きが数値で与えられていて、接点の座標や接点を結ぶ直線を問われるとき。
Differentiate the curve and match gradients to get the tangent parallel or perpendicular to a given line
相手が円ではない曲線（y=4√(x)、y=√(x-1)、y=5(2x-5)^(3/2) など）で、「曲線の接線で AB に平行なものを求めよ」「曲線の傾きが -3 になる点 B」「点 T における接線が AB に平行」のように、傾きの条件から接点を探すとき。
Get angles from coordinates and circle properties, then use the inscribed-angle rule and half r squared sin theta for the inscribed figure
「Find angle BDC in degrees」「接線と CT のなす角がちょうど 45° であることを示せ」「PQR は正三角形。その exact area を求めよ」のように、座標幾何の設定の中で角度そのもの、または円に内接する図形の面積を問われるとき。座標・中心・半径・接線の式は前の小問で出そろっていることが多い。
Circular Measure · 10年間で66問 · パターン9種
With the angle known, write the shaded area as a signed sum of sectors and polygons, then substitute
中心角がラジアンで図に数値で書き込まれている（0.8 rad、1/6π rad、2.8 rad など）か、弧長 s・扇形面積 A から θ=s/r・θ=2A/(r²) で一発で逆算でき、あとは与えられた角との足し引き（π-θ、(π)/6-0.2 など）だけで扇形の中心角が決まるとき。影が扇形と三角形・長方形・正方形・四分円の足し引きで表せる形になっている。三角形を作って余弦定理や逆三角関数を使わないと中心角が決まらない問題は、この型ではなく rad-P04。
Find the unknown central angle from a triangle first, then combine sectors with different centres and triangles
扇形の中心角そのものが図に数値で与えられておらず、辺の長さ（7と8、5と12と13、8と10、15と9、16と10と10 など）や座標から三角形を取り出して、余弦定理か逆三角関数で先に確定しないと 1/2r²θ に入れる θ が決まらないとき。図に直角の印・二等辺の印や perpendicular、tangent、ACB is a straight line、touch の語があり、中心の違う円の弧が2本出てくるのが目印。中心角が図に書いてある、または弧長・扇形面積から逆算できる問題は rad-P03。
Use the right angle between tangent and radius, then subtract the sector from the triangle or kite
「AT is a tangent to the circle」「the tangents at A and B meet at T」「touches it at D, E and F」「angle OAB = 90°」のように半径の端で直角ができ、接線と弧に囲まれた部分（円の外側）が影になっているとき。rtanθ や r/(cosθ) が出てくる形。扇形の中に円が内接して3点で接する配置も同じ型。
Translate the given arc, area and perimeter conditions into equations in r and theta and solve for them
半径や中心角が数値で与えられず、「扇形の面積は A cm²」「弧 AB の長さは 9.6 cm」「周は 65 cm」「周は 4.4r cm」「一方の扇形の周はもう一方の2倍」のように、弧長・面積・周の値や関係だけが条件になっているとき。答えを r と A など文字で表せと言われる場合も含む。
Find the central angle from the chord, then take the segment as sector minus triangle
影が1本の弧と1本の弦だけで囲まれた弓形で、その面積か周を出すのが主目的のとき。問題文に chord や segment の語があり、中心角が図に書かれておらず弦の長さ（または弦をはさむ2辺、端点の座標）から求める必要があるのが決め手。周を問われていても輪郭が弧1本と弦1本だけならこの型で、周は rθ+2rsin (θ)/2 とする（rad-P08 ではない）。円の方程式と直線が与えられて弦ができる問題、2つの円が重なってできるレンズ形（弓形2つ分）もここ。
Split a plate or cross-section into sectors, triangles, semicircles and rectangles and add the parts
「a metal plate ABCD made from two parts」「consisting of … sectors …, triangles …, semicircles …」「a cross-section RASB」「a cross-section of seven cylindrical pipes」のように、くり抜きではなく図形全体の面積や周が問われ、輪郭がそのまま部品の輪郭になっているとき。
Read the exact angle off an equilateral or symmetric figure and answer exactly in terms of pi and root three
「in terms of π」「in terms of π and √(3)」「exact」と厳密値を要求され、しかも半径がどれも等しい・equilateral triangle がある・円の中心が相手の円周上にある・同じ部品が何個も対称に並ぶ、という配置のとき。最初の小問が「Show that angle PCS =2/3π」のようになっていることが多い。
Trace the boundary once and add every arc of each radius and every difference-defined segment
周長だけが問われ（Find the perimeter of the shaded region など）、輪郭に半径の違う弧が2本以上あるか、引き算でしか出ない線分（AD-AB、OT-r、2rcosθ-r、6-6cosθ など）が混じっているとき。数え落としとその1本の引き算が勝負になる問題。輪郭が弧1本と弦1本だけの弓形の周は rad-P02、輪郭が接線と弧だけなら rad-P05。
Turn an equal-area condition into an equation in letters and solve for the unknown
「divides the sector into two regions which are equal in area」「the area of the sector is the same as the area of the shaded region」のように面積どうしの関係が条件で与えられ、k や θ の値・範囲、あるいは tanθ=2θ のような関係式の show that を求められるとき。
Trigonometry · 10年間で84問 · パターン14種
Reduce to one trig ratio, form a three-term quadratic and list every solution
指定区間で solve する方程式に sin と cos（や tan）が混ざる。「may be expressed in the form acos ²θ+bcosθ+c=0 を示せ」「By first obtaining a quadratic equation in cosθ」の誘導、tanθsinθ のように次数の違う項の同居、分母（1/(cosθ)、1/(sinθ+cosθ)）の混在も合図。
Combine everything into a single fraction, then clear the denominator with the Pythagorean identity
Prove the identity / Show that … と書かれ、左辺が「分数＋分数」「分数−分数」（分母に 1±sinθ、1±cosθ、sinθ、cosθ、tanθ が並ぶ）、または tanθ・1/(cosθ)・(1/(cos x)-tan x)²・(tanθ)/(sinθ)-(sinθ)/(tanθ) のように分数と tan が混ざった形になっている。
Substitute for the squared ratio, solve the quadratic, then take both square roots
sin ⁴θ・cos ⁴θ・tan ⁴θ が出てくる、整理すると sin ²θ（cos ²θ・tan ²θ）だけで書けて1次の項がない。「acos ⁴x+bcos ²x+c=0 の形で表せ」「x=cos ²θ とおいて」の誘導つきが多い。
Solve for the compound angle over its transformed interval, then convert back
未知数が 2θ、cos2x、tan (2x+1)、sin (2x-20°)、cos1/2x のように三角関数の引数が加工されている、合成関数 fg(x) の中に三角関数が入っている、「two smallest values of x」「Find the exact solution」の指定がある。tan ⁻¹(5x-3) のように逆三角関数の引数になっているだけの式は角ではないのでこのパターンではなくP11。
Factorise into a product equal to zero and solve each factor separately
Solve, by factorising と明記されている、4sinθ+tanθ=0 のように全項に sinθ が残る、6cosθtanθ-3cosθ+4tanθ-2=0 のような4項の式、(tanθ+asinθ)/(tanθ-bsinθ)=k の分数型、前小問で (2x-1)(4x²+2x-1) の因数分解が示され Using the results of (a) and (b) と続く型。
Sketch the curve, with the comparison graph if one is given, and read off the shape or the number of intersections
Sketch the curve、Sketch the graph of y=f(x)（比べる線が無い単独の作図）、または Sketch on the same diagram に続いて State the number of solutions、Hence determine the number of solutions、·s>0 となる x の集合を問われる。方程式を解かずに図から答えさせる型。
Read the constants off the given graph: amplitude and period for sin and cos, asymptotes and a point for tan
図（グラフ）が与えられ、y=asin bx+c、y=acos bx+c、y=a+bsin x、y=atan (x-b)+c、y=a+tan bx などの定数の値を State the values / Find the values of the constants と問われる。定数が positive integers と限定されることも多い。
Reduce to tan = k, use the 180 degree period or an exact special angle, then feed the angle back into the AP formulae
sin と cos が1次で1つずつ出る式（sin x=2cos x、sin2x+3cos2x=3(sin2x-cos2x)）、最初から tan だけの二次式（3tan ²x-5tan x-2=0）、「Express in the form tan2x=k」の誘導、exact value / exact solution の指定、tan ⁻¹(5x-3)=-1/4π や cos ⁻¹ を含む等式、および三角式が等差数列の第1項・第3項・第5項として与えられ「exact value of x」「exact value of the 13th term」「exact sum of the first 25 terms」と続く型。
Use Pythagoras to fill in the missing ratio or side, then build the required exact value
α=cos ⁻¹8/17 のように三角比が1つ与えられ「電卓の三角関数を使わず厳密値で」と言われる、sin x=a+b・cos x=a-b や sin b=a のように文字で表されている、図つきで直角三角形と中点が与えられ角がラジアンで示され「AM を x で表せ」「θ=·s を示せ」と続く。
Expand the brackets first, then apply sin²+cos²=1 twice
左辺が (sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)、(sinθ+cosθ)²-1、(sinθ+cosθ)(tanθ-1) のように積・2乗の展開から始まり、右辺が sin ³θ+cos ³θ や 2tanθ になっている型。
Substitute the proved identity, reduce to one ratio, and give every solution in the range
(a) や (i) で恒等式を証明し、その結論が 2/(cosθ)、(4tan x)/(cos x)、2tan ²θ、(1-sin x)/(1+sin x)、(tan ²θ+1)/(tan ²θ-1) のように「=0 ではない1つの式」になっていて、(b) で Hence solve と続き 0°<θ<180°、0°≤θ≤360°、0≤ x≤1/2π のように区間が指定されている。(a) の結論が「acos ²θ+bcosθ+c=0 のような =0 の3項二次式」ならこのパターンではなくP08。
Replace the trig ratio by a letter and handle the parameter k algebraically
三角比が2次で現れる方程式に定数 k が入っていて「k の値の範囲を求めよ」「k>5 のとき解がないことを示せ」「Use the quadratic formula to show」「cos x を k で表せ」「解が3個になる k を述べよ」と問われるとき。a+bcos x=k のように三角比が1次のときは判別式が 0/3 になるのでP02の値域法で処理する。
Use the range of sin and cos, and of their even powers, to state greatest and least values
State the greatest and least values of y、State the smallest and largest values of y、Find the range of f、In terms of p and q state the range of f、または三角比が1次で出る f(x)=k has no solution となる k の範囲を問われる。定数が未知のときは、特定の x での f(x) の値が2つ与えられる。
Match the shifted or stretched argument to the basic curve for coordinates and transformations
角の中身が (x-数) や bx になっている曲線で、x 軸との交点や最小点の coordinates、exact value を求めるとき、または y=f(x) から y=f(2x)+4 などへの Describe fully a sequence of transformations を問われるとき。
Series & Binomial · 10年間で140問 · パターン14種
Express the coefficients in terms of the unknown constant or index and solve the given condition
展開の中に a、k、p、b などの文字定数がある、または (1+x/2)ⁿ のように指数そのものが未知で、「x³ の係数が -2160」「x の係数が7」「x と x² の係数が等しい」「係数の比が3」「p=6q」「x を含まない項がない（＝0）」「x の係数が 0 で 1/x の係数が80」のような係数についての条件が与えられ、その定数（または n）の値（possible values）を求めよと言われたとき。「係数＝与えられた値」から定数を解き、hence でその定数を使って別の係数を求めさせる2段構えの設問は、後半が1項の計算だけでもこの型を primary とする（(2x+k/x)⁶、(kx+2/x)⁴ など同型は必ず同じ扱い）。
Turn the sum conditions into equations, cancel the common first term and solve for r, d or n
和が条件に使われているとき。「第2項は16で無限和は100」「無限和は最初の4項の和の9倍」「q/p=17/16」「最初の100項の和は無限和の何%か」「2つの数列の無限和が等しい」「最初の 2k 項の和が最初の k 項の和に等しい」など、和と和・和と項が等号や比で結ばれている設問。
Use the middle-term condition on three consecutive terms, then work back to the first term
連続する3項が 4k, k², 8k や 2p+6, 5p, 8p+2、sinθ, cosθ, 2-sinθ のように文字を含む式で並び、それが等差数列（または等比数列）だと与えられているとき。3項は第1〜3項とは限らず、「第5項・第6項・第7項が 8k, -12, 2k」のように途中の連続3項で与えられることもある。「S₄ と S₉ を含む3つの量が別の等差数列の最初の3項」「x, x², x⁴ の係数が等比数列の連続3項」のように3つの量が等差・等比をなすと書かれている場合も同じ。
Set the nth term or the sum equal to (or beyond) the target and solve for n
項数だけが未知のとき。「Sₙ=84 となる n」「和が3000を超える最小の n」「第 k 項が200より大きい最小の k」「和が -480 より小さくなる最小の n」「n 日目にタンクが空になる」、および「第 n 項は139で最初の n 項の和は5863」のように項と和の2条件から n を出させる設問。
Pick out the required term by matching the power of x in the general term
括弧が1つだけの (A+B)ⁿ について「x^(k) の係数を求めよ」「1/(x²) の係数を求めよ」「x を含まない項（term independent of x）を求めよ」と、係数や項をそのまま計算させるとき。1つだけ聞かれる場合に加え、「(3-2x)⁶ の x² と x³ の係数を a、b とし a/b を求めよ」のように、未知定数を含む条件式を伴わずに複数の係数を出して比や和を作らせる設問もここ。括弧の中に 2/x や √(x) のような負の冪・分数冪が混ざっている問題も同じ手順。
Add up every contribution that gives the required power of x
(1+3x²)(2x-1/x)⁵ や (4+x)²(3-2x)⁵ のように展開が別の因子と掛かっている、(1-3x)⁶+(1+ax)⁵ のように2つの展開の和になっている、(1+(x+x²))⁵（＝(1+x+x²)⁵）や (1+px-2x²)⁶ のように括弧の中が3項以上の多項式、という形で「x^(k) の係数」「x を含まない項」を聞かれるとき。Hence が付くことが多い。
Expand to the first few terms in the order the question asks for
「Find the first three (four) terms in ascending powers of x」「完全に展開せよ（complete expansion）」「残りの3項を求めよ」のように、係数1つではなく項そのものを順に書けと指示されているとき。(2-3/2x)⁵ のような (a+bx)ⁿ 型だけでなく、(2x-3/x)⁴ や (2x-1/2x)⁵ のように両方の項に x が入る型もここ。多くは後の Hence の小問の材料になり、「(a)の答えを使って 1.985⁵ の近似値を求めよ」と続く型も同じ。
Translate the given facts into equations in a and d and solve them
等差数列について「第13項は12」「最初の30項の和は -15」「次の4項の和は91」「第5項は22で最後の項は -28」のように条件が2つ与えられ、別の項や別の和を聞かれているとき。Sₙ=1/2n(3n+7) のように和の式そのものが与えられて初項と公差を聞かれるとき、項が cosθ などの式で与えられ和の条件から角を求めるときもここ。
Link an AP and a GP through their shared terms and eliminate r or d
1つの問題に等差数列と等比数列が同時に出てきて、「初項がどちらも a」「GPの第3項はAPの第2項に等しい」「APの第2・5・11項がGPの最初の3項」「a, b, c が等比で a, b, -3c が等差」のように、両者を結ぶ等式が2本つくれる設問。
Translate a worded growth or decay problem into an AP or a GP
給料・寄付金・売価・走行距離・回収量・沈み込みなど実生活の増減が語られ、n 回目（n 年目）の値・合計・理論上の限界を聞かれるとき。「毎年100ドルずつ増える」「毎日2リットルずつ増える」は等差、「毎年5%上がる」「前日の10%増し」「50mm、40mm、32mm」は等比。
Read the same two given terms first as an AP and then as a GP
第1項と第2項（または同じ2つの測定値）が先に与えられ、「等差数列とすると」「今度は代わりに等比数列とすると（It is given instead that）」と、同じ並びを2通りに解釈させる設問。項が cosθ、tanθ、sin ²θ などの三角式で与えられることが多い。
Sum only the selected part of a progression by rebuilding it as a new series
「150と400の間にあるすべての項の和」「最初の9項を取り除いた残りの無限和」「a₂, a₅, a₈,… の無限和」「偶数番目の項だけの無限和」「各項を平方して作った数列の無限和」のように、もとの数列の一部だけの和を聞かれたとき。
Find r by dividing the given terms, then back-substitute for the first term
等比数列の項の値が2つ与えられ（「第2項は10、第3項は8」「第4項は36、第6項は6」）、初項も公比も分かっていないとき。「第3項は第6項の8倍」のように項どうしの倍数関係で与えられる場合、項が cosθ などで書かれている場合も同じ。
Work in letters only, cancel and eliminate to reach the given form
数値がほとんど出ず、「S=2-r を示せ」「r=2R-1 を示せ」「一方の第 n 項が他方の 4ⁿ⁻² 倍であることを示せ」のように結論が文字式で与えられている show that（AG）の設問と、その結果から S のとりうる値の範囲を聞かれる設問。
Differentiation · 10年間で99問 · パターン15種
Solve dy/dx = 0 for the stationary points and classify them by the sign of the second derivative
曲線の式 y=f(x) が与えられ、find the coordinates of the stationary point(s)、find the x-coordinate of the maximum point、determine the nature of each stationary point と問われる形。式に (ax+b)ⁿ の負のべきや k/x、√(x) が入っていることが多く、k 入りで答えを k の式で書かせる場合も同じ。
Differentiate the relation and use the chain rule to convert the given rate into the required one
曲線上を動く点の x 座標が毎秒0.02の一定の割合で増加、球・立方体・水槽・扇形で体積が毎秒600 cm³で増加、半径が毎秒0.4 cmで増加、のように1つの量の変化率が数値で与えられ、指定の瞬間（x=1、r=10、h=10、点A）における別の量の変化率を求めよと問われる形。接線・法線や停留点の大問の最後の小問として出ることも多い。
Differentiate, evaluate the gradient at the point of contact, then write the tangent
曲線の式と接点（座標そのもの、x の値、または「曲線が x 軸と交わる点」のような言い換え）が与えられ、Find the equation of the tangent と指示される。答えの形を y=mx+c や整数係数の ax+by+c=0 と指定されることが多い。y=ax+b が接線だと言われて a,b,c を求める形も同じ合図。
Integrate the given derivative and use a given point to fix the constant of integration
The gradient of a curve is given by dy/dx=…、f'(x)=…、The equation of a curve is such that d²y/dx²=… と導関数が先に与えられ、passes through the point (2,3)、f(1)=-1/3、the curve passes through (-1,5)、minimum point at (2,31/2) の条件つきで find the equation of the curve、find f(x) と問われる形。
Solve the inequality on f'(x) to obtain the set of x values or the limiting value of the constant
Determine the set of values of x for which f(x) is decreasing、State the set of values for which the function f is increasing、Find the set of values of x for which y decreases as x increases のように答えが x の範囲になる設問と、f is an increasing function for x>n（または x<a）のもとで Find the least possible value of n、the largest possible value of a / k、the curve has no stationary points in a<x<b のように答えが定数になる設問。
Differentiate, take the negative reciprocal, then write the normal
Find the equation of the normal、the normal at P crosses the y-axis、show that the normal passes through the origin、the normal meets the curve again のように法線が主語の設問。接点は座標か x の値、または「曲線が x 軸と交わる点 A」の形で与えられる。
Set dy/dx equal to a known gradient to locate the point or the constant
the tangent is parallel to（ある直線や2点を結ぶ直線）、the line ... is a normal to the curve、the gradient is 4/3、the tangent makes an angle of tan ⁻¹2 with the positive x-axis、y=9x+k is a tangent to the curve のように、傾きの値が先に決まっていて接点の座標や定数を求めさせる設問。求めた2点 C, D について the perpendicular bisector of CD まで続く形も同じ入口。
Treat the chain rule relation as an equation in the unknown variable and solve it
求めるものが変化率ではなく、その変化率になる瞬間の変数や量であるとき。y 座標が毎分 5/8 で増加するときの x、半径が毎秒0.1 mで増加している瞬間の体積 V、あるいは x と y が同じ割合で増加する点、y は毎秒4で x は毎秒6で増加、y 座標が x 座標の増加率の半分で増加する点 P、y は毎秒 k 減少し x は毎秒 k 増加、のように変化率の比だけが与えられる形。
Eliminate one variable with the constraint, then differentiate and set the derivative to zero
面積・体積・表面積・柵の総延長・線分の長さの文章題で Show that A=384x-9.6x²、Show that V=1/3π(225h-h³) のように1変数の式が先に示され、Given that x can vary, find the value of x for which A has a stationary value、find the dimensions for which A is a maximum と続く形。
Rewrite the derivative in a sign-readable form to conclude increasing, decreasing, neither, or no stationary points
Determine whether f is an increasing function, a decreasing function or neither、Show that the curve has no stationary points、Explain why the curve has no stationary points、Show that the curve has no other stationary points のように、答えが x の範囲ではなく増減の種類や「停留点は無い」という結論そのものになる設問。定義域（x<-1、x≥qslant-2、x>2）が付いていることが多い。
Form two tangents or normals, solve them simultaneously, then find the meeting point, the area or the constant
2点での接線、または同じ点での接線と法線を作らせ、show that the tangents meet at a point on the line y=x、A triangle is bounded by the y-axis, the normal at ... and the tangent at ...、the tangents at A and B meet at a point with x-coordinate 0.6. Find k のように、2本の直線を作ってから交点・図形量・定数まで問う設問。
Compute chord gradients numerically or in terms of h and take the limit
曲線上の点 A,B,C,D,E の座標表と弦の傾きの表が与えられ、Find the gradient of the chord AE、Deduce the value of f'(2)、State, giving a reason, what the values of the gradients suggest about the gradient at E と問われる形。x=2 と x=2+h の2点を結ぶ弦の傾きを h で表せ、という第一原理型も同じ。
Substitute the given stationary point into f'(x) = 0 to find the unknown constant, then get the coordinates and the nature
式の中に a や k の未知定数があり、has a stationary point at x=2、has a stationary point at (-3,b)、has a minimum point when x=1/4 のように停留点の位置が先に与えられていて、find the value of a、find k、find the values of a and b と問われる形。
Substitute the tangent into a curve and use discriminant = 0 or the second intersection
The tangent to C₁ at ... is also the tangent to C₂ at P. Find the value of k、The tangent at (0,3) intersects the curve again at one other point P. Show that the x-coordinate of P satisfies ... のように、接線を作ったあとその接線と曲線の共有点を追う設問。法線が曲線と再び交わる点を問う小問も同じ。
Treat the gradient m = dy/dx as a function and find its stationary value and its nature
Denoting the gradient of the curve by m, find the stationary value of m and determine its nature、find the minimum gradient of the curve のように、曲線の停留点ではなく「勾配そのものの停留値・最小値」を問う設問。曲線に停留点が無いことを示した直後の小問として続くことが多い。
Integration · 10年間で94問 · パターン15種
Integrate a bracket power (ax+b)ⁿ by reverse chain rule, dividing by both (n+1) and a
dy/dx に 12/((2x+1)²)、2/((x+2)²)、frac8√(4x+1)、12(1/2 x-1)⁻⁴、8(2x-3)^(1/3) のように「かっこの中が x の1次式」の累乗が入っていて、通過点が1つ与えられている。
Solve for the intersections, then integrate upper minus lower
2つのグラフ（曲線と直線、または曲線と曲線）が囲む部分の面積。「intersect at A and B」「the area of the region between the two curves」「enclosed between the curve and the line」。領域の左右の端が数値ではなく交点になっていて、(a) 交点のx座標 →(b) 影の面積 と続く形も同じ合図。境界が2本とも曲線ならこの型で確定。片方が直線の問題は、直線側を三角形・台形・長方形の面積公式で出せるならP10、上下限が交点でしか決まらない・直線側が面積公式に落ちないならP09と判定し、どちらでも解ける問題は必ずもう一方を副パターンとして併記する（MSは両方の方法に満点を与える）。
Integrate a power-form dy/dx term by term and fix the constant with the given point
dy/dx や f'(x) が xⁿ の和・差（√(x)、8/(x²)、1/(x⁴) など分数・負の指数を含む）で与えられ、「the curve passes through (p,q)」「f(2)=7」のように点が1つ与えられていて、曲線の式や f(x) を求めよと言われている。
Integrate under the curve, then subtract the triangle, trapezium or rectangle under the straight edge
領域の一辺が直線（2点を結ぶ弦AB・接線・法線・極大点を通る水平線）で、その直線と曲線が同じxの範囲で上下に重なっているとき。「the line segment AB」「the line through M parallel to the x-axis」「Show that the area ... is ka⁴」。曲線が 2/((2x-1)²) のような分数・負のべきで、引き算してから積分すると煩雑になる場合もこの型。直線側を三角形・台形・長方形の面積公式で出せるならP10、上下限が交点でしか決まらない・直線側が面積公式に落ちないならP09。どちらでも解ける問題はMSが両方に満点を与えるので、必ずもう一方を副パターンとして併記する。
Work out the two solids separately, then subtract them (or add them for a split region)
回転させる領域の境界が2本ある問題。回転軸に平行な直線 y=k（y軸回転なら x=k）で切られている図、直線と曲線（または2曲線）に挟まれている図、あるいはある点を境に外側の境界が直線から曲線へ切り替わっている図。
Split the conditions: gradient conditions fix the unknown constants, the point fixes c
f'(x)=kx²-2x、dy/dx=3x²+ax+b、frack√(x) のように導関数の中に k,a,b など未知定数があり、条件が2つ以上（通過点が2つ／通過点＋停留点／通過点＋ある x での傾き）示されている。
Rotate about the y-axis: express x squared in terms of y, then integrate with respect to y
「rotated through 360° about the y-axis」とあり、領域の境界が y=c・y=d やy軸（x=0）で与えられている図のとき。x=g(y) の形で曲線が与えられている問題も同じ。
Integrate the second derivative twice, fixing the first constant at the stationary point
与えられているのが2階微分 (d²y)/(dx²) や f''(x) で、条件として「there is a stationary point at (3,6)」「x=2 で最小値をとる」のように停留点が書かれている。
Rotate about the x-axis: square y, expand, then evaluate the integral of y squared times pi
「rotated through 360° about the x-axis」とあり、領域の境界が1本の曲線 y=f(x) と x=a・x=b（またはx軸との交点）だけで決まっている図のとき。
Fix the limits first, then evaluate a single definite integral for the value or the area
「Showing all necessary working, find ∫_(a)^(b) … dx」と積分そのものを計算させる問題、または影の部分の境界が1本の曲線とx軸（と x=a のような縦線）だけで面積を求めよと言われている問題。上下限が図に a、b と文字で書かれていることもある。
Split at the contact point: integral for the curve part combined with a triangle for the tangent or normal part
曲線上の点Pで接線または法線を引き、それがx軸と交わる点までを含む斜線部。「The normal to the curve at P meets (intersects) the x-axis at Q」のあとに「Find the area of the shaded region」が続く形。下側の境界がx軸で、Pを境に上側の境界が曲線から直線に切り替わる。
Evaluate an improper integral to infinity by showing the upper limit gives zero
積分の上端が ∞（∫₁^(∞)、∫₃^(∞) など）。被積分関数が 2/((x+2)²)、2/(x²)、frac1(3x-2)^(3/2) のように x が大きくなると0に近づく負のべきの形で、値を求めさせている。
Set a definite integral containing an unknown constant equal to the given value and solve
「Given that ∫₁³ … dx = 12, find the value of a」「∫ … dx = 13/12, find the value of k」のように、被積分関数の中に文字定数（a、k）が入っていて、定積分の値のほうが先に与えられている。
Get the point's coordinates first, then substitute its x into dy/dx to write the tangent or normal
dy/dx や f'(x) が与えられた曲線の問題で、「Find the equation of the tangent (normal) to the curve at P」と問われている小問。P の座標が2つとも書かれていれば曲線の式は要らないが、x だけ、あるいは「the point where the curve crosses the y-axis」「dy/dx=-9/4 となる点」のように条件だけのときは、先に求めた曲線の式が必要になる。
For a region bounded by the y-axis or a horizontal line, express x in terms of y and integrate with respect to y
面積を求める領域の境界が、y軸（x=0）・y=k の水平線・与えられた点のy座標で決まっているとき。曲線が x=g(y) や y²=1-2x の形で与えられている問題、xで積分すると長方形や台形から引く二度手間になる図も同じ合図。MSに「may use ∫ x dy」「Alternative Method」と書かれる型で、xで積分するより行数が短くなる。
このページで公開しているのは各パターンの「見分け方」まで。塾生向けの解法パターン図鑑には、パターンごとの解く手順（Step 1〜）、マークスキームの評点構造（どの行で M1・A1・B1 が入るか）、典型的な失点ポイント、パターン対応表つきのテキスト・問題集が揃っています。型を判定して手順で解く訓練を、添削つきで回せます。
南数塾の A-Level 数学指導は、このパターン台帳を土台に「見分け方 → 手順 → MS 評点」の順で訓練します。まずは無料相談で現在地の診断から。
