IB Extended Essay · Mathematics
4,000 語 Math EE の Topic 選び・展開・評価基準を完全公開。AA HL / AI HL 別の推奨テーマ 10 例、章構成、Research Question テンプレ、LaTeX 組版、Personal Engagement の書き方まで、A 評価（27+/34）への道筋を 1 本にまとめました。
01 — Assessment Criteria
Math EE は 5 つの規準（A-E）で評価され、合計 34 点満点。A 評価（27-34 点）/ B 評価（21-26 点）/ C 評価（14-20 点）/ D 評価（7-13 点）/ E 評価（0-6 点）の 5 段階で、IB Diploma の Core Points（TOK と合算で最大 3 点）に直結する。最大配点は Critical Thinking（C 規準 = 12 点）。
| 規準 | 名称 | 配点 | 内容 | Tips |
|---|---|---|---|---|
| A | Focus and method | 6 | Topic / Research Question / Methodology の明確さと適切さ。 | RQ を 1 文 + 副題で書く。『To what extent...』『How can X be modelled by Y?』『Is there a relationship between A and B?』の 3 型が安全。 |
| B | Knowledge and understanding | 6 | 選んだ数学概念への理解度。Background セクションでの定義・定理の正確さ。 | AA HL / AI HL のシラバス内容 + シラバス超え の 2 層で説明。引用 8-15 件で『知っている』を可視化。 |
| C | Critical thinking | 12 | 最大配点。Investigation での議論の深さ、Analysis での解釈・限界の検討。 | 計算過程を全て示す。各ステップに『なぜそうなるか』の説明。失敗事例や仮定の制約を正直に書く。 |
| D | Presentation | 4 | 論文としての構成・参照・引用形式の一貫性。Word Limit 厳守。 | Table of Contents + 数式番号 + Figure キャプション必須。4,000 語超過は -2 点。 |
| E | Engagement | 6 | RPPF（Reflections on Planning and Progress Form）500 語で評価。3 回の Supervisor 面談の記録。 | 『何に困った / どう乗り越えた / 何を学んだ』を具体的に書く。抽象論は減点。 |
| 合計 | 34 | A 評価ライン = 27+ / 34 | ||
最大配点。Critical Thinking は『Investigation の議論の深さ』と『Analysis の解釈』で評価。計算の各ステップに『なぜそうなるか』を必ず書き、想定外の結果や限界を正直に論じる姿勢が高評価。
RPPF（Reflections on Planning and Progress Form）500 語で評価。3 回の Supervisor 面談（First / Interim / Final）の具体的やり取り、困難 / 解決 / 学びを正直に書く。
世界全体で約 10-12% の生徒が A 評価。マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL）の Math EE では 8-15% 程度。AA HL / AI HL の生徒が主に挑戦。
02 — Structure
Math EE は『Introduction → Background → Investigation → Analysis → Conclusion → Bibliography』の標準構成。4,000 語の Word Limit は厳守。数式・図・表は語数カウント外なので、本文は実質 3,800-4,000 語に圧縮される。
目的：Research Question 提示 + Personal Engagement + 論文の構成予告。
陥りがちな失敗：RQ が抽象的すぎる。Why this topic がない。論文の構成予告が漏れる。
目的：使用する数学概念の定義 + 定理 + シラバスを超える理由。引用集中エリア。
陥りがちな失敗：教科書をそのまま転載。Wikipedia 引用が中心。シラバス内容のみで深さなし。
目的：実際の計算・モデリング・データ収集。最大の語数配分。
陥りがちな失敗：途中計算が省略されすぎ。データ出典が不明。Excel スクリーンショットのみで本文説明なし。
目的：結果の解釈 + モデルの限界 + 想定外発見 + 仮定の妥当性。
陥りがちな失敗：結果を羅列するだけで解釈なし。限界の検討がない。
目的：Research Question への明確な回答 + 今後の研究方向。
陥りがちな失敗：新規結果を Conclusion で初出。RQ に答えていない。
目的：一貫した引用形式（APA / IEEE / AMS いずれか）。8-15 件以上。
陥りがちな失敗：形式がバラバラ。Wikipedia のみ。本文未引用の文献が混入。
目的：3 回の Supervisor 面談の記録。E 規準 6 点評価対象。
陥りがちな失敗：抽象的な振り返り。Supervisor との具体的やり取りがない。
03 — Theme Examples
マレーシア IB 校生 / 日本人生徒が取り組みやすい『地域性 + 数学的深さ + データ取得可能性』を兼ね備えたテーマ 10 例。Research Question、推奨 HL コース、必要な数学領域、具体的アプローチを示す。
Research Question
To what extent can the morning peak-hour traffic flow at Jalan Tun Razak intersections be modelled using a discrete-time Markov chain?
難易度の目安
AA HL なら遷移行列の固有値解析まで、AI HL なら実データ収集 + 予測精度評価まで。
アプローチ
① 5 つの交差点を状態 S1-S5 と定義、② 朝 7-9 時の 30 日分の通過時間データを Google Maps API で収集、③ 遷移確率行列 P を推定、④ 定常分布 π を計算、⑤ 実データとの誤差を χ² 検定で評価。
Research Question
How does the box-counting fractal dimension of Nikkei 225 daily price series compare across bull and bear markets between 2000 and 2025?
難易度の目安
Box-Counting Algorithm の実装 + Python / Excel での計算。AI HL でも可能だが、Hausdorff の理論的説明には AA HL の数学的厳密性が望ましい。
アプローチ
① 日経平均の終値時系列を 2000-2025 年で取得、② Box-Counting 法で D = log(N) / log(1/r) を計算、③ Bull Market（上昇局面）と Bear Market（下降局面）で D を比較、④ Random Walk と比較し市場効率性を議論。
Research Question
To what extent does the logistic growth model accurately describe Tokyo's metropolitan population from 1920 to 2020, and what does it predict for 2050?
難易度の目安
一階非線形 ODE dP/dt = rP(1-P/K) の解析解 + データへの最小二乗フィッティング。
アプローチ
① 総務省統計局から東京都人口の 100 年データ取得、② Logistic 関数 P(t) = K / (1 + Ae^(-rt)) のパラメータ K, A, r を Excel Solver で推定、③ 戦時中の減少をどう扱うか議論、④ 2050 年予測 + 確信区間、⑤ 国連推計値と比較。
Research Question
How can Voronoi tessellation be used to evaluate the spatial efficiency of 7-Eleven store distribution in the Klang Valley?
難易度の目安
Voronoi セル生成 + 面積計算 + Optimization。Python の scipy.spatial.Voronoi 利用可。
アプローチ
① Klang Valley 内 7-Eleven 全店舗の緯度経度を Google Maps API で取得、② Voronoi 図を生成、③ 各セル面積を計算しジニ係数で偏り評価、④ 人口密度データと重ね合わせ『過密 / 過疎』エリア特定、⑤ 仮想新規店舗 5 箇所の最適位置を K-means で提案。
Research Question
Do the proportional ratios in the Malaysian flag (Jalur Gemilang) approximate the golden ratio, and how do they compare with other ASEAN national flags?
難易度の目安
黄金比 φ = (1+√5)/2 の連分数表現 + Fibonacci 比の極限。比較対象は ASEAN 10 カ国旗。
アプローチ
① 各国旗の縦横比 / ストライプ比 / 装飾要素のサイズ比を測定、② 黄金比 φ ≈ 1.618 との誤差を計算、③ Fibonacci 比（F(n+1)/F(n)）と比較、④ デザイナーの意図 vs 数学的偶然を議論、⑤ ASEAN 国旗のクラスタリング分析。
Research Question
To what extent does the daily exchange rate of MYR/JPY between 2015 and 2025 follow a geometric Brownian motion model?
難易度の目安
GBM モデル dS = μS dt + σS dW + ボラティリティ推定 + Monte Carlo シミュレーション。
アプローチ
① Bank Negara Malaysia から日次 MYR/JPY レート取得、② 対数収益率 r_t = ln(S_t / S_{t-1}) を計算、③ μ, σ を推定、④ Monte Carlo で 10,000 経路シミュレート、⑤ 実際のレートとの分布比較を Kolmogorov-Smirnov 検定で評価。
Research Question
Is the global distribution of IB Diploma total scores between 24 and 45 well-approximated by a normal distribution, and what are the implications for university admissions thresholds?
難易度の目安
IBO 公開統計を Chi-squared で検定 + 偏差分析。AI HL の統計範囲で十分。
アプローチ
① IBO Statistical Bulletin から 5 年分の IB 合計スコア分布を取得、② Mean / Standard Deviation を計算、③ 期待度数（正規分布仮定）と観測度数を χ² で検定、④ 大学 Admission Threshold（35 / 38 / 40 等）の percentile を算出、⑤ マレーシア IB 校の平均スコア（35-38）の世界順位を議論。
Research Question
How does the fractal dimension of Penang Island's coastline, measured by the box-counting method on satellite imagery, compare with that of other tropical islands?
難易度の目安
Mandelbrot の Coastline Paradox（『英国の海岸線の長さは？』）の応用。Image Processing 必要。
アプローチ
① Google Earth から Penang Island の衛星画像取得、② 異なるスケール r で Box-Counting を実施、③ D = log(N(r)) / log(1/r) のプロットから次元算出、④ Langkawi / Tioman / Bali / Phuket と比較、⑤ 地質学的形成プロセスとの相関議論。
Research Question
Which structural and locational attributes most strongly predict condominium prices in the Kuala Lumpur city centre, based on a hedonic regression model?
難易度の目安
Multivariate Regression + 多重共線性チェック + 残差分析。AI HL の Statistics 範囲。
アプローチ
① iProperty / PropertyGuru から KLCC エリア コンドミニアム 100-200 件のデータ収集（価格 / 面積 / 築年数 / 駅距離 / 階数 / Facility 数）、② 線形回帰モデル構築、③ 各変数の係数 β_i と t 検定で有意性評価、④ VIF（Variance Inflation Factor）で多重共線性チェック、⑤ R² と Adjusted R² を解釈。
Research Question
To what extent can the Malay numeral system be described using positional notation and modular arithmetic, and how does it compare with Japanese and Mandarin systems?
難易度の目安
位取り記数法 + 合同算術 + 自然言語の数学的構造化。Pure Math の独特テーマ。
アプローチ
① マレー語 1-10,000 までの数詞を体系化、② 位取り構造を Base 10 の合成として定式化、③ 日本語（漢数字 / 万進法）と中国語（万進法）と比較、④ 各言語で『1,234,567 を発音するのに必要な単語数』を計算、⑤ 言語処理の効率性を情報量（Shannon Entropy）で議論。
04 — AA vs AI
Math EE の評価基準（A-E）は AA / AI で共通だが、暗黙的に AA HL は『純粋数学の深さと厳密性』、AI HL は『応用とモデリングの妥当性』が重視される。テーマ選びの段階で自分の強みと将来の進学先に合わせて選ぶ。
大学で Pure Math / Theoretical Physics / Engineering を目指す生徒。証明と理論的厳密性が評価される。
大学で Economics / Data Science / Business / Engineering（応用）を目指す生徒。実データ + モデル検証が評価される。
数学的厳密性と応用の両立を狙える。Supervisor との相談で AA / AI どちらの軸で深めるか決定。
証明の厳密性で勝負。フラクタル / 数論 / 微分方程式 / 確率過程の中から、自分が AA HL シラバスで扱う内容を 1 段階深掘り。LaTeX で美しく組版して D 規準を取り切る。
実データ + モデルの適合度評価で勝負。マレーシア固有データ（Bank Negara / Bursa Malaysia / Department of Statistics）を活用し、データ収集・前処理・モデル比較の 3 段階で論じる。
05 — Anti-patterns
Math EE で低評価（C 以下）に終わる典型パターン。テーマ選びの段階で『これに当てはまっていないか』をチェック。
なぜ NG：Engagement with Mathematics（E 規準）で 0-1 点。SL シラバス内容のみで深さなし。
改善案：シラバスを超える概念（虚数解 / Galois Theory 入門 / 3 次方程式の Cardano 公式 等）に拡張。
なぜ NG：Critical Thinking（C 規準 12 点）で 2-3 点止まり。計算技能のみで議論なし。
改善案：1 つの問題を多角的に解く（解析的 / 数値的 / 図形的 3 ルート比較 等）。
なぜ NG：Knowledge and Understanding（B 規準）は 4-5 点取れるが、Critical Thinking で 3 点止まり。
改善案：証明の歴史的背景 + 各証明の数学的構造比較 + 自分なりの新規視点を 1 つ追加。
なぜ NG：Engagement 0-1 点 + Academic Honesty 違反リスク + 内容の浅さで全規準低評価。
改善案：Personal な観察 / マレーシア固有データ / 自分の趣味から発想。AI は構成案ブレストのみ。
なぜ NG：Focus and Method（A 規準）で 0-1 点。検証不能な命題。
改善案：『To what extent does X exhibit property Y under condition Z?』の型に変換。
なぜ NG：Knowledge and Understanding（B 規準）で 2-3 点止まり。一次資料への到達がない。
改善案：arXiv / JSTOR / 大学公開講義ノート で 8-15 件の引用を確保。Wikipedia は出発点のみ。
06 — Research Question
良い Research Question（RQ）は『焦点が明確 + 検証可能 + 数学的に深い』の 3 条件を満たす。以下 5 つの型から自分のテーマに合うものを選び、変数 X / Y / Z を自分の文脈に置き換える。
To what extent can X be modelled by Y?
例
To what extent can the spread of COVID-19 cases in Kuala Lumpur (2020-2022) be modelled by the SIR differential equation system?
モデルの限界 + 適合度評価が議論しやすい。AA / AI どちらでも適用可。
How does X compare with Y under condition Z?
例
How does the box-counting fractal dimension of the Penang coastline compare with that of the Langkawi coastline at scales of 100 m to 10 km?
比較対象 2 つ + 条件 1 つ で焦点が明確。フラクタル / 統計 / 幾何学に適合。
Is there a correlation between X and Y, and if so, what model best describes it?
例
Is there a correlation between the elevation and annual rainfall across 20 weather stations in Peninsular Malaysia, and which regression model best describes it?
相関 + モデル選択の 2 段階で深さを出せる。AI HL 統計テーマで最頻出パターン。
What is the optimal X that minimizes / maximizes Y subject to constraints?
例
What is the optimal distribution of 50 ambulance stations in the Klang Valley that minimizes average response time, subject to budget and accessibility constraints?
Optimization テーマ。Linear / Non-linear Programming + Lagrange Multiplier で展開。
Under what conditions does theorem X hold / fail?
例
Under what conditions does the Central Limit Theorem hold for the daily price changes of FTSE Bursa Malaysia KLCI between 2015 and 2025?
理論の適用範囲を実データで検証。Pure Math 寄り、AA HL に適合。
07 — Typography
Math EE で 30+/34 を取る生徒の約 80% が LaTeX で執筆。D 規準（Presentation 4 点）の取り切りに直結し、Examiner 印象も格段に良くなる。Overleaf （ブラウザ版 LaTeX エディタ）なら学習コスト 5-10 時間で実用レベルに到達可能。
D 規準（Presentation 4 点）で『一貫した数式表記』が評価される。Word の Equation Editor よりも LaTeX の数式は段違いに美しく、Examiner の印象が良い。上位評価論文（30+/34）の約 80% が LaTeX 製。
https://www.overleaf.com で無料アカウント作成 → New Project → Article テンプレート選択 → 数式は $...$ または \[ ... \] で記述。共同編集機能で Supervisor とリアルタイム共有可。
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm, graphicx, hyperref, biblatex, geometry, fancyhdr}。amsmath は align / cases、amssymb は \mathbb{R} など特殊記号、biblatex は引用管理。
align 環境で \begin{align} ... \end{align}、参照は \eqref{label}。本文で『equation (3) より』と書ける。番号なしは \notag。
\begin{figure}[h] \includegraphics[width=0.7\textwidth]{figure1.png} \caption{KL traffic flow during morning peak hours} \label{fig:traffic} \end{figure}。キャプション必須、参照は Figure~\ref{fig:traffic}。
BibTeX or BibLaTeX で .bib ファイル管理。Google Scholar の各論文に『Cite → BibTeX』ボタンあり、コピーで済む。本文で \cite{key} → 自動生成。
LaTeX 学習に 5-10 時間。最初の 2 時間で挫折しがち。①『The Not So Short Introduction to LaTeX』PDF（無料、80 ページ）、② Overleaf 公式 Documentation、③ TeX Stack Exchange で具体的エラー検索、の 3 ルートで解決可能。
08 — Past Exemplars
A 評価（27-34 点）を獲得した EE Math の Research Question 5 例（マレーシア IB 校生の参考事例ベース）。各テーマの『何が高評価のポイントだったか』を整理。
RQ: How can Google's PageRank algorithm be applied to determine the most central articles in the Wikipedia network of Mathematics-related topics?
高評価のポイント：Linear Algebra（固有値）+ Graph Theory + 実装の 3 軸でバランス良く展開。Personal Engagement で『Wikipedia 編集経験から関心』と具体的に明記。
RQ: To what extent can a passenger's choice of route in the Kuala Lumpur MRT network be modelled by a biased random walk on a directed graph?
高評価のポイント：実データ（自分の通学経路 30 日分）+ Random Walk 理論 + Markov Chain。AA HL の Statistics + 確率過程をフル活用。
RQ: Why is the security of RSA encryption dependent on the difficulty of integer factorization, and how vulnerable are 1024-bit keys to current computational methods?
高評価のポイント：Number Theory（素数 / 合同算術 / Euler's Totient）の深い理解 + 実装デモ。AA HL の典型 Pure Math テーマ。
RQ: How can the dates of Hari Raya, Chinese New Year, and Deepavali be predicted using modular arithmetic and astronomical cycles?
高評価のポイント：マレーシア固有テーマ + 数論 + 天文学 / 暦法。Personal Engagement と Cultural Context が高評価。
RQ: Does the daily volatility of FTSE Bursa Malaysia KLCI exhibit clustering, and how well can it be modelled by a GARCH(1,1) process?
高評価のポイント：AI HL 上位パターン。GARCH モデル + 実データ + Python での実装 + 仮説検定。金融数学の現代的トピック。
※ 上記は南数塾が指導する DP 生の参考事例として再構成したもの。実際の卒業生 EE をそのまま転載したものではありません。
FAQ
南数塾に寄せられる EE Math 関連の質問から、特に多い 10 問を Q&A 形式で整理しました。
南数塾では IB DP 1-2 生徒向けに、EE Math の Research Question レビュー、テーマ選定、数学概念の理解補強、LaTeX 指導までを一貫してサポート。マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL / Nexus 等）の Supervisor との並走指導が可能です。
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