順列組合せ・確率分布・期待値・条件付き確率の全範囲
マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL / Sayfol / Cempaka / Nexus 等）に通う DP 1-2 の AA HL 受講生徒と保護者のための徹底ガイド。確率・統計章で 7 を取るための 8 章構成で、Counting Principles（順列・組合せ）から Bayes 定理、Binomial Distribution、Normal Distribution、HL Extension（Hypergeometric / Geometric）、Paper 3 過去問傾向まで網羅。GDC（TI-Nspire / TI-84 / Casio fx-CG50）の操作手順、30 日演習プラン、よくあるミスと対策まで一気通貫で整理します。
AA HL の確率・統計章は Paper 1 / 2 / 3 を合わせて出題比率約 25-30%。Counting で 1 ミス、Normal の Inverse で 1 ミスを積み重ねると Grade 6 が確定します。逆に「順列 / 組合せ判定」「独立 vs 排反」「Inverse Normal の左右」の 3 つを徹底訓練すれば、確率章は Grade 7 の最も安定した得点源になります。
本記事は AA HL 確率・統計章の全範囲を 8 章に分けて整理し、最後に Paper 3 過去問傾向と 30 日演習プランを掲載します。GDC（TI-Nspire / TI-84 / Casio fx-CG50）の操作手順も並列で解説するため、機種別の差分も把握できます。
AA HL の確率・統計章は Topic 4: Statistics and Probability として整理され、SL 共通内容に HL Extension を加えた構成。出題比率は Paper 1 / 2 / 3 を合わせて約 25-30% で、Calculus 章（約 30-35%）に次ぐ大きなウェイトを持ちます。
| トピック | SL での扱い | HL での扱い | 出題比率 |
|---|---|---|---|
| Counting Principles（順列・組合せ） | 扱わない（基本のみ） | nPr / nCr / 円順列 / 場合分け / 二項定理 | AA HL 約 5-8% |
| Probability Basics（確率の基礎） | 標本空間 / 排反 / 独立 / Venn Diagram | SL 内容 + 確率の公理 / 加法定理 / 乗法定理 | AA HL 約 8-10% |
| Conditional Probability（条件付き確率） | 基本のみ | Bayes 定理 / Tree Diagram / 独立性検定 | AA HL 約 6-8% |
| Discrete Random Variable | 期待値 / 分散 / 標準偏差 | SL 内容 + Binomial Distribution / 期待値の線形性 | AA HL 約 8-10% |
| Continuous Random Variable（HL のみ） | 扱わない | 確率密度関数 / 累積分布関数 / 期待値の積分定義 | AA HL 約 6-8% |
| Normal Distribution | 標準化 z / GDC 操作 / Inverse Normal | SL 内容 + Z 値の理論 / Confidence Interval 基礎 | AA HL 約 8-10% |
| HL Extension（Hypergeometric / Poisson 等） | 扱わない | Hypergeometric / Poisson / Geometric Distribution | AA HL 約 4-6% |
重要：AA HL 受講生徒は SL 範囲（標本空間 / 独立性 / 期待値 / Normal Distribution 基礎）を完全に理解した上で、HL Extension（二項定理応用 / Bayes / Continuous RV / Hypergeometric 等）に進む必要があります。シラバス全体での比率を意識した時間配分が、Grade 7 を取る前提条件です。
Counting は AA HL の HL Extension のみのトピック（SL では基本のみ）。順列 nPr / 組合せ nCr / 円順列 / 重複組合せの 4 タイプを完全に区別する必要があります。判定軸は『順序が結果に影響するか』『回転で同一視するか』の 2 軸です。
n 個から r 個を順序付きで選ぶ。例：10 人から「会長・副会長・書記」の 3 役を選ぶ → 10P3 = 720 通り。問題文に『arrangement』『order』『lineup』があれば順列。
n 個から r 個を順序なしで選ぶ。例：10 人から「代表 3 人」を選ぶ → 10C3 = 120 通り。問題文に『select』『choose』『team』『committee』があれば組合せ。
n 人を円卓に並べる。回転で同一視するため、n! を n（回転パターン数）で割る。例：6 人で円卓 → 5! = 120 通り。条件付き円順列（A と B が隣接等）も頻出。
n 種類から重複可で r 個を選ぶ。例：3 種類のケーキから 5 個選ぶ → 3H5 = 7C5 = 21 通り。Stars and Bars 法で導出可能。
確率の基礎は AA HL の Paper 1 / 2 で頻出。SL でも扱われますが、HL では『確率の公理』『加法定理の一般形』『独立性検定』まで深く問われます。
標本空間 S は『起こりうる全ての結果の集合』。コインを 3 回投げる場合 S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}（8 通り）。Venn Diagram / Tree Diagram / 表（Two-way Table）の 3 つの図示法を使い分けます。AA HL では『標本空間の濃度（cardinality）』を Counting Principles で計算する複合問題が頻出。
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)。排反（Mutually Exclusive）の場合は P(A ∩ B) = 0 になるため P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。3 事象の場合は包除原理で P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) − P(B∩C) − P(A∩C) + P(A∩B∩C)。Paper 1 で頻出のため公式を暗記し、図解（Venn）で意味を理解しておきます。
一般形：P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A) = P(B) × P(A | B)。独立の場合は P(B | A) = P(B) になるため P(A ∩ B) = P(A) × P(B)。独立性の判定は『P(A ∩ B) = P(A) × P(B) を計算で検証』するのが正攻法。問題文に『independent』があれば即適用、なければ自分で検証します。
排反（Mutually Exclusive）：P(A ∩ B) = 0（同時に起こらない）。独立（Independent）：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)（一方が他方の確率に影響しない）。両者が同時に成立するのは P(A) = 0 または P(B) = 0 のときのみ。典型問題は『P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(A ∪ B) = 0.6 のとき、A と B は独立か？』のような検証問題。
P(A') = 1 − P(A)。『少なくとも 1 回起こる』を計算するときは『1 回も起こらない確率を 1 から引く』アプローチが圧倒的に楽。例：『コインを 5 回投げて少なくとも 1 回表が出る』 = 1 − P(全部裏) = 1 − (1/2)^5 = 31/32。Paper 1 で時間短縮の鍵。
Conditional Probability は AA HL Paper 1 / 2 の核となるトピック。Tree Diagram と Bayes 定理を使いこなせるかで Grade 6 と 7 が分かれます。
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)（B が起きたという条件のもとで A が起きる確率）。これを変形すると P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B) = P(A) × P(B | A)。さらに変形して Bayes 定理：
P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B)
第 1 段階の分岐に最初の確率、第 2 段階の分岐に条件付き確率を記入。各経路の確率は分岐の確率の積（独立でなくても条件付きで掛けるのが正しい）。Paper 1 で『複雑な確率問題は Tree で描く』を徹底すると、Bayes 定理の暗記が不要になります。
医療検査の例：病気の人口における有病率 P(D) = 0.01、検査の擬陽性率 P(+ | D') = 0.05、擬陰性率 P(- | D) = 0.02。検査陽性者が真に病気である確率 P(D | +) = ?。Bayes で P(D | +) = P(+ | D) × P(D) / P(+) = 0.98 × 0.01 / (0.98 × 0.01 + 0.05 × 0.99) ≈ 0.165。直感に反する結果（陽性でも病気の確率は約 17%）が出ることが Bayes の本質。
2 事象 A, B が独立かを判定する方法：①『P(A ∩ B) = P(A) × P(B) を計算で確認』、②『P(A | B) = P(A) を計算で確認』、③『P(B | A) = P(B) を計算で確認』。これらは数学的に同値。Paper 1 で『独立か検証せよ』と問われた場合、①の方法が最短。
検査を 2 回受けて両方陽性の場合の事後確率は、1 回目陽性の事後確率を新たな事前確率として 2 回目の Bayes を適用。P(D | ++) = P(+ | D) × P(D | +) / P(+)。Paper 3 の長文問題で頻出。
2 × 2 の表で『男女 × 喫煙/非喫煙』『学年 × 部活加入/非加入』等の同時度数を整理し、Conditional Probability を計算。表の行・列の周辺度数から条件付き確率を読み取る練習を Year 11-12 で固めます。
Binomial Distribution は AA HL の Discrete Random Variable の代表格。X ~ B(n, p) で表現し、n 回の独立試行で k 回成功する確率を計算します。GDC（TI-Nspire / TI-84 / Casio）の binomPdf / binomCdf を瞬時に使えるかが鍵。
4 条件全てを満たさない場合は Binomial NG。たとえば『袋から玉を取り出して戻さない』は条件 2 / 4 違反のため Hypergeometric を使います。
Binomial X ~ B(n, p) を適用できるのは 4 条件全てを満たすときのみ：①試行が n 回の固定、②各試行が独立、③各試行で結果が成功/失敗の 2 値、④各試行で成功確率 p が一定。たとえば「袋から玉を取り出して戻さない」場合は各試行の確率が変わるため Binomial NG（Hypergeometric を使う）。問題文を読んだら 4 条件をチェックする習慣をつけます。
TI-Nspire CX II では『menu > Statistics > Distributions > Binomial Pdf（または Cdf）』。Pdf は P(X = k)、Cdf は P(X ≤ k)。引数は『Num Trials n、Prob Success p、X Value k』。Paper 2 で『P(X ≥ 7) when X ~ B(20, 0.3)』のような問題は 1 - binomCdf(20, 0.3, 6) で 10 秒。Paper 1（No GDC）の場合は手計算で nCk × p^k × (1-p)^(n-k) を展開します。
X ~ N(μ, σ²) を Z ~ N(0, 1²) に変換することで、標準正規分布表（または GDC）で確率計算ができます。z = (x - μ) / σ。たとえば X ~ N(70, 10²) で P(X < 85) は z = (85-70)/10 = 1.5 → P(Z < 1.5) = 0.9332。Paper 1（No GDC）では標準正規分布表が試験中に配布されないため、GDC 不可問題は出題されないのが標準ですが、概念理解は必須です。
Inverse Normal は『左側累積確率 → x 値』を返すため、問題が『上位 X%』のときは Area = 1 - X/100 を入力する必要があります。例：『上位 5% に入る最低点』なら Area = 0.95（× Area = 0.05）。問題を読んだら『左から数えて何 %?』と再翻訳する習慣をつけます。Paper 2 で Inverse Normal の左右取り違えで丸ごと失点するケースが多発するため、訓練必須。
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) は X, Y が独立でなくても成立。Var(aX + bY) = a²Var(X) + b²Var(Y) は X, Y が独立のときのみ成立（独立でない場合は共分散項が加わる）。AA HL Paper 3 で『独立 2 つの Binomial の和の分布』を求める問題が頻出。Normal Distribution の場合、X ~ N(μ₁, σ₁²), Y ~ N(μ₂, σ₂²) で独立なら aX + bY ~ N(aμ₁ + bμ₂, a²σ₁² + b²σ₂²) と直接 Normal で計算できます。
Normal Distribution は AA HL Paper 2 / 3 の頻出トピック。標準化 z = (X − μ) / σ により標準正規分布 N(0, 1²) に変換し、GDC または標準正規分布表で確率を計算します。
X ~ N(μ, σ²) を Z ~ N(0, 1²) に変換。たとえば X ~ N(70, 10²) で P(X < 85) → z = 1.5 → P(Z < 1.5) ≈ 0.9332。
正規分布では μ±σ に約 68%、μ±2σ に約 95%、μ±3σ に約 99.7% のデータが含まれる。Paper 1 の概算問題で必須。
TI-Nspire：menu > Statistics > Distributions > Normal Cdf。引数は『Lower Bound, Upper Bound, μ, σ』。Paper 2 / 3 で頻出。
左側累積確率 Area から x 値を逆算。『上位 5%』なら Area = 0.95、『下位 10%』なら Area = 0.10 を入力。
AA HL の HL Extension では SL を超えた確率分布が扱われます。Discrete RV の一般理論、Continuous RV の積分定義、Hypergeometric Distribution の 3 つが核心。
X が離散変数（x₁, x₂, ..., xₙ）を確率（p₁, p₂, ..., pₙ）で取るとき、E(X) = Σ xᵢpᵢ、Var(X) = Σ (xᵢ - μ)² pᵢ = E(X²) - μ²。Binomial / Geometric / Poisson 等の特定の分布に依存しない一般理論を AA HL では問われます。Paper 1 で確率質量関数 P(X = x) を表で与えられ、E(X), Var(X) を計算する問題が頻出。
連続変数 X の確率は積分で定義：P(a ≤ X ≤ b) = ∫(a to b) f(x) dx。確率密度関数 f(x) は ∫(全範囲) f(x) dx = 1 を満たす。期待値 E(X) = ∫ x f(x) dx、分散 Var(X) = ∫ (x - μ)² f(x) dx。AA HL Paper 2 で頻出。Calculus 章の積分計算が直接活きるため、Calculus と Statistics の橋渡しトピック。
F(x) = P(X ≤ x) = ∫(-∞ to x) f(t) dt。CDF を微分すると PDF が得られる：f(x) = F'(x)。Paper 1 で CDF が与えられ、PDF を求める / 区間確率を計算する問題が頻出。
N 個の母集団から K 個の成功要素があり、n 個を非復元抽出する場合の成功数 X の分布：P(X = k) = (KCk × (N-K)C(n-k)) / NCn。例：50 個の電球のうち 5 個が不良品で、5 個を抜き取り検査するとき不良品数 X の分布。Binomial と異なり『戻さない』ため各試行の確率が変動。AA HL Paper 1 / 2 / 3 で 2-3 年に 1 回程度出題。
独立試行で『最初の成功までの試行回数』をモデル化。P(X = k) = (1-p)^(k-1) × p。E(X) = 1/p、Var(X) = (1-p)/p²。記憶喪失性（memoryless property）を持つ唯一の離散分布。Paper 3 の Modelling 問題で頻出。
単位時間あたりの稀な事象の発生数をモデル化：P(X = k) = (λ^k × e^(-λ)) / k!。E(X) = Var(X) = λ。Binomial の n → ∞、p → 0、np → λ の極限として導出可能。AA HL では明示的に必須ではないが、Modelling の文脈で扱われることがあります。
AA HL 確率・統計章を 30 日で総ざらいするプラン。DP 2 の最終試験前 1 ヶ月、または DP 1 終了時の夏休み集中演習に最適。1 日 1.5-2 時間の確保が前提。
順列 nPr / 組合せ nCr / 円順列 / 重複組合せの定義と公式を完全暗記。教科書例題 + 過去問 Paper 1 の Counting 問題を 1 日 5 問。Day 7 で MCQ 形式の自己テスト（30 問 / 60 分）。
標本空間 / 加法定理 / 乗法定理 / 独立 vs 排反の判定。Tree Diagram を 1 日 3 問。Day 11-12 で Conditional Probability と Bayes 定理を集中演習。Day 14 で章末テスト（自校 Mock 過去問流用可）。
期待値 E(X)・分散 Var(X) の定義 → Binomial の E(X) = np, Var(X) = np(1-p) を導出。GDC（TI-Nspire / TI-84 / Casio）で binomPdf / binomCdf を 1 日 10 回操作。Day 19-20 で Paper 2 形式の Binomial 問題演習。Day 21 で章末テスト。
Day 22-25：Normal 標準化 z + GDC の normalCdf / invNorm 完全習熟。Day 26-27：Continuous RV / Hypergeometric Distribution。Day 28-30：過去問 Paper 1 + Paper 2 の確率章セクション 3 セット（時間計測）+ 採点 + 弱点ピックアップ。
AA HL Paper 3 は 60 分で 2 問の長文 Problem-Solving / Modelling。確率・統計章からは 2 年に 1 回程度の頻度で出題されます。
Geometric Distribution（HL Extension）で『最初の成功までの試行回数』をモデル化。Part a, b で基本計算、Part c で期待値の導出、Part d で実データとの fit を Chi-squared 適合度検定。
工場の製品サイズが Normal Distribution に従うという仮定で、95% Confidence Interval を導出。Part c で Sample Size n が変化した場合の CI 幅の挙動を考察。
医療検査の擬陽性率・擬陰性率から、検査陽性者が真に病気である確率を Bayes で計算。Part d で 2 段階検査の場合（陽性のまま 2 回目を受ける）の事後確率を連続適用。
天気の遷移確率（晴れ / 曇り / 雨）を Transition Matrix で表現し、Stationary Distribution を固有値分解で導出（HL Extension 範囲）。
AA HL 確率・統計章で Paper 1 / 2 / 3 のいずれにも頻出する 10 公式。試験 1 週間前に毎日 1 周することで Paper 1（No GDC）の計算速度が大幅に向上します。
| 名称 | 公式 | 用途 |
|---|---|---|
| 順列 nPr | nPr = n! / (n - r)! | n 個から r 個を順序付きで選ぶ場合の数 |
| 組合せ nCr | nCr = n! / (r! × (n - r)!) | n 個から r 個を順序なしで選ぶ場合の数 |
| 円順列 | (n - 1)! | n 人を円卓に並べる場合の数（回転で同一視） |
| 確率の加法定理 | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) | 和事象の確率（排反なら最後の項が 0） |
| 条件付き確率 | P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) | B が起きたという条件のもとで A が起きる確率 |
| Bayes 定理 | P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B) | 事後確率の更新（医療検査・スパム判定等） |
| 独立事象 | P(A ∩ B) = P(A) × P(B) | 2 事象が独立な場合の同時確率 |
| Binomial 確率 | P(X = k) = nCk × p^k × (1 − p)^(n − k) | n 回の独立試行で k 回成功する確率 |
| Binomial 期待値・分散 | E(X) = np, Var(X) = np(1 − p) | Binomial Distribution の平均と分散 |
| Normal 標準化 | Z = (X − μ) / σ | 正規分布を標準正規分布に変換 |
南数塾は AA HL 確率・統計章の全範囲（Counting / Probability / RV / Distributions / HL Extension）に対応した個別指導を提供します。
※ 本記事は 2026 年 5 月時点の IB Diploma Programme 公式シラバス（First Exam 2021、AA HL）と公開情報を基に整理しています。Paper 3 出題傾向は過去 4 年分の May / November Session を基にした傾向分析で、必ずしも今後の出題を保証するものではありません。GDC の操作手順は機種・OS バージョンにより異なる場合があるため、自分の機種のマニュアルも併せて確認してください。
お子様の現在の Grade、弱点トピック、志望大学をもとに、AA HL 確率・統計章を 30-60 日で底上げする個別カリキュラムをご提案します。無料体験授業 + 三者面談（生徒・保護者・講師）で診断します。
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