Chain Rule から Maclaurin まで — 微分・積分・極限・級数の全範囲を 1 つで
マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL / Sayfol / Cempaka 等）に通う AA HL Math の DP 1-2 生徒と保護者のための完全ガイド。AA HL Calculus は試験全体の 30-35% を占める最大トピックで、Grade 7 を取れるかどうかは Calculus の習熟度で決まります。本記事では 4 大微分技法（Chain / Product / Quotient / Implicit）、5 大積分技法（基本 7 公式・部分積分 LIATE・置換積分・部分分数・定積分応用）、L'Hopital と極限、Taylor / Maclaurin 級数（収束半径含む）、Differential Equations（Separable / Integrating Factor / Euler's Method）まで完全網羅し、Paper 1 / Paper 2 / Paper 3 別の出題傾向と 30 日演習プランを掲載します。
AA HL Calculus は試験全体の 30-35% を占める最大トピック。Grade 7 を狙う場合、基本 7 積分公式の暗記 + Chain Rule / 部分積分（LIATE）/ 置換積分（u-sub）/ 部分分数分解の 4 大技法 + Maclaurin 級数 + Differential Equations の 6 領域を 30 日で固める必要があります。
Paper 1（No GDC）で手計算による Chain Rule + 部分積分、Paper 2（GDC）で数値計算と Optimization、Paper 3 で Calculus 単独問題（Maclaurin / Differential Eq / Problem-Solving）が出題されます。本記事は 8 章 + 8 つの FAQ + 30 日演習プラン + Paper 別出題傾向で構成されています。
AA HL Calculus は 「Limits / Differentiation / Integration / Differential Equations / Series」の 5 大トピックで構成されます。HL では SL に含まれない範囲（Maclaurin 級数・Differential Equations の解析解・Implicit Differentiation の応用・L'Hopital の Rule・部分分数分解による積分）が追加されます。
lim (x→a) f(x) の定義、連続性と微分可能性、不定形（0/0、∞/∞、∞−∞、0×∞）の解法。L'Hopital の Rule と Taylor / Maclaurin 級数による近似が HL の中核。
Chain Rule（合成関数）、Product / Quotient Rule、Implicit Differentiation（陰関数）、Logarithmic Differentiation（対数微分法）、Higher Order Derivatives（高階微分）。Paper 1 最頻出。
基本 7 公式（多項式・三角・指数・対数・逆三角）、部分積分（LIATE）、置換積分（u-sub）、部分分数分解、Definite Integral の面積・体積応用（回転体含む）。Paper 1-3 全てで頻出。
変数分離型（dy/dx = f(x)g(y)）、1 階線形（dy/dx + P(x)y = Q(x)）の積分因子法、Euler's Method による数値解、Slope Field の可視化。Paper 2 / Paper 3 で頻出。
関数を多項式級数で近似する技法。Maclaurin 級数（x = 0 周りの Taylor 展開）は e^x、sin(x)、cos(x)、ln(1+x)、(1+x)^k の 5 大公式を暗記必須。収束半径 R は Ratio Test で計算。Paper 3 で頻出。
※ Maclaurin 級数 + L'Hopital + Implicit Differentiation + Differential Equations + 部分分数分解 = HL のみの追加範囲（SL では扱わない）
AA HL の微分は 6 大技法に集約されます。Paper 1（No GDC）で全 6 技法の手計算が必須。Chain Rule は最頻出で、他の技法と組合せて出題されます。
「玉ねぎモデル」と呼ばれる視覚化：合成関数を玉ねぎの皮のように外から剥いていく。最外層を微分してそのまま、内側を微分して掛ける、を繰り返す。Paper 1 で最頻出。
2 つの関数の積を微分する公式。3 つの積の場合は (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw' と拡張可能。Chain Rule との組合せが頻出。
分数式の微分公式。「下下、上下マイナス上下、下下二乗」のリズムで覚える。Paper 1 で出ると計算ミス頻発、丁寧な括弧管理が必須。
y が x の関数として明示されていない式（陰関数）の微分。両辺を x で微分し、y を含む項に dy/dx を掛けて変形。円・楕円・双曲線の接線問題で頻出。
指数と底の両方に変数がある関数（x^x や x^(sin(x)) 等）を微分する方法。両辺の ln を取って Product Rule に帰着。AA HL Paper 1 で年 1 回程度出題。
2 階以上の微分。Maclaurin 級数の係数計算（a_n = f^(n)(0)/n!）で必須。曲線の凹凸判定（f'' > 0 で下に凸）にも使う。
Chain Rule の「玉ねぎモデル」：合成関数 f(g(h(x))) を玉ねぎの皮のように外から内へ剥いていく。最外層 f を微分して中身そのまま、その g を微分して中身そのまま、内側 h を微分して掛ける、と段階的に進める。複雑な合成関数（4 層以上）も同じ手順で機械的に処理可能。
AA HL の積分は 5 大技法に集約されます。基本 7 公式の暗記が出発点、そこに 3 大技法（部分積分・置換積分・部分分数分解）+ Definite Integral の応用が乗ります。
AA HL 積分の基礎。これら 7 公式を即答できる状態まで暗記が必須。Formula Booklet にも掲載されているが、参照する余裕は Paper 1 では基本的にない。
2 つの関数の積を積分する技法。LIATE（Log / Inverse trig / Algebraic / Trig / Exponential）の順で u を選ぶ。同じ式が再現する『循環型』（∫ e^x sin(x) dx 等）は 2 回部分積分して連立方程式に帰着。
Chain Rule の逆操作。被積分関数の中に『合成関数 f(g(x))』と『内側 g(x) の導関数 g'(x)』の両方が見えたら u-sub を使う。Definite Integral では積分区間も u に対応して変更。
有理関数（多項式 / 多項式）の積分技法。分母を因数分解し、部分分数に分けて ∫ 1/(x − a) dx = ln|x − a| + C に帰着。AA HL Paper 1 / Paper 3 で頻出。Cover-up Method（係数を素早く求める技法）も習熟必須。
面積・体積・平均値・確率密度の応用で頻出。回転体の体積（Disk / Shell Method）、曲線の長さ（∫ √(1 + [f'(x)]²) dx）、表面積も AA HL で出題範囲。
上位ほど u に選ぶ。∫ x ln(x) dx なら ln(x) を u に、∫ x sin(x) dx なら x を u に。例外的に ∫ e^x sin(x) dx は『どちらを u に選んでも 2 回部分積分すれば元の式に戻る循環型』で、連立方程式で解く。
極限 lim (x→a) f(x) は AA HL Calculus の基礎です。0/0 や ∞/∞ の不定形を解く強力な技法が L'Hopital の Rule と Taylor / Maclaurin 級数による近似です。
適用条件：lim (x→a) f(x)/g(x) が 0/0 型または ∞/∞ 型の不定形のとき、かつ f, g が a の近傍で微分可能なとき。
公式：lim (x→a) f(x)/g(x) = lim (x→a) f'(x)/g'(x)（右辺の極限が存在するとき）
例：lim (x→0) sin(x)/x → 0/0 型なので L'Hopital を適用 → lim (x→0) cos(x)/1 = 1。微分しても再び 0/0 になる場合は 2 回、3 回と繰り返し適用可能。
同じ問題 lim (x→0) sin(x)/x を Taylor 展開で解くと、sin(x) ≈ x − x³/6 + ... なので sin(x)/x ≈ 1 − x²/6 + ... → x → 0 で 1。L'Hopital より直感的で、AA HL Paper 3 では Taylor 展開を使う問題が頻出。
連続性と微分可能性：関数 f が a で連続 ⟺ lim (x→a) f(x) = f(a)。微分可能 ⟹ 連続（逆は成立しない）。代表例：f(x) = |x| は x = 0 で連続だが微分不可能（左右の微分係数が −1 と +1 で一致しない）。AA HL Paper 1 で『連続だが微分不可能な例を挙げよ』と出題されることもある。
Taylor 級数は関数 f(x) を多項式級数で近似する技法、Maclaurin 級数はその x = 0 周りの特殊ケースです。AA HL Paper 3 で頻出で、収束半径の計算と 5 大公式の暗記が必須。
Maclaurin Series：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + ... + f^(n)(0)x^n/n! + ...
Taylor Series（a 周り）：f(x) = Σ f^(n)(a)(x−a)^n/n!
直感：関数の値 f(0)、傾き f'(0)、曲がり方 f''(0)、…と高階の微分係数を「多項式の係数」として積み上げ、無限和で関数を再現する。打ち切り次数を増やすほど近似精度が上がる。
5 大 Maclaurin Series（暗記必須）：
全ての実数で収束。最も覚えやすい Maclaurin 級数。Probability の Poisson 分布や複利計算で応用。
奇関数なので奇数次項のみ。物理学（単振動）・信号処理（Fourier 級数の基礎）で頻出。
偶関数なので偶数次項のみ。sin(x) の微分が cos(x) なので、級数も微分すれば対応する。
境界 x = 1 では条件収束、x = −1 では発散。x = 1 を代入すると ln(2) = 1 − 1/2 + 1/3 − ... の交代調和級数。
Binomial Series。k が非負整数なら有限和（二項定理）、それ以外は無限級数。√(1+x) や 1/√(1+x) の近似で多用。
Σ a_n x^n の収束半径は R = lim (n→∞) |a_n / a_(n+1)| で計算。
※ 境界 x = ±R での収束判定はシラバス外。IA で深掘りすると高得点の根拠になる。
近似値計算の応用：sin(0.1) を Maclaurin 展開で近似すると sin(0.1) ≈ 0.1 − 0.1³/6 = 0.1 − 0.0001667 ≈ 0.0998333。実際の値 sin(0.1) = 0.09983341... と一致。第 3 項以降を含めなくても 4 桁精度。Paper 3 で『指定精度まで近似せよ』『打ち切り誤差を評価せよ』と出題される。
Differential Equation（微分方程式）は『未知関数とその導関数を含む方程式』。AA HL では 3 つの解法（Separable / Integrating Factor / Euler's Method）+ Slope Fieldが出題範囲。
AA HL Differential Equation の基本型。両辺を分離して積分。Population Growth の Exponential Model（dP/dt = kP）や Newton 冷却法則がこの型。
1 階線形微分方程式の標準解法。Separable に変形できないが、線形（y と y' が 1 次）の場合に使う。Year 13 Paper 1 / Paper 3 で頻出。
解析的に解けない Differential Equation の数値解法。step size を小さくすると精度向上だが計算量増。Paper 2 / Paper 3 で GDC を使った計算問題として出題。
Differential Equation の解を視覚的に理解する方法。GDC（TI-Nspire CX II）の Slope Field 機能で一発描画。Paper 2 の問題で『解曲線をスケッチせよ』と出題。
現実問題への応用：Population Growth（dP/dt = kP → Exponential Growth、または dP/dt = rP(1 − P/K) → Logistic Growth）、Newton 冷却法則（dT/dt = −k(T − T_room)）、放射性崩壊（dN/dt = −λN）、伝染病モデル（SIR：dS/dt, dI/dt, dR/dt の連立方程式）など、AA HL IA のテーマとしても最有力。
AA HL の 3 つの Paper はそれぞれ性格が異なり、Calculus の出題内容と戦略も変わります。
Chain Rule / Product Rule / Quotient Rule の手計算、部分積分（LIATE）、置換積分、基本 7 公式の積分、極限の L'Hopital / Taylor 展開、Implicit Differentiation
計算は分数・根号・π・ln(2) 等のまま最後まで保持。途中式を 1 行ずつ書いて Method Mark を確保。Section A（短答 9-10 問）で確実に基礎点、Section B（長文 3-4 問）で Chain Rule + 部分積分の連続応用が頻出。
数値積分（GDC で一発）、Optimization 問題（極値を GDC の Trace / Maximum / Minimum で）、Definite Integral の面積・体積、微分方程式の数値解（GDC の slope field）
計算は GDC に任せ、問題設定の読解と式の立て方に集中。TI-Nspire CX II の Calculator + Document + Graph の使い分けが点数に直結。GDC の操作スピードを Year 13 で 2 倍以上に上げる訓練が必須。
Calculus 単独 1 問が出題されることが多い（Maclaurin 級数 / Differential Equations / Conjecture → Proof の流れ / 最適化の応用）
60 分で 2 問は 1 問 30 分の配分。Part a, b は基礎で確実に取り、Part c, d で Maclaurin の収束半径や Differential Equation の解析解で勝負を分ける。
AA HL では Calculus が試験全体の 約 30-35% を占めます。Paper 1 で約 30-35 点（110 点中）、Paper 2 で約 30-40 点、Paper 3 で約 20-30 点（55 点中、1 問丸ごと Calculus のことが多い）。合計 80-100 点が Calculus 由来 = 275 点満点中 30-36%。Calculus で 75-80% 取れれば、それだけで Grade 6 が見える計算。
Paper 1 で No GDC でも解ける理由：出題者は『計算結果が綺麗な数値・分数・根号・対数になる』ように係数を選んでいます。途中式を全て書いて Method Mark を確保し、分数・根号・π・ln(2) はそのまま最後まで保持するのが鉄則。10 進近似で減点される事故を避ける。
AA HL Calculus を 6 → 7 に上げる 30 日プラン。Year 13 の試験 1-2 ヶ月前に実行するのが理想。Year 12 終了時に基礎が固まっていれば、このプランで Grade 7 が射程に入ります。
過去問の入手先：IBO 公式の Past Papers は学校経由で配布されるのが正規ルート。マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL / Sayfol 等）では Math Department が在校生に提供します。塾経由の入手や非公式の過去問サイトは Copyright 違反のリスクがあるため避ける。南数塾では学校から正規入手した過去問の解答解説 + 採点フィードバックを提供しています。
AA HL Calculus の頻出公式・技法を 30-60 秒で復習する Shorts コンテンツ。試験前の最終確認に。
南数塾は AA HL の Calculus 章に特化した個別カリキュラムを提供。マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL 等）の DP 1-2 生徒の Calculus 6 → 7 引き上げ実績があります。
※ 本記事は 2026 年 5 月時点の IB Diploma Programme 公式シラバス（First Exam 2021、AA HL）と公開情報を基に整理しています。出題比率や公式の表現は IB Math AA Subject Guide に準拠していますが、最終的な確認は IB Official Formula Booklet と各校の Math Department に行ってください。Grade Boundary や難易度は May / November Session で変動するため、IB Official Statistical Bulletin で必ず確認してください。
お子様の現在の Calculus の習熟度（Chain Rule / 部分積分 / Maclaurin / Differential Eq の到達度）を診断し、Year 12-13 の 2 年間で Grade 7 を狙う個別カリキュラムをご提案します。無料体験授業 + 三者面談（生徒・保護者・講師）にて。
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