行列演算 / 行列式 / 逆行列 / Eigenvalue / Markov 連鎖の全範囲
マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL / Sayfol / Cempaka 等）に通う AI HL Math の DP 1-2 生徒と保護者のための完全ガイド。AI HL Matrices は試験全体の 約 20-25% を占める重要トピックで、経済・社会科学・データサイエンス・統計・金融・経営工学系の進路を目指す生徒には実用的な数学の土台になります。本記事では 5 大行列演算（加減・スカラー倍・積・単位/零行列・転置）、行列式（2x2 の ad − bc / 3x3 の余因子展開）、逆行列（2x2 公式 / 3x3 GDC）、連立 1 次方程式の行列解法、固有値・固有ベクトル・対角化、Markov 連鎖（遷移行列・定常状態・Regular）、Leslie matrix（人口モデル・支配固有値・安定年齢分布）まで完全網羅し、Paper 1 / Paper 2 / Paper 3 別の出題傾向と 30 日演習プランを掲載します。
AI HL Matrices は試験全体の 20-25% を占める重要トピック。Grade 7 を狙う場合、5 大行列演算 + 行列式・逆行列 + 連立方程式の行列解法 + 固有値・固有ベクトル + Markov 連鎖の定常状態 + Leslie matrix の支配固有値の 6 領域を 30 日で固める必要があります。
AI HL は全 Paper で GDC（TI-Nspire CX II 等）が使えるため、計算の速度は AA HL より低くなりますが、現実問題への応用解釈（Markov 連鎖を立て、定常状態を解釈する、Leslie matrix で長期成長率を予測する）が点数を分けます。本記事は 8 章 + 8 つの FAQ + 30 日演習プラン + Paper 別出題傾向で構成されています。
AI HL Matrices は 「行列演算 / 行列式・逆行列 / 連立方程式 / 固有値・対角化 / Markov 連鎖 / Leslie matrix / ネットワーク・グラフ理論」の 7 大トピックで構成されます。HL では SL に含まれない範囲（固有値・固有ベクトル・対角化・Leslie matrix・3x3 行列の本格的扱い）が追加されます。
2x2 / 3x3 行列の加減乗（積の非可換性 AB ≠ BA）、単位行列 I、零行列 O、転置 A^T。Paper 1 の基礎点。
2x2 公式 |A| = ad − bc、3x3 の余因子展開、逆行列 A⁻¹ = (1/|A|) adj(A)。|A| = 0 のとき特異行列で逆行列なし。
行列形式での連立方程式解法。一意解（|A| ≠ 0）、無数解（|A| = 0 で両立）、解なし（|A| = 0 で矛盾）の 3 ケース判別。
Av = λv を満たす λ と v。特性方程式で λ を求め、(A − λI)v = 0 で v を求める。対角化 A = PDP⁻¹ で A^n の閉形式。
遷移行列 P（行の和 = 1）、n ステップ予測 s_n = s_0 · P^n、定常状態 πP = π、Regular Markov Chain の収束。天気・顧客選好・交通・伝染病・株価などの現実モデル化で頻出。
Leslie matrix：年齢階級別の出生率・生存率から構築する人口モデル。支配固有値 λ_1 が長期成長率、対応固有ベクトル v_1 が安定年齢分布。グラフ理論：隣接行列、経路数（A^n の (i, j) 成分 = i から j への n ステップ経路数）。
※ 固有値・固有ベクトル + 対角化 + Leslie matrix + 3x3 の本格扱い = HL のみの追加範囲（SL では 2x2 基本のみ）
AI HL Matrices の出発点は 5 大行列演算です。特に行列積の非可換性（AB ≠ BA）と『A の列数 = B の行数』のサイズ規則が Paper 1 の最頻出ポイント。
対応する成分同士を足すだけ。サイズが同じ（m×n と m×n）でないと定義されない。可換（A + B = B + A）かつ結合的（(A+B)+C = A+(B+C)）。Paper 1 で基礎点として頻出。
実数 k を各成分に掛ける。k(A + B) = kA + kB、(k + m)A = kA + mA などの分配法則が成立。Markov 連鎖の確率正規化（行の和 = 1）でも頻出。
『A の i 行』と『B の j 列』の内積を取って AB の (i, j) 成分を計算。サイズ規則：A が m×n、B が n×p なら AB は m×p（A の列数 = B の行数が必須）。非可換（AB ≠ BA が一般的）。Paper 1 で最頻出、計算ミスが命取り。
AI = IA = A（単位行列は積に対する単位元）、A + O = A（零行列は和に対する単位元）。逆行列の定義（AA⁻¹ = I）や対角化（A = PDP⁻¹）で必須の概念。
行と列を入れ替える操作。(AB)^T = B^T · A^T（順序逆転）、(A^T)^T = A。対称行列（A = A^T）は固有値が必ず実数になる性質を持ち、Eigenvalue 問題で重要。
行列積の「行 × 列」ルール：AB の (i, j) 成分を計算するには『A の i 行ベクトル』と『B の j 列ベクトル』を並べて、対応成分を掛けて足す（内積）。視覚的に『A の行を横に置き、B の列を縦に置き、合わせる』とイメージするとミスが減る。2x2 では 4 成分、3x3 では 9 成分の計算が必要なため、Paper 1 で時間配分を意識。
行列式 |A| は『行列 A による線形変換のスケール係数（面積・体積の倍率）』を意味し、逆行列の存在判定、連立方程式の解の個数、固有値計算の出発点になります。
AI HL Matrices の基礎中の基礎。Paper 1 で必ず最初に問われる。|A| = 0 のとき逆行列が存在しない（特異行列）。|A| > 0 は向き保存、|A| < 0 は向き反転の線形変換を意味する。
M_ij は『a_ij を含む行と列を除いた 2x2 行列の行列式（小行列式・minor）』、符号 (−1)^(i+j) を掛けると余因子（cofactor）。第 1 行で展開するのが標準だが、0 が多い行・列で展開すると計算が楽。Paper 1 で頻出、丁寧な符号管理が必須。
『対角成分を入れ替え、非対角成分の符号を反転、行列式で割る』。Paper 1 No GDC の必須テクニック。検算は A·A⁻¹ = I を確認。AI HL では分数の保持が重要で、近似値で答えると減点される。
3x3 逆行列を手計算するのは Paper 1 で時間がかかりすぎるため、AI HL では Paper 2 / Paper 3 の GDC 使用問題として出題されることが多い。手計算する場合は『9 個の余因子を計算 → 転置 → 行列式で割る』の手順。
連立方程式を行列の形に書き直して解く強力な技法。Cramer's rule（x_i = |A_i|/|A|、A_i は A の第 i 列を b に置き換えた行列）も AI HL Paper 1 / Paper 3 で出題範囲。GDC では solve や rref（reduced row echelon form）で一発。
AI HL Paper 1 で『|A| = 0 となる k の値を求めよ』が頻出パターン。3x3 でも余因子展開を丁寧に行えば解ける。
2x2 逆行列の覚え方：「対角入れ替え、非対角符号反転、行列式で割る」。A = [[a,b],[c,d]] → A⁻¹ = (1/(ad−bc))[[d,−b],[−c,a]]。Paper 1 で 5 秒で書けるようになるまで反復。検算は A·A⁻¹ = I を確認すれば 100% 正解判定。
連立 1 次方程式を行列形式 Ax = b で表し、A⁻¹b（または Cramer's rule）で解く技法は AI HL の核心応用の 1 つです。GDC では rref（reduced row echelon form）や solve コマンドで瞬時に解けます。
x_i = |A_i| / |A|（A_i は A の第 i 列を b で置き換えた行列）
例：上の連立方程式で A = [[3,1],[2,4]]、A_1 = [[7,1],[8,4]]、A_2 = [[3,7],[2,8]]。|A| = 10、|A_1| = 28−8 = 20、|A_2| = 24−14 = 10。x = |A_1|/|A| = 2、y = |A_2|/|A| = 1。AI HL Paper 1 / Paper 3 で 3 変数の連立方程式に Cramer's rule を適用する問題が出題される。
解の 3 ケース判別：①「|A| ≠ 0 → 一意解 x = A⁻¹b」、②「|A| = 0 かつ b が A の列空間に含まれる → 無数解」、③「|A| = 0 かつ b が含まれない → 解なし」。GDC の rref で拡大係数行列 [A | b] を計算すると 3 ケースが視覚的に判別可能。Paper 3 で『k の値による解の個数を場合分けせよ』が頻出。
固有値・固有ベクトルは AI HL Matrices の 最重要概念。Markov 連鎖の定常状態、Leslie matrix の長期成長率、対角化による A^n の高速計算の全てがここに帰着します。
行列 A を掛けても方向が変わらず、スカラー倍 λ だけされるベクトル v が固有ベクトル、その倍率 λ が固有値。線形代数の中核概念で、Markov 連鎖の定常状態（λ = 1 の固有ベクトル）や Leslie matrix の長期成長率（最大固有値）の計算で使う。
固有値を求める方程式。2x2 行列なら 2 次方程式、3x3 行列なら 3 次方程式（カルダノの公式 or GDC で解く）。AI HL では実固有値の問題に限定され、複素固有値は範囲外。Paper 1 で 2x2 の特性方程式は必須技法。
固有値ごとに連立方程式 (A − λI)v = 0 を解く。解は無数あるが、方向は一意に決まる。慣例として最小整数比 or 単位ベクトル化して答える。Paper 1 / Paper 3 で『固有ベクトルを求めよ』が頻出。
Markov 連鎖の長期挙動 P^∞ を解析的に求める強力な技法。GDC で A^100 を直接計算するより、対角化を使う方が理論的洞察を与える。Paper 3 で『A^n の閉形式を導け』が出題される。
対角化 A = PDP⁻¹ の威力：A^n を直接計算するのは大変だが、A = PDP⁻¹（D は対角行列）に分解すると A^n = PD^nP⁻¹ で計算量が激減。D^n は対角成分を n 乗するだけ（D = [[λ_1,0],[0,λ_2]] → D^n = [[λ_1^n,0],[0,λ_2^n]]）。Markov 連鎖の長期挙動 P^∞ や Leslie matrix の数世代後の人口を解析的に求める強力な道具。Paper 3 で『A^n の閉形式を導け』が出題される。
Markov 連鎖は AI HL の 最頻出応用。Paper 2 / Paper 3 で必ず 1 問は出題されると言って良いほどの中核領域。
確率行列（stochastic matrix）。各行の成分は非負で和が 1。Markov 性『次状態は現在状態のみに依存（過去履歴は無関係）』が核心仮定。
遷移行列の n 乗で n ステップ後の確率分布が分かる。GDC（TI-Nspire の matA^n）で瞬時に計算可能。Paper 2 / Paper 3 で『5 日後の確率を求めよ』が頻出。
時間が経っても変化しない確率分布。固有値 1 に対応する固有ベクトルを求め、和を 1 に正規化する。長期的な平均挙動を予測する Markov 連鎖の最重要概念。
Regular Markov Chain は定常状態への収束が保証される。AI HL で出題される Markov 連鎖はほぼ全て Regular。Paper 3 では『Regular であることを示せ』『収束する根拠を述べよ』が問われる。
Markov 性の本質：『次の状態は現在の状態のみに依存し、過去の履歴とは独立』。これは強い仮定で、現実問題では完璧には成立しないことが多いが、第 1 近似として極めて有用。IA で Markov 連鎖を使う場合『Markov 性の仮定の妥当性』を必ず検証する記述を入れると Critical Analysis 点が上がる。
Leslie matrix は『年齢階級別の人口動態をモデル化する行列』で、人口統計学・保護生物学・水産資源管理・保険数理の基礎です。AI HL の HL only 範囲で、Paper 3 で頻出。
第 1 行：各階級が次の時点で新生児を産む数（出生率）。対角下成分：その階級が次階級へ生き残る割合（生存率）。AI HL シラバスの代表的 Linear Algebra 応用。
Leslie matrix で 1 世代ごとに人口を更新。t 世代後は n_t = L^t · n_0 で、GDC で行列のべき乗を計算すれば即座に予測可能。
Perron-Frobenius の定理：Leslie matrix のように非負成分行列は『最大絶対値の実固有値（dominant eigenvalue）』を 1 つ持ち、それが長期挙動を支配する。これが Leslie matrix の最重要結果。
初期人口分布が何であれ、十分時間が経つと v_1 の比率に収束する。人口統計学・保護生物学・水産資源管理での意思決定に直接使われる実用的概念。
これらは『Perron-Frobenius の定理』として知られる線形代数の重要結果で、Leslie matrix のような非負成分行列に常に適用できる。
現実問題への応用：マレーシアの人口統計（高齢化予測）、絶滅危惧種（スマトラサイ・マレーバク・テングザル）の保護政策、水産養殖（虎エビ・羅非魚）の最適収穫年齢、害虫駆除のタイミング決定、医療保険の年齢別保険料設計など、AI HL IA のテーマとしても最有力。
AI HL の 3 つの Paper はそれぞれ性格が異なり、Matrix の出題内容と戦略も変わります。AI HL は 全 Paper で GDC が使えるのが特徴で、AA HL より計算負荷は低くなりますが、応用解釈と現実問題への翻訳力が問われます。
2x2 行列の演算（積・行列式・逆行列）、連立方程式の行列解法、簡単な Markov 連鎖の 1-2 ステップ計算、固有値・固有ベクトルの基本問題
Section A（短答 9-10 問）で 2x2 行列の基本演算を確実に。Section B（長文 3-4 問）で Markov 連鎖 or Leslie matrix の応用問題が頻出。GDC で計算を高速化しつつ、途中式を必ず書いて Method Mark を確保。
Markov 連鎖の n ステップ予測（GDC で P^n 計算）、定常状態の計算、3x3 行列の連立方程式、Leslie matrix の数世代後の人口予測、現実データへの応用
計算は GDC に任せ、問題設定の読解と式の立て方に集中。TI-Nspire CX II の matrix template + eigVl/eigVc の操作スピードが点数に直結。データから遷移行列を立てるステップで時間をかける。
Matrices 単独の長文問題が 1 問丸ごと出題されることが多い（Markov 連鎖の現実モデル + 長期予測 / Leslie matrix の固有値解析 / 対角化と A^n の閉形式）
60 分で 2 問は 1 問 30 分の配分。Part a, b（行列の構築・基本計算）は基礎で確実に取り、Part c, d（定常状態の解釈・長期予測・モデルの限界）で勝負を分ける。現実への解釈を言葉で書ける訓練が必須。
AI HL では Matrices が試験全体の 約 20-25% を占めます。Paper 1 で約 20-25 点（110 点中）、Paper 2 で約 25-30 点、Paper 3 で約 15-25 点（55 点中、1 問丸ごと Matrix のことも多い）。合計 60-80 点が Matrix 由来 = 275 点満点中 22-29%。Matrices で 75-80% 取れれば、それだけで Grade 6 が見える計算。残りは Statistics（25%）、Calculus（20%）、Number & Algebra（15%）、Geometry & Trig（15%）で構成されます。
過去問の入手先：IBO 公式の Past Papers は学校経由で配布されるのが正規ルート。マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL / Sayfol 等）では Math Department が在校生に提供します。塾経由の入手や非公式の過去問サイトは Copyright 違反のリスクがあるため避ける。南数塾では学校から正規入手した過去問の解答解説 + 採点フィードバックを提供しています。
AI HL Matrices の頻出公式・技法を 30-90 秒で復習する Shorts コンテンツ。試験前の最終確認に。
南数塾は AI HL の Matrices 章に特化した個別カリキュラムを提供。マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL 等）の DP 1-2 生徒の Matrices 6 → 7 引き上げ実績があります。経済・社会科学・データサイエンス系の進路を見据えた指導が特徴。
※ 本記事は 2026 年 5 月時点の IB Diploma Programme 公式シラバス（First Exam 2021、AI HL）と公開情報を基に整理しています。出題比率や公式の表現は IB Math AI Subject Guide に準拠していますが、最終的な確認は IB Official Formula Booklet と各校の Math Department に行ってください。Grade Boundary や難易度は May / November Session で変動するため、IB Official Statistical Bulletin で必ず確認してください。
お子様の現在の Matrices の習熟度（行列演算 / 行列式・逆行列 / 固有値 / Markov 連鎖 / Leslie matrix の到達度）を診断し、Year 12-13 の 2 年間で Grade 7 を狙う個別カリキュラムをご提案します。無料体験授業 + 三者面談（生徒・保護者・講師）にて。
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