IGCSE Mathematics · 0580 / 0606Year 2 · Extended（0580）幾何 · Geometry

ベクトル

Vectors

ベクトルとは、大きさ（長さ）と向きの両方をもつ量です。位置や移動を表すのに使われ、 $x$ 方向と $y$ 方向の移動量を縦に並べた『列ベクトル』 $(x y)$ で表します。このページでは、列ベクトルの読み方、ベクトルの加法・減法、スカラー倍（実数をかける）、ベクトルの大きさ $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$ 、そして $a, b$ を使って $A B$ などを表す簡単な幾何の問題までを学びます。

A vector is a quantity that has both magnitude (length) and direction. Vectors are used to describe position and movement, and we write them as a column vector $(x y)$ , with the movement in the $x$ -direction on top and the $y$ -direction below. On this page you will learn how to read a column vector, how to add and subtract vectors, how to find scalar multiples, how to find the magnitude $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$ , and how to solve simple geometry problems such as writing $A B$ in terms of $a$ and $b$ .

列ベクトルとは

Column vectors

列ベクトル $(x y)$ は、 $x$ 軸方向に $x$ 、 $y$ 軸方向に $y$ だけ移動することを表します。上の数は右向きの移動（負なら左）、下の数は上向きの移動（負なら下）です。たとえば $(3 - 2)$ は『右に $3$ 、下に $2$ 』という移動を意味します。ベクトルは太字の小文字 $a$ や、始点から終点を結ぶ $A B$ のように書きます。

A column vector $(x y)$ describes a movement of $x$ in the $x$ -direction and $y$ in the $y$ -direction. The top number is the movement to the right (left if negative) and the bottom number is the movement up (down if negative). For example, $(3 - 2)$ means ' $3$ right and $2$ down'. A vector is written as a bold lower-case letter $a$ , or as $A B$ from a start point to an end point.

ベクトルの加法と減法

Adding and subtracting vectors

二つの列ベクトルを足したり引いたりするときは、上の成分どうし、下の成分どうしを別々に計算します。加法は『一方の移動に続けてもう一方の移動を行う』ことを表します。たとえば $(3 - 1) + (24) = (53)$ 、減法は $(3 - 1) - (24) = (1 - 5)$ となります。

To add or subtract two column vectors, work with the top components together and the bottom components together, separately. Addition represents doing one movement followed by the other. For example, $(3 - 1) + (24) = (53)$ , and subtraction gives $(3 - 1) - (24) = (1 - 5)$ .

(a b) + (c d) = (a + c b + d)

スカラー倍

Scalar multiples

ベクトルに実数（スカラー）をかけると、各成分にその数をかけます。 $k (x y) = (k x k y)$ です。 $k > 0$ なら向きは変わらず長さが $k$ 倍に、 $k < 0$ なら向きが逆になります。たとえば $2 (3 - 1) = (6 - 2)$ 。二つのベクトルが互いにスカラー倍であれば、それらは平行です。

To multiply a vector by a number (a scalar), multiply each component by that number: $k (x y) = (k x k y)$ . If $k > 0$ the direction is unchanged and the length is multiplied by $k$ ; if $k < 0$ the direction is reversed. For example, $2 (3 - 1) = (6 - 2)$ . If one vector is a scalar multiple of another, the two vectors are parallel.

k (x y) = (k x k y)

ベクトルの大きさ（ノルム）

The magnitude of a vector

ベクトルの大きさ（長さ）は、ピタゴラスの定理を使って求めます。 $a = (x y)$ の大きさは $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$ です。成分を二乗してから足し、平方根をとります。符号は二乗で消えるので、負の成分があっても問題ありません。たとえば $(6 - 8)$ の大きさは $6^{2} + (- 8)^{2} = 100 = 10$ です。

The magnitude (length) of a vector is found using Pythagoras' theorem. For $a = (x y)$ , the magnitude is $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$ . Square each component, add, then take the square root. The signs disappear when you square, so negative components cause no problem. For example, the magnitude of $(6 - 8)$ is $6^{2} + (- 8)^{2} = 100 = 10$ .

∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}

幾何のベクトル問題

Geometric vector problems

図形の問題では、点の位置を基準点（多くは原点 $O$ ）からのベクトルで表します。 $O A = a$ 、 $O B = b$ のとき、 $A$ から $B$ へのベクトルは $A B = O B - O A = b - a$ と求められます（『行き先 − 出発点』）。中点や分点も $a, b$ を使って表せます。たとえば線分 $A B$ の中点 $M$ は $O M = a + \frac{1}{2} (b - a) = \frac{1}{2} (a + b)$ です。

In geometry problems, the position of a point is described by a vector from a base point (often the origin $O$ ). If $O A = a$ and $O B = b$ , then the vector from $A$ to $B$ is $A B = O B - O A = b - a$ ('destination minus start'). Midpoints and other points can also be written in terms of $a$ and $b$ . For example, the midpoint $M$ of $A B$ has $O M = a + \frac{1}{2} (b - a) = \frac{1}{2} (a + b)$ .

A B = O B - O A = b - a

英語の数学用語

English

日本語

vector

ベクトル

column vector

列ベクトル

magnitude

大きさ（ノルム）

scalar

スカラー（実数倍）

scalar multiple

スカラー倍

parallel

平行

position vector

位置ベクトル

resultant

合成ベクトル（和）

例題

Worked examples

例題 1Example 1

a = (3 - 1)

、

b = (24)

のとき、(a)

a + b

、(b)

a - b

、(c)

2 a

を列ベクトルで求めなさい。Given

a = (3 - 1)

and

b = (24)

, find (a)

a + b

, (b)

a - b

, (c)

2 a

as column vectors.

解答 · SOLUTION

1.
(a) 成分ごとに足します： $(3 + 2 - 1 + 4) = (53)$ 。(a) Add component by component: $(3 + 2 - 1 + 4) = (53)$ .
2.
(b) 成分ごとに引きます： $(3 - 2 - 1 - 4) = (1 - 5)$ 。(b) Subtract component by component: $(3 - 2 - 1 - 4) = (1 - 5)$ .
3.
(c) 各成分を $2$ 倍します： $(2 \times 3 2 \times (- 1)) = (6 - 2)$ 。(c) Multiply each component by $2$ : $(2 \times 3 2 \times (- 1)) = (6 - 2)$ .

答え · ANSWER

(a)

(53)

　(b)

(1 - 5)

　(c)

(6 - 2)

(a)

(53)

, (b)

(1 - 5)

, (c)

(6 - 2)

例題 2Example 2

ベクトル

v = (6 - 8)

の大きさ

∣ v ∣

を求めなさい。Find the magnitude

∣ v ∣

of the vector

v = (6 - 8)

解答 · SOLUTION

1.
公式 $∣ v ∣ = x^{2} + y^{2}$ に代入します。Substitute into the formula $∣ v ∣ = x^{2} + y^{2}$ .
2.
$∣ v ∣ = 6^{2} + (- 8)^{2} = 36 + 64 = 100$ 。 $∣ v ∣ = 6^{2} + (- 8)^{2} = 36 + 64 = 100$ .
3.
$100 = 10$ 。 $100 = 10$ .

答え · ANSWER

10

10

例題 3Example 3

O A = a

、

O B = b

とします。

M

を線分

A B

の中点とするとき、(a)

A B

、(b)

O M

をそれぞれ

a, b

を用いて表しなさい。Let

O A = a

and

O B = b

. If

M

is the midpoint of

A B

, express (a)

A B

and (b)

O M

in terms of

a

and

b

解答 · SOLUTION

1.
(a) 『行き先 − 出発点』より $A B = O B - O A = b - a$ 。(a) Using 'destination minus start': $A B = O B - O A = b - a$ .
2.
(b) $A$ から $M$ までは $A B$ の半分なので $A M = \frac{1}{2} (b - a)$ 。(b) From $A$ to $M$ is half of $A B$ , so $A M = \frac{1}{2} (b - a)$ .
3.
$O M = O A + A M = a + \frac{1}{2} (b - a) = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b = \frac{1}{2} (a + b)$ 。 $O M = O A + A M = a + \frac{1}{2} (b - a) = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b = \frac{1}{2} (a + b)$ .

答え · ANSWER

(a)

b - a

　(b)

\frac{1}{2} (a + b)

(a)

b - a

, (b)

\frac{1}{2} (a + b)

練習問題

Practice

次の各問いに答えなさい。

a = (14)

、

b = (32)

は問 6 で使います。Answer each question below. Use

a = (14)

and

b = (32)

in question 6.

(1)
$(25) + (3 - 1)$ を求めなさい。
答えを見る · Show answer
$(54)$
(2)
$(72) - (46)$ を求めなさい。
答えを見る · Show answer
$(3 - 4)$
(3)
$3 (2 - 3)$ を求めなさい。
答えを見る · Show answer
$(6 - 9)$
(4)
ベクトル $(512)$ の大きさを求めなさい。
答えを見る · Show answer
$13$
(5)
ベクトル $(- 3 4)$ の大きさを求めなさい。
答えを見る · Show answer
$5$
(6)
$a = (14)$ 、 $b = (32)$ のとき、 $2 a - b$ を求めなさい。
答えを見る · Show answer
$(- 1 6)$
(7)
ベクトル $(815)$ の大きさを求めなさい。
答えを見る · Show answer
$17$
(8)
点 $A$ の位置ベクトルは $(23)$ 、点 $B$ の位置ベクトルは $(711)$ です。 $A B$ を列ベクトルで求め、その大きさを根号のまま求めなさい。
答えを見る · Show answer
$A B = (58)$ 、大きさ $89$

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IGCSE Mathematics · 0580 / 0606Year 2 · Extended（0580）幾何 · Geometry

ベクトル

Vectors

列ベクトルとは

Column vectors

ベクトルの加法と減法

Adding and subtracting vectors

(a b) + (c d) = (a + c b + d)

スカラー倍

Scalar multiples

k (x y) = (k x k y)

ベクトルの大きさ（ノルム）

The magnitude of a vector

∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}

幾何のベクトル問題

Geometric vector problems

A B = O B - O A = b - a

英語の数学用語

English

日本語

vector

ベクトル

column vector

列ベクトル

magnitude

大きさ（ノルム）

scalar

スカラー（実数倍）

scalar multiple

スカラー倍

parallel

平行

position vector

位置ベクトル

resultant

合成ベクトル（和）

例題

Worked examples

例題 1Example 1

a = (3 - 1)

、

b = (24)

のとき、(a)

a + b

、(b)

a - b

、(c)

2 a

を列ベクトルで求めなさい。Given

a = (3 - 1)

and

b = (24)

, find (a)

a + b

, (b)

a - b

, (c)

2 a

as column vectors.

解答 · SOLUTION

1.
(a) 成分ごとに足します： $(3 + 2 - 1 + 4) = (53)$ 。(a) Add component by component: $(3 + 2 - 1 + 4) = (53)$ .
2.
(b) 成分ごとに引きます： $(3 - 2 - 1 - 4) = (1 - 5)$ 。(b) Subtract component by component: $(3 - 2 - 1 - 4) = (1 - 5)$ .
3.
(c) 各成分を $2$ 倍します： $(2 \times 3 2 \times (- 1)) = (6 - 2)$ 。(c) Multiply each component by $2$ : $(2 \times 3 2 \times (- 1)) = (6 - 2)$ .

答え · ANSWER

(a)

(53)

　(b)

(1 - 5)

　(c)

(6 - 2)

(a)

(53)

, (b)

(1 - 5)

, (c)

(6 - 2)

例題 2Example 2

ベクトル

v = (6 - 8)

の大きさ

∣ v ∣

を求めなさい。Find the magnitude

∣ v ∣

of the vector

v = (6 - 8)

解答 · SOLUTION

1.
公式 $∣ v ∣ = x^{2} + y^{2}$ に代入します。Substitute into the formula $∣ v ∣ = x^{2} + y^{2}$ .
2.
$∣ v ∣ = 6^{2} + (- 8)^{2} = 36 + 64 = 100$ 。 $∣ v ∣ = 6^{2} + (- 8)^{2} = 36 + 64 = 100$ .
3.
$100 = 10$ 。 $100 = 10$ .

答え · ANSWER

10

10

例題 3Example 3

O A = a

、

O B = b

とします。

M

を線分

A B

の中点とするとき、(a)

A B

、(b)

O M

をそれぞれ

a, b

を用いて表しなさい。Let

O A = a

and

O B = b

. If

M

is the midpoint of

A B

, express (a)

A B

and (b)

O M

in terms of

a

and

b

解答 · SOLUTION

1.
(a) 『行き先 − 出発点』より $A B = O B - O A = b - a$ 。(a) Using 'destination minus start': $A B = O B - O A = b - a$ .
2.
(b) $A$ から $M$ までは $A B$ の半分なので $A M = \frac{1}{2} (b - a)$ 。(b) From $A$ to $M$ is half of $A B$ , so $A M = \frac{1}{2} (b - a)$ .
3.
$O M = O A + A M = a + \frac{1}{2} (b - a) = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b = \frac{1}{2} (a + b)$ 。 $O M = O A + A M = a + \frac{1}{2} (b - a) = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b = \frac{1}{2} (a + b)$ .

答え · ANSWER

(a)

b - a

　(b)

\frac{1}{2} (a + b)

(a)

b - a

, (b)

\frac{1}{2} (a + b)

練習問題

Practice

次の各問いに答えなさい。

a = (14)

、

b = (32)

は問 6 で使います。Answer each question below. Use

a = (14)

and

b = (32)

in question 6.

(1)
$(25) + (3 - 1)$ を求めなさい。
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$(54)$
(2)
$(72) - (46)$ を求めなさい。
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$(3 - 4)$
(3)
$3 (2 - 3)$ を求めなさい。
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$(6 - 9)$
(4)
ベクトル $(512)$ の大きさを求めなさい。
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$13$
(5)
ベクトル $(- 3 4)$ の大きさを求めなさい。
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$5$
(6)
$a = (14)$ 、 $b = (32)$ のとき、 $2 a - b$ を求めなさい。
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$(- 1 6)$
(7)
ベクトル $(815)$ の大きさを求めなさい。
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$17$
(8)
点 $A$ の位置ベクトルは $(23)$ 、点 $B$ の位置ベクトルは $(711)$ です。 $A B$ を列ベクトルで求め、その大きさを根号のまま求めなさい。
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$A B = (58)$ 、大きさ $89$