「展開（expand）」はかっこを外して項を並べる操作、「因数分解（factorise）」はその逆で式を積の形に戻す操作です。この2つは IGCSE 0580 Extended の代数の心臓部で、二次方程式・関数・式の整理のすべての土台になります。ここでは単項式と2項式の展開、覚えておくべき乗法公式、共通因数のくくり出し、そして 型・ 型の二次式の因数分解までを、手順を追って学びます。
To “expand” means to remove brackets and write out the separate terms; to “factorise” means the reverse — putting an expression back into a product of brackets. These two operations are the heart of IGCSE 0580 Extended algebra and underpin quadratic equations, functions and all algebraic manipulation. Here we cover expanding single and double brackets, the multiplication identities worth memorising, taking out a common factor, and factorising quadratics of the form and , step by step.
Expanding a single bracket
かっこの外にある項を、かっこの中のすべての項に掛けます（分配法則）。例えば です。符号に注意しましょう。負の項を掛けるとき、 のように中の符号が反転します。
Multiply the term outside the bracket by every term inside (the distributive law). For example . Watch the signs: when you multiply by a negative term the inner signs flip, as in .
Expanding two brackets (FOIL)
では、前どうし・外側・内側・後どうし（First, Outer, Inner, Last）の4つの積を作って足します。例：。中央の項（ の項）をまとめ忘れないことが最大の注意点です。
For form the four products — First, Outer, Inner, Last — and add them. Example: . The most common slip is forgetting to combine the two middle () terms.
Three identities to memorise
完全平方と平方の差は丸暗記する価値があります。、、そして 。特に「平方の差（difference of two squares）」は、中央の項がなく2つの平方が引き算になっている形を見たら即座に積に直せます。例：。
The perfect squares and the difference of two squares are worth memorising: , , and . The “difference of two squares” in particular lets you factorise instantly whenever you see two squares subtracted with no middle term, e.g. .
Taking out a common factor
因数分解では「いつも最初に共通因数を探す」のが鉄則です。すべての項に共通する数と文字の最大のかたまりを前に出します。例：。数の公約数（ここでは3）と、共通する文字の最低次数（ここでは ）の両方を取り出します。
The golden rule of factorising is to look for a common factor first. Pull out the largest number and letters shared by every term. Example: . Take both the numerical common factor (here 3) and the lowest power of the shared letter (here ).
Factorising quadratics $x^2+bx+c$
先頭の係数が1のときは、「掛けて 、足して 」になる2つの数を探します。その2数を とすると です。例： なら、掛けて ・足して になるのは と 。よって 。 が負なら2数は異符号、 が正で が負なら2数はともに負、というパターンを意識すると速くなります。
When the leading coefficient is 1, find two numbers that multiply to and add to . Calling them gives . Example: for , the pair multiplying to and adding to is and , so . It speeds things up to notice the patterns: if is negative the two numbers have opposite signs; if is positive and negative, both numbers are negative.
Factorising quadratics $ax^2+bx+c$
先頭の係数が1でないときは「ac法（分割法）」が確実です。 を計算し、掛けてその値・足して になる2数を見つけて中央の項を分割し、2項ずつ共通因数でくくります。例： では 。掛けて ・足して は と 。。
When the leading coefficient is not 1, the reliable method is the “ac method” (splitting the middle term). Compute , find two numbers multiplying to it and adding to , split the middle term, then factor in pairs. Example: for , ; the pair multiplying to and adding to is and , giving .
Worked examples
Practice
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