IGCSE Mathematics · 0580 / 0606Year 1 · 前期（PreCalculus / 0606）集合と論理 · Sets & Logic

集合

Sets

集合（set）とは、はっきりと区別できる「もの（要素）」の集まりです。数学では、ものをグループにまとめて考えるときに使います。ここでは集合の記号と、和集合・共通部分・補集合の求め方を、例題で身につけます。

A set is a collection of clearly distinct objects called elements. In mathematics we use sets to group objects together. Here you will learn set notation and how to find unions, intersections and complements, through worked examples.

集合と要素

Sets and elements

集合は中括弧 ${}$ で表し、その中に要素を並べます。たとえば $A = {a, b, d, f, h}$ は、 $a, b, d, f, h$ という5つの要素からなる集合です。 $a$ が集合 $A$ の要素であることを $a \in A$ と書きます。

A set is written with braces ${}$ listing its elements. For example $A = {a, b, d, f, h}$ is the set whose five elements are $a, b, d, f, h$ . We write $a \in A$ to mean that $a$ is an element of $A$ .

和集合と共通部分

Union and intersection

和集合 $A \cup B$ は「 $A$ または $B$ の少なくとも一方に入る要素」を集めた集合です。共通部分 $A \cap B$ は「 $A$ にも $B$ にも入る要素」を集めた集合です。

The union $A \cup B$ is the set of elements that are in $A$ or $B$ (or both). The intersection $A \cap B$ is the set of elements that are in both $A$ and $B$ .

A \cup B = {x : x \in A or x \in B} A \cap B = {x : x \in A and x \in B}

補集合・部分集合・空集合

Complement, subset and empty set

全体集合 $U$ を決めたとき、 $A$ に入らない要素の集合を補集合 $A^{'}$ （または $A^{c}$ ）といいます。 $A$ のすべての要素が $B$ にも入るとき、 $A$ は $B$ の部分集合といい $A \subseteq B$ と書きます。要素を1つも持たない集合を空集合といい $\emptyset$ で表します。

Given a universal set $U$ , the complement $A^{'}$ (or $A^{c}$ ) is the set of elements not in $A$ . If every element of $A$ is also in $B$ , then $A$ is a subset of $B$ , written $A \subseteq B$ . A set with no elements is the empty set, written $\emptyset$ .

計算の順序（かっこ）

Order of operations (brackets)

$\cup$ と $\cap$ が混ざった式では、かっこの中を先に計算します。たとえば $(A \cap B) \cup C$ は、まず $A \cap B$ を求めてから $C$ との和集合をとります。 $A \cap (B \cup C)$ は、先に $B \cup C$ を求めます。

When $\cup$ and $\cap$ are mixed, work out the brackets first. For example, for $(A \cap B) \cup C$ find $A \cap B$ first, then take its union with $C$ . For $A \cap (B \cup C)$ find $B \cup C$ first.

英語の数学用語

English

日本語

set

集合

element

要素

union (

\cup

)

和集合

intersection (

\cap

)

共通部分

complement (

A^{'}

)

補集合

subset (

\subseteq

)

部分集合

empty set (

\emptyset

)

空集合

universal set (

U

)

全体集合

例題

Worked examples

例題 1Example 1

A = {a, b, d, f, h}

B = {b, c, d, e}

のとき、

A \cup B

を求めなさい。Given

A = {a, b, d, f, h}

and

B = {b, c, d, e}

, find

A \cup B

解答 · SOLUTION

1.
$A$ と $B$ のどちらか一方にでも入っている要素をすべて集めます。Collect every element that appears in $A$ or in $B$ .
2.
重複する要素（ $b, d$ ）は1回だけ書きます。Write repeated elements ( $b, d$ ) only once.

答え · ANSWER

A \cup B = {a, b, c, d, e, f, h}

A \cup B = {a, b, c, d, e, f, h}

例題 2Example 2

A = {a, b, d, f, h}

C = {a, d, e, g, h}

のとき、

A \cap C

を求めなさい。Given

A = {a, b, d, f, h}

and

C = {a, d, e, g, h}

, find

A \cap C

解答 · SOLUTION

1.
$A$ にも $C$ にも入っている要素だけを集めます。Keep only the elements that are in both $A$ and $C$ .
2.
$a$ は両方にあり、 $d$ も両方、 $h$ も両方にあります。 $a$ is in both, $d$ is in both, and $h$ is in both.

答え · ANSWER

A \cap C = {a, d, h}

A \cap C = {a, d, h}

例題 3Example 3

A = {a, b, d, f, h}

B = {b, c, d, e}

C = {a, d, e, g, h}

のとき、

(A \cap B) \cup C

を求めなさい。Given the three sets above, find

(A \cap B) \cup C

解答 · SOLUTION

1.
かっこの中を先に： $A \cap B = {b, d}$ 。Brackets first: $A \cap B = {b, d}$ .
2.
次に $C$ との和集合をとる： ${b, d} \cup {a, d, e, g, h}$ 。Then take the union with $C$ : ${b, d} \cup {a, d, e, g, h}$ .

答え · ANSWER

(A \cap B) \cup C = {a, b, d, e, g, h}

(A \cap B) \cup C = {a, b, d, e, g, h}

練習問題

Practice

以下の集合を求めなさい。　

A = {a, b, d, f, h}

B = {b, c, d, e}

C = {a, d, e, g, h}

Find the following sets.　

A = {a, b, d, f, h}

B = {b, c, d, e}

C = {a, d, e, g, h}

(1)
$A \cup B$
答えを見る · Show answer
${a, b, c, d, e, f, h}$
(2)
$A \cap C$
答えを見る · Show answer
${a, d, h}$
(3)
$B \cap C$
答えを見る · Show answer
${d, e}$
(4)
$A \cup C$
答えを見る · Show answer
${a, b, d, e, f, g, h}$
(5)
$A \cap B \cap C$
答えを見る · Show answer
${d}$
(6)
$A \cup B \cup C$
答えを見る · Show answer
${a, b, c, d, e, f, g, h}$
(7)
$(A \cap B) \cup C$
答えを見る · Show answer
${a, b, d, e, g, h}$
(8)
$A \cap (B \cup C)$
答えを見る · Show answer
${a, b, d, h}$

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集合と要素

Sets and elements

和集合と共通部分

Union and intersection

The union $A \cup B$ is the set of elements that are in $A$ or $B$ (or both). The intersection $A \cap B$ is the set of elements that are in both $A$ and $B$ .

A \cup B = {x : x \in A or x \in B} A \cap B = {x : x \in A and x \in B}

補集合・部分集合・空集合

Complement, subset and empty set

計算の順序（かっこ）

Order of operations (brackets)

例題

Worked examples

例題 1Example 1

A = {a, b, d, f, h}

B = {b, c, d, e}

のとき、

A \cup B

を求めなさい。Given

A = {a, b, d, f, h}

and

B = {b, c, d, e}

, find

A \cup B

解答 · SOLUTION

1.
$A$ と $B$ のどちらか一方にでも入っている要素をすべて集めます。Collect every element that appears in $A$ or in $B$ .
2.
重複する要素（ $b, d$ ）は1回だけ書きます。Write repeated elements ( $b, d$ ) only once.

答え · ANSWER

A \cup B = {a, b, c, d, e, f, h}

A \cup B = {a, b, c, d, e, f, h}

例題 2Example 2

A = {a, b, d, f, h}

C = {a, d, e, g, h}

のとき、

A \cap C

を求めなさい。Given

A = {a, b, d, f, h}

and

C = {a, d, e, g, h}

, find

A \cap C

解答 · SOLUTION

1.
$A$ にも $C$ にも入っている要素だけを集めます。Keep only the elements that are in both $A$ and $C$ .
2.
$a$ は両方にあり、 $d$ も両方、 $h$ も両方にあります。 $a$ is in both, $d$ is in both, and $h$ is in both.

答え · ANSWER

A \cap C = {a, d, h}

A \cap C = {a, d, h}

例題 3Example 3

A = {a, b, d, f, h}

B = {b, c, d, e}

C = {a, d, e, g, h}

のとき、

(A \cap B) \cup C

を求めなさい。Given the three sets above, find

(A \cap B) \cup C

解答 · SOLUTION

1.
かっこの中を先に： $A \cap B = {b, d}$ 。Brackets first: $A \cap B = {b, d}$ .
2.
次に $C$ との和集合をとる： ${b, d} \cup {a, d, e, g, h}$ 。Then take the union with $C$ : ${b, d} \cup {a, d, e, g, h}$ .

答え · ANSWER

(A \cap B) \cup C = {a, b, d, e, g, h}

(A \cap B) \cup C = {a, b, d, e, g, h}

練習問題

Practice

以下の集合を求めなさい。　

A = {a, b, d, f, h}

B = {b, c, d, e}

C = {a, d, e, g, h}

Find the following sets.　

A = {a, b, d, f, h}

B = {b, c, d, e}

C = {a, d, e, g, h}

(1)

A \cup B

答えを見る · Show answer

{a, b, c, d, e, f, h}

(2)

A \cap C

答えを見る · Show answer

{a, d, h}

(3)

B \cap C

答えを見る · Show answer

{d, e}

(4)

A \cup C

答えを見る · Show answer

{a, b, d, e, f, g, h}

(5)

A \cap B \cap C

答えを見る · Show answer

{d}

(6)

A \cup B \cup C

答えを見る · Show answer

{a, b, c, d, e, f, g, h}

(7)

(A \cap B) \cup C

答えを見る · Show answer

{a, b, d, e, g, h}

(8)

A \cap (B \cup C)

答えを見る · Show answer

{a, b, d, h}

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