IGCSE Mathematics · 0580Year 2（Extended / 0580・0606）代数 · Algebra

二次方程式

Quadratic Equations

このページの内容

因数分解で解く
解の公式
英語の数学用語
例題
練習問題
IGCSE 数学の他の単元

a x^{2} + b x + c = 0 （ただし a \neq = 0 ）の形の方程式を二次方程式といいます。解き方は主に「因数分解」と「解の公式」で、0580 Extended では「平方完成」も問われます。 An equation of the form a x^{2} + b x + c = 0 (with a \neq = 0) is a quadratic equation. The two main methods of solving are factorising and the quadratic formula; 0580 Extended also expects completing the square.

因数分解で解く

Solving by factorising

左辺を (x - p) (x - q) = 0 の形に因数分解できれば、 x = p または x = q が解です。積が 0 になるのは、どちらかが 0 のときだからです。 If the left side factorises as (x - p) (x - q) = 0, then the solutions are x = p or x = q, because a product is zero only when one of the factors is zero.

解の公式

The quadratic formula

因数分解できないときは、解の公式を使います。 b^{2} - 4 a c を判別式といい、これが正なら解は2つ、 0 なら重解、負なら実数解なしです。 When it does not factorise, use the quadratic formula. The expression b^{2} - 4 a c is the discriminant: positive gives two roots, zero gives a repeated root, negative gives no real roots.

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

英語の数学用語

English	日本語
quadratic equation	二次方程式
factorise	因数分解する
root / solution	解
quadratic formula	解の公式
discriminant	判別式

例題

Worked examples

例題 1Example 1

x^{2} - 5 x + 6 = 0 を解きなさい。 Solve x^{2} - 5 x + 6 = 0 .

解答 · SOLUTION

1. $たして - 5 、かけて 6 になる2数は - 2 と - 3 。 Two numbers with sum - 5 and product 6 are - 2 and - 3 .$
2. $よって (x - 2) (x - 3) = 0 。 So (x - 2) (x - 3) = 0 .$

答え · ANSWER

x = 2 または x = 3 x = 2 or x = 3

例題 2Example 2

x^{2} + 4 x + 1 = 0 を解の公式で解きなさい。 Solve x^{2} + 4 x + 1 = 0 using the formula.

解答 · SOLUTION

1. $a = 1, b = 4, c = 1 。判別式は b^{2} - 4 a c = 16 - 4 = 12 。 a = 1, b = 4, c = 1 . Discriminant b^{2} - 4 a c = 16 - 4 = 12 .$
2. $x = \frac{- 4 \pm 12}{2} = \frac{- 4 \pm 2 3}{2} 。 x = \frac{- 4 \pm 12}{2} = \frac{- 4 \pm 2 3}{2} .$

答え · ANSWER

x = - 2 \pm 3 x = - 2 \pm 3

練習問題

Practice

(1)
$x^{2} - 7 x + 12 = 0$
答えを見る · Show answer
$x = 3, 4$
(2)
$x^{2} - 9 = 0$
答えを見る · Show answer
$x = \pm 3$
(3)
$x^{2} + 2 x - 5 = 0$ （解の公式）
答えを見る · Show answer
$x = - 1 \pm 6$

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因数分解で解く

Solving by factorising

左辺を (x - p) (x - q) = 0 の形に因数分解できれば、 x = p または x = q が解です。積が 0 になるのは、どちらかが 0 のときだからです。 If the left side factorises as (x - p) (x - q) = 0, then the solutions are x = p or x = q, because a product is zero only when one of the factors is zero.

解の公式

The quadratic formula

因数分解できないときは、解の公式を使います。 b^{2} - 4 a c を判別式といい、これが正なら解は2つ、 0 なら重解、負なら実数解なしです。 When it does not factorise, use the quadratic formula. The expression b^{2} - 4 a c is the discriminant: positive gives two roots, zero gives a repeated root, negative gives no real roots.

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

quadratic equation

二次方程式

factorise

因数分解する

root / solution

解

quadratic formula

解の公式

discriminant

判別式

例題

Worked examples

例題 1Example 1

x^{2} - 5 x + 6 = 0 を解きなさい。 Solve x^{2} - 5 x + 6 = 0 .

解答 · SOLUTION

1. $たして - 5 、かけて 6 になる2数は - 2 と - 3 。 Two numbers with sum - 5 and product 6 are - 2 and - 3 .$
2. $よって (x - 2) (x - 3) = 0 。 So (x - 2) (x - 3) = 0 .$

答え · ANSWER

x = 2 または x = 3 x = 2 or x = 3

例題 2Example 2

x^{2} + 4 x + 1 = 0 を解の公式で解きなさい。 Solve x^{2} + 4 x + 1 = 0 using the formula.

解答 · SOLUTION

1. $a = 1, b = 4, c = 1 。判別式は b^{2} - 4 a c = 16 - 4 = 12 。 a = 1, b = 4, c = 1 . Discriminant b^{2} - 4 a c = 16 - 4 = 12 .$
2. $x = \frac{- 4 \pm 12}{2} = \frac{- 4 \pm 2 3}{2} 。 x = \frac{- 4 \pm 12}{2} = \frac{- 4 \pm 2 3}{2} .$

答え · ANSWER

x = - 2 \pm 3 x = - 2 \pm 3

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