AI HL Matrices 完全攻略 — 行列・固有値・Markov 連鎖

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IB Math AI HL Matrices & Linear Algebra / 2026 年版

IB Math AI HL Matrices &
Linear Algebra 完全攻略 2026

行列演算 / 行列式 / 逆行列 / Eigenvalue / Markov 連鎖の全範囲

マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL / Sayfol / Cempaka 等）に通う AI HL Math の DP 1-2 生徒と保護者のための完全ガイド。AI HL Matrices は試験全体の 約 20-25% を占める重要トピックで、経済・社会科学・データサイエンス・統計・金融・経営工学系の進路を目指す生徒には実用的な数学の土台になります。本記事では 5 大行列演算（加減・スカラー倍・積・単位/零行列・転置）、行列式（2x2 の ad − bc / 3x3 の余因子展開）、逆行列（2x2 公式 / 3x3 GDC）、連立 1 次方程式の行列解法、固有値・固有ベクトル・対角化、Markov 連鎖（遷移行列・定常状態・Regular）、Leslie matrix（人口モデル・支配固有値・安定年齢分布）まで完全網羅し、Paper 1 / Paper 2 / Paper 3 別の出題傾向と 30 日演習プランを掲載します。

Table of Contents

【目次】

AI HL Matrices シラバス全体像（7 大トピック）
行列の基本演算（加減・スカラー倍・積・単位/零・転置）
行列式（Determinant）と逆行列
連立 1 次方程式の行列解法（Ax = b → x = A⁻¹b）
固有値・固有ベクトル（Eigenvalue / Eigenvector）と対角化
Markov 連鎖（遷移行列・定常状態・Regular）
Leslie matrix（人口モデル、HL only）
Paper 1 / Paper 2 / Paper 3 別 Matrix 出題傾向 + 30 日演習プラン

Conclusion First

【結論先出し】

Matrices は AI HL の重要トピック。試験全体の 20-25% を占めます。

Grade 7 を狙うなら、次の 6 領域を 30 日で固めます。

① 行列の 5 大演算
② 行列式と逆行列
③ 連立方程式の行列解法
④ 固有値・固有ベクトル
⑤ Markov 連鎖の定常状態
⑥ Leslie matrix の支配固有値

AI HL は全 Paper で電卓（GDC）が使えます。計算の速さより、現実問題への応用解釈が点を分けます。たとえば Markov 連鎖を立てて定常状態を読む、Leslie matrix で長期の成長率を予測する、といった力です。

AI HL Matrices Syllabus Overview

【① AI HL Matrices シラバス全体像（7 大トピック）】

AI HL Matrices は 「行列演算 / 行列式・逆行列 / 連立方程式 / 固有値・対角化 / Markov 連鎖 / Leslie matrix / ネットワーク・グラフ理論」の 7 大トピックで構成されます。HL では SL に含まれない範囲（固有値・固有ベクトル・対角化・Leslie matrix・3x3 行列の本格的扱い）が追加されます。

① 行列演算（Matrix Operations）

加減・スカラー倍・積・単位/零・転置

2x2 / 3x3 行列の加減乗（積の非可換性 AB ≠ BA）、単位行列 I、零行列 O、転置 A^T。Paper 1 の基礎点。

② 行列式・逆行列（Determinant / Inverse）

2x2 の ad − bc / 3x3 の余因子展開

2x2 公式 |A| = ad − bc、3x3 の余因子展開、逆行列 A⁻¹ = (1/|A|) adj(A)。|A| = 0 のとき特異行列で逆行列なし。

③ 連立 1 次方程式（Linear Systems）

Ax = b → x = A⁻¹b / Cramer's rule

行列形式での連立方程式解法。一意解（|A| ≠ 0）、無数解（|A| = 0 で両立）、解なし（|A| = 0 で矛盾）の 3 ケース判別。

④ 固有値・固有ベクトル（HL only）

特性方程式 |A − λI| = 0 / 対角化

Av = λv を満たす λ と v。特性方程式で λ を求め、(A − λI)v = 0 で v を求める。対角化 A = PDP⁻¹ で A^n の閉形式。

⑤ Markov 連鎖（Markov Chain）

遷移行列 P（行の和 = 1）、n ステップ予測 s_n = s_0 · P^n、定常状態 πP = π、Regular Markov Chain の収束。天気・顧客選好・交通・伝染病・株価などの現実モデル化で頻出。

⑥ Leslie Matrix（人口モデル、HL only）+ ⑦ グラフ理論

Leslie matrix：年齢階級別の出生率・生存率から構築する人口モデル。支配固有値 λ_1 が長期成長率、対応固有ベクトル v_1 が安定年齢分布。グラフ理論：隣接行列、経路数（A^n の (i, j) 成分 = i から j への n ステップ経路数）。

※ 固有値・固有ベクトル + 対角化 + Leslie matrix + 3x3 の本格扱い = HL のみの追加範囲（SL では 2x2 基本のみ）

【② 行列の基本演算（5 種類）】

AI HL Matrices の出発点は 5 大行列演算です。特に行列積の非可換性（AB ≠ BA）と『A の列数 = B の行数』のサイズ規則が Paper 1 の最頻出ポイント。

行列の加法・減法（Matrix Addition / Subtraction）

公式

A + B の (i, j) 成分 = a_ij + b_ij（同サイズのみ）

例

[[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]]

対応する成分同士を足すだけ。サイズが同じ（m×n と m×n）でないと定義されない。可換（A + B = B + A）かつ結合的（(A+B)+C = A+(B+C)）。Paper 1 で基礎点として頻出。

スカラー倍（Scalar Multiplication）

公式

kA の (i, j) 成分 = k · a_ij

例

3 · [[1,2],[3,4]] = [[3,6],[9,12]]

実数 k を各成分に掛ける。k(A + B) = kA + kB、(k + m)A = kA + mA などの分配法則が成立。Markov 連鎖の確率正規化（行の和 = 1）でも頻出。

行列積（Matrix Multiplication）— 最重要

公式

AB の (i, j) 成分 = Σ_k a_ik · b_kj（A の行 × B の列）

例

[[1,2],[3,4]] · [[5,6],[7,8]] = [[19,22],[43,50]]

『A の i 行』と『B の j 列』の内積を取って AB の (i, j) 成分を計算。サイズ規則：A が m×n、B が n×p なら AB は m×p（A の列数 = B の行数が必須）。非可換（AB ≠ BA が一般的）。Paper 1 で最頻出、計算ミスが命取り。

単位行列と零行列（Identity / Zero Matrix）

公式

I_n の対角成分 = 1、それ以外 = 0、O_n は全成分 0

例

I_2 = [[1,0],[0,1]]、O_2 = [[0,0],[0,0]]

AI = IA = A（単位行列は積に対する単位元）、A + O = A（零行列は和に対する単位元）。逆行列の定義（AA⁻¹ = I）や対角化（A = PDP⁻¹）で必須の概念。

転置行列（Transpose）

公式

A^T の (i, j) 成分 = A の (j, i) 成分

例

[[1,2,3],[4,5,6]]^T = [[1,4],[2,5],[3,6]]

行と列を入れ替える操作。(AB)^T = B^T · A^T（順序逆転）、(A^T)^T = A。対称行列（A = A^T）は固有値が必ず実数になる性質を持ち、Eigenvalue 問題で重要。

行列積の「行 × 列」ルール：AB の (i, j) 成分を計算するには『A の i 行ベクトル』と『B の j 列ベクトル』を並べて、対応成分を掛けて足す（内積）。視覚的に『A の行を横に置き、B の列を縦に置き、合わせる』とイメージするとミスが減る。2x2 では 4 成分、3x3 では 9 成分の計算が必要なため、Paper 1 で時間配分を意識。

→ AI 行列積の「行 × 列」ルール（Shorts）

AB の成分計算を 60 秒で

Determinant and Inverse Matrix

【③ 行列式（Determinant）と逆行列】

行列式 |A| は『行列 A による線形変換のスケール係数（面積・体積の倍率）』を意味し、逆行列の存在判定、連立方程式の解の個数、固有値計算の出発点になります。

2x2 行列式（Determinant of 2x2 Matrix）

公式

A = [[a,b],[c,d]] → |A| = ad − bc

例

A = [[3,1],[2,4]] → |A| = 3·4 − 1·2 = 12 − 2 = 10

AI HL Matrices の基礎中の基礎。Paper 1 で必ず最初に問われる。|A| = 0 のとき逆行列が存在しない（特異行列）。|A| > 0 は向き保存、|A| < 0 は向き反転の線形変換を意味する。

3x3 行列式（余因子展開・Cofactor Expansion）

公式

|A| = a_11·M_11 − a_12·M_12 + a_13·M_13（第 1 行展開）

例

[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]] の |A| = 1(5·10−6·8) − 2(4·10−6·7) + 3(4·8−5·7) = 1(2) − 2(−2) + 3(−3) = 2 + 4 − 9 = −3

M_ij は『a_ij を含む行と列を除いた 2x2 行列の行列式（小行列式・minor）』、符号 (−1)^(i+j) を掛けると余因子（cofactor）。第 1 行で展開するのが標準だが、0 が多い行・列で展開すると計算が楽。Paper 1 で頻出、丁寧な符号管理が必須。

2x2 逆行列（Inverse Matrix of 2x2）

公式

A = [[a,b],[c,d]]、|A| ≠ 0 → A⁻¹ = (1/|A|) · [[d,−b],[−c,a]]

例

A = [[3,1],[2,4]] → |A| = 10 → A⁻¹ = (1/10)[[4,−1],[−2,3]] = [[0.4,−0.1],[−0.2,0.3]]

『対角成分を入れ替え、非対角成分の符号を反転、行列式で割る』。Paper 1 No GDC の必須テクニック。検算は A·A⁻¹ = I を確認。AI HL では分数の保持が重要で、近似値で答えると減点される。

3x3 逆行列（余因子行列を使う）

公式

A⁻¹ = (1/|A|) · adj(A)、adj(A) = 余因子行列の転置

例

GDC（TI-Nspire の matA^(-1)）で 1 秒で計算可能

3x3 逆行列を手計算するのは Paper 1 で時間がかかりすぎるため、AI HL では Paper 2 / Paper 3 の GDC 使用問題として出題されることが多い。手計算する場合は『9 個の余因子を計算 → 転置 → 行列式で割る』の手順。

連立 1 次方程式の行列解法（Matrix Form）

公式

連立方程式 Ax = b → x = A⁻¹b（|A| ≠ 0 のとき）

例

{3x + y = 7, 2x + 4y = 8} → [[3,1],[2,4]][x,y]^T = [7,8]^T → [x,y] = (1/10)[[4,−1],[−2,3]][7,8] = [2,1]

連立方程式を行列の形に書き直して解く強力な技法。Cramer's rule（x_i = |A_i|/|A|、A_i は A の第 i 列を b に置き換えた行列）も AI HL Paper 1 / Paper 3 で出題範囲。GDC では solve や rref（reduced row echelon form）で一発。

|A| = 0 のとき何が起きるか（特異行列）

逆行列 A⁻¹ が存在しない（1/|A| が定義できない）
連立方程式 Ax = b が一意解を持たない（解なし or 無数解のどちらか）
線形変換が次元を潰す（2D → 1D や 0D、3D → 2D・1D・0D に圧縮）
行列の行（または列）が線形従属（ある行が他の行の線形結合で表せる）
固有値 0 が存在する（特性方程式に λ = 0 が解として含まれる）

AI HL Paper 1 で『|A| = 0 となる k の値を求めよ』が頻出パターン。3x3 でも余因子展開を丁寧に行えば解ける。

2x2 逆行列の覚え方：「対角入れ替え、非対角符号反転、行列式で割る」。A = [[a,b],[c,d]] → A⁻¹ = (1/(ad−bc))[[d,−b],[−c,a]]。Paper 1 で 5 秒で書けるようになるまで反復。検算は A·A⁻¹ = I を確認すれば 100% 正解判定。

Linear Systems via Matrices

【④ 連立 1 次方程式の行列解法】

連立 1 次方程式を行列形式 Ax = b で表し、A⁻¹b（または Cramer's rule）で解く技法は AI HL の核心応用の 1 つです。GDC では rref（reduced row echelon form）や solve コマンドで瞬時に解けます。

Ax = b の解法 3 ステップ

行列形式に変換：{3x + y = 7, 2x + 4y = 8} → [[3,1],[2,4]] · [x,y]^T = [7,8]^T
係数行列の行列式を確認：|A| = 10 ≠ 0 → 一意解が存在
逆行列を掛ける：[x,y]^T = A⁻¹ · b = (1/10)[[4,−1],[−2,3]] · [7,8]^T = [2,1]^T → x = 2, y = 1

Cramer's Rule（n 変数連立方程式）

x_i = |A_i| / |A|（A_i は A の第 i 列を b で置き換えた行列）

例：上の連立方程式で A = [[3,1],[2,4]]、A_1 = [[7,1],[8,4]]、A_2 = [[3,7],[2,8]]。|A| = 10、|A_1| = 28−8 = 20、|A_2| = 24−14 = 10。x = |A_1|/|A| = 2、y = |A_2|/|A| = 1。AI HL Paper 1 / Paper 3 で 3 変数の連立方程式に Cramer's rule を適用する問題が出題される。

解の 3 ケース判別：行列式と列空間で分かれます。

①|A| ≠ 0 → 一意解 x = A⁻¹b
②|A| = 0 かつ b が A の列空間に含まれる → 無数解
③|A| = 0 かつ b が含まれない → 解なし

GDC の rref で拡大係数行列 [A | b] を計算すると、3 ケースが視覚的に判別できます。Paper 3 では『k の値による解の個数を場合分けせよ』が頻出です。

Eigenvalues and Eigenvectors

【⑤ 固有値・固有ベクトル（Eigenvalue / Eigenvector）】

固有値・固有ベクトルは AI HL Matrices の 最重要概念。Markov 連鎖の定常状態、Leslie matrix の長期成長率、対角化による A^n の高速計算の全てがここに帰着します。

固有値・固有ベクトルの定義（Eigenvalue / Eigenvector）

公式

Av = λv（v ≠ 0、λ はスカラー）

例

A = [[2,1],[1,2]], v = [1,1]^T のとき Av = [3,3]^T = 3·[1,1]^T → λ = 3, v = [1,1]^T

行列 A を掛けても方向が変わらず、スカラー倍 λ だけされるベクトル v が固有ベクトル、その倍率 λ が固有値。線形代数の中核概念で、Markov 連鎖の定常状態（λ = 1 の固有ベクトル）や Leslie matrix の長期成長率（最大固有値）の計算で使う。

特性方程式（Characteristic Equation）

公式

|A − λI| = 0（n×n 行列なら λ の n 次方程式）

例

A = [[2,1],[1,2]] → |[[2−λ,1],[1,2−λ]]| = (2−λ)² − 1 = λ² − 4λ + 3 = 0 → λ = 1, 3

固有値を求める方程式。2x2 行列なら 2 次方程式、3x3 行列なら 3 次方程式（カルダノの公式 or GDC で解く）。AI HL では実固有値の問題に限定され、複素固有値は範囲外。Paper 1 で 2x2 の特性方程式は必須技法。

固有ベクトルの計算（連立 1 次方程式に帰着）

公式

(A − λI)v = 0 を解く（自由パラメータ 1 個残る）

例

上の例で λ = 1 のとき [[1,1],[1,1]]v = 0 → v_1 + v_2 = 0 → v = t[1,−1]^T（t ∈ R, t ≠ 0）

固有値ごとに連立方程式 (A − λI)v = 0 を解く。解は無数あるが、方向は一意に決まる。慣例として最小整数比 or 単位ベクトル化して答える。Paper 1 / Paper 3 で『固有ベクトルを求めよ』が頻出。

対角化（Diagonalization）と高次べき乗

公式

A = PDP⁻¹（P は固有ベクトル列、D は固有値対角行列）→ A^n = PD^nP⁻¹

例

A = [[2,1],[1,2]] → P = [[1,1],[1,−1]], D = [[3,0],[0,1]] → A^10 = P·[[3^10,0],[0,1]]·P⁻¹

Markov 連鎖の長期挙動 P^∞ を解析的に求める強力な技法。GDC で A^100 を直接計算するより、対角化を使う方が理論的洞察を与える。Paper 3 で『A^n の閉形式を導け』が出題される。

固有値・固有ベクトルの求め方 4 ステップ

特性方程式を立てる：|A − λI| = 0
λ の方程式を解く：2x2 なら 2 次方程式、3x3 なら 3 次方程式
各固有値 λ について (A − λI)v = 0 を解く（自由パラメータ 1 個残る連立方程式）
固有ベクトルを最小整数比 or 単位ベクトルで表す

対角化 A = PDP⁻¹ の威力：A^n を直接計算するのは大変だが、A = PDP⁻¹（D は対角行列）に分解すると A^n = PD^nP⁻¹ で計算量が激減。D^n は対角成分を n 乗するだけ（D = [[λ_1,0],[0,λ_2]] → D^n = [[λ_1^n,0],[0,λ_2^n]]）。Markov 連鎖の長期挙動 P^∞ や Leslie matrix の数世代後の人口を解析的に求める強力な道具。Paper 3 で『A^n の閉形式を導け』が出題される。

Markov Chains

【⑥ Markov 連鎖（Markov Chain）】

Markov 連鎖は AI HL の 最頻出応用。Paper 2 / Paper 3 で必ず 1 問は出題されると言って良いほどの中核領域。

遷移行列（Transition Matrix）の構造

公式

P の (i, j) 成分 = 状態 i から状態 j への遷移確率（行の和 = 1）

例

天気の遷移：P = [[0.7, 0.3], [0.4, 0.6]]（晴れ→晴れ 0.7、晴れ→雨 0.3、雨→晴れ 0.4、雨→雨 0.6）

確率行列（stochastic matrix）。各行の成分は非負で和が 1。Markov 性『次状態は現在状態のみに依存（過去履歴は無関係）』が核心仮定。

n ステップ後の状態予測

公式

状態ベクトル s_n = s_0 · P^n（行ベクトル表記）または s_n = P^n · s_0（列ベクトル表記）

例

晴れスタート s_0 = [1, 0] のとき s_3 = [1, 0] · P^3 で 3 日後の晴れ・雨確率

遷移行列の n 乗で n ステップ後の確率分布が分かる。GDC（TI-Nspire の matA^n）で瞬時に計算可能。Paper 2 / Paper 3 で『5 日後の確率を求めよ』が頻出。

定常状態（Steady State / Equilibrium）

公式

πP = π（左固有ベクトル）+ Σπ_i = 1（正規化）

例

P = [[0.7, 0.3], [0.4, 0.6]] の定常状態は π = [4/7, 3/7]（57% 晴れ、43% 雨）

時間が経っても変化しない確率分布。固有値 1 に対応する固有ベクトルを求め、和を 1 に正規化する。長期的な平均挙動を予測する Markov 連鎖の最重要概念。

Regular Markov Chain と収束定理

公式

P^n の全成分が正になる n が存在 → 任意の初期状態から定常状態に収束

例

上の天気の例：P^2 の全成分が正 → Regular → 初期状態が何であれ最終的に [4/7, 3/7] に収束

Regular Markov Chain は定常状態への収束が保証される。AI HL で出題される Markov 連鎖はほぼ全て Regular。Paper 3 では『Regular であることを示せ』『収束する根拠を述べよ』が問われる。

定常状態を求める 3 つの方法

方法 1：πP = π を連立方程式として解く（手計算、Paper 1 推奨）。(P^T − I)π^T = 0 + 和 = 1 を組合せる。
方法 2：P を高い n 乗する（GDC で P^50 や P^100 を計算、各行が定常状態に収束）。Paper 2 で素早く確認したいときに便利。
方法 3：固有値 1 に対する固有ベクトルを求める（理論的な美しさ）。eigVc(P^T) で GDC で一発。

→ AI Markov 連鎖（天気モデル）の本質（Shorts）

遷移行列・n ステップ予測・定常状態を 90 秒で

Markov 性の本質：『次の状態は現在の状態のみに依存し、過去の履歴とは独立』。これは強い仮定で、現実問題では完璧には成立しないことが多いが、第 1 近似として極めて有用。IA で Markov 連鎖を使う場合『Markov 性の仮定の妥当性』を必ず検証する記述を入れると Critical Analysis 点が上がる。

Leslie Matrix

【⑦ Leslie Matrix（人口モデル、HL only）】

Leslie matrix は『年齢階級別の人口動態をモデル化する行列』で、人口統計学・保護生物学・水産資源管理・保険数理の基礎です。AI HL の HL only 範囲で、Paper 3 で頻出。

Leslie Matrix の構造（年齢階級モデル）

公式

3 階級なら L = [[f_1, f_2, f_3], [s_1, 0, 0], [0, s_2, 0]]（f は出生率、s は生存率）

例

L = [[0, 2, 1], [0.5, 0, 0], [0, 0.6, 0]]（中年が最も多く出産、若年→中年 50%、中年→老年 60%）

第 1 行：各階級が次の時点で新生児を産む数（出生率）。対角下成分：その階級が次階級へ生き残る割合（生存率）。AI HL シラバスの代表的 Linear Algebra 応用。

次世代人口の予測

公式

n_(t+1) = L · n_t（n_t は時点 t の各階級の人口ベクトル）

例

n_0 = [100, 50, 30]^T → n_1 = L · n_0 = [130, 50, 30]^T（次世代の各階級）

Leslie matrix で 1 世代ごとに人口を更新。t 世代後は n_t = L^t · n_0 で、GDC で行列のべき乗を計算すれば即座に予測可能。

支配固有値（Dominant Eigenvalue）= 長期成長率

公式

L の最大固有値 λ_1 が長期成長率を与える

例

上の L の固有値を計算 → λ_1 ≈ 1.08（毎世代 8% 成長）、λ_1 = 1 なら定常、λ_1 < 1 なら絶滅へ

Perron-Frobenius の定理：Leslie matrix のように非負成分行列は『最大絶対値の実固有値（dominant eigenvalue）』を 1 つ持ち、それが長期挙動を支配する。これが Leslie matrix の最重要結果。

安定年齢分布（Stable Age Distribution）

公式

λ_1 に対応する固有ベクトル v_1 が安定年齢分布を示す

例

上の例で v_1 ≈ [0.6, 0.3, 0.1] → 長期的に若年 60%、中年 30%、老年 10% の比率に収束

初期人口分布が何であれ、十分時間が経つと v_1 の比率に収束する。人口統計学・保護生物学・水産資源管理での意思決定に直接使われる実用的概念。

支配固有値 λ_1 の意味（Perron-Frobenius の定理）

λ_1 > 1：人口は指数的に増加（毎世代 (λ_1 − 1) × 100% の成長率）
λ_1 = 1：人口は安定（定常状態に到達）
λ_1 < 1：人口は指数的に減少（絶滅へ向かう）
λ_1 に対応する固有ベクトル v_1：安定年齢分布（長期的な各階級の比率）

これらは『Perron-Frobenius の定理』として知られる線形代数の重要結果で、Leslie matrix のような非負成分行列に常に適用できる。

現実問題への応用：マレーシアの人口統計（高齢化予測）、絶滅危惧種（スマトラサイ・マレーバク・テングザル）の保護政策、水産養殖（虎エビ・羅非魚）の最適収穫年齢、害虫駆除のタイミング決定、医療保険の年齢別保険料設計など、AI HL IA のテーマとしても最有力。

Paper Focus and 30-Day Plan

【⑧ Paper 別 Matrix 出題傾向 + 30 日演習プラン】

AI HL の 3 つの Paper はそれぞれ性格が異なり、Matrix の出題内容と戦略も変わります。AI HL は 全 Paper で GDC が使えるのが特徴で、AA HL より計算負荷は低くなりますが、応用解釈と現実問題への翻訳力が問われます。

Paper 1（GDC OK）

120 分 / 110 点GDC 使用可（AI HL は全 Paper で GDC OK）

Matrix 出題

2x2 行列の演算（積・行列式・逆行列）、連立方程式の行列解法、簡単な Markov 連鎖の 1-2 ステップ計算、固有値・固有ベクトルの基本問題

戦略

Section A（短答 9-10 問）で 2x2 行列の基本演算を確実に。Section B（長文 3-4 問）で Markov 連鎖 or Leslie matrix の応用問題が頻出。GDC で計算を高速化しつつ、途中式を必ず書いて Method Mark を確保。

Paper 2（GDC OK）

120 分 / 110 点GDC 使用可

Matrix 出題

Markov 連鎖の n ステップ予測（GDC で P^n 計算）、定常状態の計算、3x3 行列の連立方程式、Leslie matrix の数世代後の人口予測、現実データへの応用

戦略

計算は GDC に任せ、問題設定の読解と式の立て方に集中。TI-Nspire CX II の matrix template + eigVl/eigVc の操作スピードが点数に直結。データから遷移行列を立てるステップで時間をかける。

Paper 3（GDC + Problem-Solving）

60 分 / 55 点GDC 使用可

Matrix 出題

Matrices 単独の長文問題が 1 問丸ごと出題されることが多い（Markov 連鎖の現実モデル + 長期予測 / Leslie matrix の固有値解析 / 対角化と A^n の閉形式）

戦略

60 分で 2 問は 1 問 30 分の配分。Part a, b（行列の構築・基本計算）は基礎で確実に取り、Part c, d（定常状態の解釈・長期予測・モデルの限界）で勝負を分ける。現実への解釈を言葉で書ける訓練が必須。

Matrices の出題比率（過去 5 年データ）

AI HL では Matrices が試験全体の 約 20-25% を占めます。Paper 1 で約 20-25 点（110 点中）、Paper 2 で約 25-30 点、Paper 3 で約 15-25 点（55 点中、1 問丸ごと Matrix のことも多い）。合計 60-80 点が Matrix 由来 = 275 点満点中 22-29%。Matrices で 75-80% 取れれば、それだけで Grade 6 が見える計算。残りは Statistics（25%）、Calculus（20%）、Number & Algebra（15%）、Geometry & Trig（15%）で構成されます。

30 日過去問演習プラン（試験 1-2 ヶ月前に実行）

Week 1（Day 1-7）

行列演算の基礎徹底 + 行列式・逆行列

2x2 / 3x3 行列の加減・スカラー倍・積を 30 問演習（毎日 5 問）
行列積の非可換性 AB ≠ BA を 10 問で体感
2x2 行列式・逆行列の即答訓練（毎日 10 問）
3x3 行列式（余因子展開）10 問
連立 1 次方程式の行列解法 + Cramer's rule 10 問
Day 7：Paper 1 の Matrix 関連短答 1 セット（時間計測）

Week 2（Day 8-14）

固有値・固有ベクトル + 対角化

2x2 行列の特性方程式 |A − λI| = 0 を解く 20 問
固有ベクトルの計算（連立方程式に帰着）15 問
対角化 A = PDP⁻¹ の手順を 10 問
A^n の高次べき乗を対角化で計算 8 問
3x3 行列の固有値（GDC 使用）10 問
Day 14：Paper 1 + Paper 2 1 セットずつ（時間計測）

Week 3（Day 15-21）

Markov 連鎖 + 定常状態の集中演習

遷移行列の構築（言語問題 → 行列）15 問
n ステップ後の状態予測 + 確率計算 15 問
定常状態を πP = π から求める 15 問
Regular Markov Chain の判定 + 収束の証明 10 問
現実シナリオの Markov 連鎖モデル 10 問（天気・顧客選好・交通・伝染病）
Day 21：Paper 3 1 セット（60 分計測）

Week 4（Day 22-30）

Leslie matrix + Paper 3 形式 + 総合演習

Leslie matrix の構築（年齢階級・出生率・生存率データから）10 問
支配固有値による長期成長率の計算 10 問
安定年齢分布（固有ベクトル）の計算 10 問
Paper 3 の Matrix 単独問題 6 セット（過去 3 年 May + November）
Day 27-29：Paper 1 + Paper 2 + Paper 3 通し模試 1 セット
Day 30：間違えた問題のみ解き直し + 弱点リスト作成

過去問の入手先：IBO 公式の Past Papers は学校経由で配布されるのが正規ルート。マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL / Sayfol 等）では Math Department が在校生に提供します。塾経由の入手や非公式の過去問サイトは Copyright 違反のリスクがあるため避ける。南数塾では学校から正規入手した過去問の解答解説 + 採点フィードバックを提供しています。

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AB の成分計算を 60 秒で

AI Markov 連鎖（天気モデル）の本質

遷移行列・n ステップ予測・定常状態を 90 秒で

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Math AI HL で Markov 連鎖が活きる経済学部進路

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AI / 機械学習 / データサイエンスへの線形代数の土台

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✓5 大行列演算（加減・スカラー倍・積・単位/零・転置）の個別演習
✓2x2 / 3x3 行列式・逆行列の即答訓練（毎週 20 問）
✓連立 1 次方程式の行列解法 + Cramer's rule の演習
✓固有値・固有ベクトル + 対角化 A = PDP⁻¹ の解法指導
✓Markov 連鎖の定常状態の 3 解法（手計算 / べき乗 / 固有ベクトル）
✓Leslie matrix と支配固有値による長期成長率の予測
✓TI-Nspire CX II の matrix template + eigVl/eigVc の操作習熟
✓Paper 3 の Matrix 単独問題 30 回演習
✓IA で Markov 連鎖 or Leslie matrix を使う高得点テーマの選定 + 執筆指導
✓月次保護者三者面談で進捗 + 大学出願戦略（経済・データサイエンス系）の共有

※ 本記事は 2026 年 5 月時点の IB Diploma Programme 公式シラバス（First Exam 2021、AI HL）と公開情報を基に整理しています。出題比率や公式の表現は IB Math AI Subject Guide に準拠していますが、最終的な確認は IB Official Formula Booklet と各校の Math Department に行ってください。Grade Boundary や難易度は May / November Session で変動するため、IB Official Statistical Bulletin で必ず確認してください。

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AI HL Matrices 完全攻略 — 行列・固有値・Markov 連鎖

ホーム›ブログ›IB Math AI HL Matrices 完全攻略

IB Math AI HL Matrices & Linear Algebra / 2026 年版

IB Math AI HL Matrices &
Linear Algebra 完全攻略 2026

行列演算 / 行列式 / 逆行列 / Eigenvalue / Markov 連鎖の全範囲

Table of Contents

【目次】

AI HL Matrices シラバス全体像（7 大トピック）
行列の基本演算（加減・スカラー倍・積・単位/零・転置）
行列式（Determinant）と逆行列
連立 1 次方程式の行列解法（Ax = b → x = A⁻¹b）
固有値・固有ベクトル（Eigenvalue / Eigenvector）と対角化
Markov 連鎖（遷移行列・定常状態・Regular）
Leslie matrix（人口モデル、HL only）
Paper 1 / Paper 2 / Paper 3 別 Matrix 出題傾向 + 30 日演習プラン

Conclusion First

【結論先出し】

Matrices は AI HL の重要トピック。試験全体の 20-25% を占めます。

Grade 7 を狙うなら、次の 6 領域を 30 日で固めます。

① 行列の 5 大演算
② 行列式と逆行列
③ 連立方程式の行列解法
④ 固有値・固有ベクトル
⑤ Markov 連鎖の定常状態
⑥ Leslie matrix の支配固有値

AI HL Matrices Syllabus Overview

【① AI HL Matrices シラバス全体像（7 大トピック）】

① 行列演算（Matrix Operations）

加減・スカラー倍・積・単位/零・転置

2x2 / 3x3 行列の加減乗（積の非可換性 AB ≠ BA）、単位行列 I、零行列 O、転置 A^T。Paper 1 の基礎点。

② 行列式・逆行列（Determinant / Inverse）

2x2 の ad − bc / 3x3 の余因子展開

2x2 公式 |A| = ad − bc、3x3 の余因子展開、逆行列 A⁻¹ = (1/|A|) adj(A)。|A| = 0 のとき特異行列で逆行列なし。

③ 連立 1 次方程式（Linear Systems）

Ax = b → x = A⁻¹b / Cramer's rule

行列形式での連立方程式解法。一意解（|A| ≠ 0）、無数解（|A| = 0 で両立）、解なし（|A| = 0 で矛盾）の 3 ケース判別。

④ 固有値・固有ベクトル（HL only）

特性方程式 |A − λI| = 0 / 対角化

Av = λv を満たす λ と v。特性方程式で λ を求め、(A − λI)v = 0 で v を求める。対角化 A = PDP⁻¹ で A^n の閉形式。

⑤ Markov 連鎖（Markov Chain）

⑥ Leslie Matrix（人口モデル、HL only）+ ⑦ グラフ理論

※ 固有値・固有ベクトル + 対角化 + Leslie matrix + 3x3 の本格扱い = HL のみの追加範囲（SL では 2x2 基本のみ）

【② 行列の基本演算（5 種類）】

AI HL Matrices の出発点は 5 大行列演算です。特に行列積の非可換性（AB ≠ BA）と『A の列数 = B の行数』のサイズ規則が Paper 1 の最頻出ポイント。

行列の加法・減法（Matrix Addition / Subtraction）

公式

A + B の (i, j) 成分 = a_ij + b_ij（同サイズのみ）

例

[[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]]

スカラー倍（Scalar Multiplication）

公式

kA の (i, j) 成分 = k · a_ij

例

3 · [[1,2],[3,4]] = [[3,6],[9,12]]

実数 k を各成分に掛ける。k(A + B) = kA + kB、(k + m)A = kA + mA などの分配法則が成立。Markov 連鎖の確率正規化（行の和 = 1）でも頻出。

行列積（Matrix Multiplication）— 最重要

公式

AB の (i, j) 成分 = Σ_k a_ik · b_kj（A の行 × B の列）

例

[[1,2],[3,4]] · [[5,6],[7,8]] = [[19,22],[43,50]]

単位行列と零行列（Identity / Zero Matrix）

公式

I_n の対角成分 = 1、それ以外 = 0、O_n は全成分 0

例

I_2 = [[1,0],[0,1]]、O_2 = [[0,0],[0,0]]

AI = IA = A（単位行列は積に対する単位元）、A + O = A（零行列は和に対する単位元）。逆行列の定義（AA⁻¹ = I）や対角化（A = PDP⁻¹）で必須の概念。

転置行列（Transpose）

公式

A^T の (i, j) 成分 = A の (j, i) 成分

例

[[1,2,3],[4,5,6]]^T = [[1,4],[2,5],[3,6]]

行と列を入れ替える操作。(AB)^T = B^T · A^T（順序逆転）、(A^T)^T = A。対称行列（A = A^T）は固有値が必ず実数になる性質を持ち、Eigenvalue 問題で重要。

→ AI 行列積の「行 × 列」ルール（Shorts）

AB の成分計算を 60 秒で

Determinant and Inverse Matrix

【③ 行列式（Determinant）と逆行列】

2x2 行列式（Determinant of 2x2 Matrix）

公式

A = [[a,b],[c,d]] → |A| = ad − bc

例

A = [[3,1],[2,4]] → |A| = 3·4 − 1·2 = 12 − 2 = 10

3x3 行列式（余因子展開・Cofactor Expansion）

公式

|A| = a_11·M_11 − a_12·M_12 + a_13·M_13（第 1 行展開）

例

[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]] の |A| = 1(5·10−6·8) − 2(4·10−6·7) + 3(4·8−5·7) = 1(2) − 2(−2) + 3(−3) = 2 + 4 − 9 = −3

2x2 逆行列（Inverse Matrix of 2x2）

公式

A = [[a,b],[c,d]]、|A| ≠ 0 → A⁻¹ = (1/|A|) · [[d,−b],[−c,a]]

例

A = [[3,1],[2,4]] → |A| = 10 → A⁻¹ = (1/10)[[4,−1],[−2,3]] = [[0.4,−0.1],[−0.2,0.3]]

3x3 逆行列（余因子行列を使う）

公式

A⁻¹ = (1/|A|) · adj(A)、adj(A) = 余因子行列の転置

例

GDC（TI-Nspire の matA^(-1)）で 1 秒で計算可能

連立 1 次方程式の行列解法（Matrix Form）

公式

連立方程式 Ax = b → x = A⁻¹b（|A| ≠ 0 のとき）

例

{3x + y = 7, 2x + 4y = 8} → [[3,1],[2,4]][x,y]^T = [7,8]^T → [x,y] = (1/10)[[4,−1],[−2,3]][7,8] = [2,1]

|A| = 0 のとき何が起きるか（特異行列）

逆行列 A⁻¹ が存在しない（1/|A| が定義できない）
連立方程式 Ax = b が一意解を持たない（解なし or 無数解のどちらか）
線形変換が次元を潰す（2D → 1D や 0D、3D → 2D・1D・0D に圧縮）
行列の行（または列）が線形従属（ある行が他の行の線形結合で表せる）
固有値 0 が存在する（特性方程式に λ = 0 が解として含まれる）

AI HL Paper 1 で『|A| = 0 となる k の値を求めよ』が頻出パターン。3x3 でも余因子展開を丁寧に行えば解ける。

Linear Systems via Matrices

【④ 連立 1 次方程式の行列解法】

Ax = b の解法 3 ステップ

行列形式に変換：{3x + y = 7, 2x + 4y = 8} → [[3,1],[2,4]] · [x,y]^T = [7,8]^T
係数行列の行列式を確認：|A| = 10 ≠ 0 → 一意解が存在
逆行列を掛ける：[x,y]^T = A⁻¹ · b = (1/10)[[4,−1],[−2,3]] · [7,8]^T = [2,1]^T → x = 2, y = 1

Cramer's Rule（n 変数連立方程式）

x_i = |A_i| / |A|（A_i は A の第 i 列を b で置き換えた行列）

解の 3 ケース判別：行列式と列空間で分かれます。

①|A| ≠ 0 → 一意解 x = A⁻¹b
②|A| = 0 かつ b が A の列空間に含まれる → 無数解
③|A| = 0 かつ b が含まれない → 解なし

GDC の rref で拡大係数行列 [A | b] を計算すると、3 ケースが視覚的に判別できます。Paper 3 では『k の値による解の個数を場合分けせよ』が頻出です。

Eigenvalues and Eigenvectors

【⑤ 固有値・固有ベクトル（Eigenvalue / Eigenvector）】

固有値・固有ベクトルの定義（Eigenvalue / Eigenvector）

公式

Av = λv（v ≠ 0、λ はスカラー）

例

A = [[2,1],[1,2]], v = [1,1]^T のとき Av = [3,3]^T = 3·[1,1]^T → λ = 3, v = [1,1]^T

特性方程式（Characteristic Equation）

公式

|A − λI| = 0（n×n 行列なら λ の n 次方程式）

例

A = [[2,1],[1,2]] → |[[2−λ,1],[1,2−λ]]| = (2−λ)² − 1 = λ² − 4λ + 3 = 0 → λ = 1, 3

固有ベクトルの計算（連立 1 次方程式に帰着）

公式

(A − λI)v = 0 を解く（自由パラメータ 1 個残る）

例

上の例で λ = 1 のとき [[1,1],[1,1]]v = 0 → v_1 + v_2 = 0 → v = t[1,−1]^T（t ∈ R, t ≠ 0）

対角化（Diagonalization）と高次べき乗

公式

A = PDP⁻¹（P は固有ベクトル列、D は固有値対角行列）→ A^n = PD^nP⁻¹

例

A = [[2,1],[1,2]] → P = [[1,1],[1,−1]], D = [[3,0],[0,1]] → A^10 = P·[[3^10,0],[0,1]]·P⁻¹

固有値・固有ベクトルの求め方 4 ステップ

特性方程式を立てる：|A − λI| = 0
λ の方程式を解く：2x2 なら 2 次方程式、3x3 なら 3 次方程式
各固有値 λ について (A − λI)v = 0 を解く（自由パラメータ 1 個残る連立方程式）
固有ベクトルを最小整数比 or 単位ベクトルで表す

Markov Chains

【⑥ Markov 連鎖（Markov Chain）】

Markov 連鎖は AI HL の 最頻出応用。Paper 2 / Paper 3 で必ず 1 問は出題されると言って良いほどの中核領域。

遷移行列（Transition Matrix）の構造

公式

P の (i, j) 成分 = 状態 i から状態 j への遷移確率（行の和 = 1）

例

天気の遷移：P = [[0.7, 0.3], [0.4, 0.6]]（晴れ→晴れ 0.7、晴れ→雨 0.3、雨→晴れ 0.4、雨→雨 0.6）

確率行列（stochastic matrix）。各行の成分は非負で和が 1。Markov 性『次状態は現在状態のみに依存（過去履歴は無関係）』が核心仮定。

n ステップ後の状態予測

公式

状態ベクトル s_n = s_0 · P^n（行ベクトル表記）または s_n = P^n · s_0（列ベクトル表記）

例

晴れスタート s_0 = [1, 0] のとき s_3 = [1, 0] · P^3 で 3 日後の晴れ・雨確率

遷移行列の n 乗で n ステップ後の確率分布が分かる。GDC（TI-Nspire の matA^n）で瞬時に計算可能。Paper 2 / Paper 3 で『5 日後の確率を求めよ』が頻出。

定常状態（Steady State / Equilibrium）

公式

πP = π（左固有ベクトル）+ Σπ_i = 1（正規化）

例

P = [[0.7, 0.3], [0.4, 0.6]] の定常状態は π = [4/7, 3/7]（57% 晴れ、43% 雨）

Regular Markov Chain と収束定理

公式

P^n の全成分が正になる n が存在 → 任意の初期状態から定常状態に収束

例

上の天気の例：P^2 の全成分が正 → Regular → 初期状態が何であれ最終的に [4/7, 3/7] に収束

定常状態を求める 3 つの方法

方法 1：πP = π を連立方程式として解く（手計算、Paper 1 推奨）。(P^T − I)π^T = 0 + 和 = 1 を組合せる。
方法 2：P を高い n 乗する（GDC で P^50 や P^100 を計算、各行が定常状態に収束）。Paper 2 で素早く確認したいときに便利。
方法 3：固有値 1 に対する固有ベクトルを求める（理論的な美しさ）。eigVc(P^T) で GDC で一発。

→ AI Markov 連鎖（天気モデル）の本質（Shorts）

遷移行列・n ステップ予測・定常状態を 90 秒で

Leslie Matrix

【⑦ Leslie Matrix（人口モデル、HL only）】

Leslie Matrix の構造（年齢階級モデル）

公式

3 階級なら L = [[f_1, f_2, f_3], [s_1, 0, 0], [0, s_2, 0]]（f は出生率、s は生存率）

例

L = [[0, 2, 1], [0.5, 0, 0], [0, 0.6, 0]]（中年が最も多く出産、若年→中年 50%、中年→老年 60%）

次世代人口の予測

公式

n_(t+1) = L · n_t（n_t は時点 t の各階級の人口ベクトル）

例

n_0 = [100, 50, 30]^T → n_1 = L · n_0 = [130, 50, 30]^T（次世代の各階級）

Leslie matrix で 1 世代ごとに人口を更新。t 世代後は n_t = L^t · n_0 で、GDC で行列のべき乗を計算すれば即座に予測可能。

支配固有値（Dominant Eigenvalue）= 長期成長率

公式

L の最大固有値 λ_1 が長期成長率を与える

例

上の L の固有値を計算 → λ_1 ≈ 1.08（毎世代 8% 成長）、λ_1 = 1 なら定常、λ_1 < 1 なら絶滅へ

安定年齢分布（Stable Age Distribution）

公式

λ_1 に対応する固有ベクトル v_1 が安定年齢分布を示す

例

上の例で v_1 ≈ [0.6, 0.3, 0.1] → 長期的に若年 60%、中年 30%、老年 10% の比率に収束

支配固有値 λ_1 の意味（Perron-Frobenius の定理）

λ_1 > 1：人口は指数的に増加（毎世代 (λ_1 − 1) × 100% の成長率）
λ_1 = 1：人口は安定（定常状態に到達）
λ_1 < 1：人口は指数的に減少（絶滅へ向かう）
λ_1 に対応する固有ベクトル v_1：安定年齢分布（長期的な各階級の比率）

これらは『Perron-Frobenius の定理』として知られる線形代数の重要結果で、Leslie matrix のような非負成分行列に常に適用できる。

Paper Focus and 30-Day Plan

【⑧ Paper 別 Matrix 出題傾向 + 30 日演習プラン】

Paper 1（GDC OK）

120 分 / 110 点GDC 使用可（AI HL は全 Paper で GDC OK）

Matrix 出題

2x2 行列の演算（積・行列式・逆行列）、連立方程式の行列解法、簡単な Markov 連鎖の 1-2 ステップ計算、固有値・固有ベクトルの基本問題

戦略

Paper 2（GDC OK）

120 分 / 110 点GDC 使用可

Matrix 出題

Markov 連鎖の n ステップ予測（GDC で P^n 計算）、定常状態の計算、3x3 行列の連立方程式、Leslie matrix の数世代後の人口予測、現実データへの応用

戦略

Paper 3（GDC + Problem-Solving）

60 分 / 55 点GDC 使用可

Matrix 出題

Matrices 単独の長文問題が 1 問丸ごと出題されることが多い（Markov 連鎖の現実モデル + 長期予測 / Leslie matrix の固有値解析 / 対角化と A^n の閉形式）

戦略

Matrices の出題比率（過去 5 年データ）

30 日過去問演習プラン（試験 1-2 ヶ月前に実行）

Week 1（Day 1-7）

行列演算の基礎徹底 + 行列式・逆行列

2x2 / 3x3 行列の加減・スカラー倍・積を 30 問演習（毎日 5 問）
行列積の非可換性 AB ≠ BA を 10 問で体感
2x2 行列式・逆行列の即答訓練（毎日 10 問）
3x3 行列式（余因子展開）10 問
連立 1 次方程式の行列解法 + Cramer's rule 10 問
Day 7：Paper 1 の Matrix 関連短答 1 セット（時間計測）

Week 2（Day 8-14）

固有値・固有ベクトル + 対角化

2x2 行列の特性方程式 |A − λI| = 0 を解く 20 問
固有ベクトルの計算（連立方程式に帰着）15 問
対角化 A = PDP⁻¹ の手順を 10 問
A^n の高次べき乗を対角化で計算 8 問
3x3 行列の固有値（GDC 使用）10 問
Day 14：Paper 1 + Paper 2 1 セットずつ（時間計測）

Week 3（Day 15-21）

Markov 連鎖 + 定常状態の集中演習

遷移行列の構築（言語問題 → 行列）15 問
n ステップ後の状態予測 + 確率計算 15 問
定常状態を πP = π から求める 15 問
Regular Markov Chain の判定 + 収束の証明 10 問
現実シナリオの Markov 連鎖モデル 10 問（天気・顧客選好・交通・伝染病）
Day 21：Paper 3 1 セット（60 分計測）

Week 4（Day 22-30）

Leslie matrix + Paper 3 形式 + 総合演習

Leslie matrix の構築（年齢階級・出生率・生存率データから）10 問
支配固有値による長期成長率の計算 10 問
安定年齢分布（固有ベクトル）の計算 10 問
Paper 3 の Matrix 単独問題 6 セット（過去 3 年 May + November）
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【南数塾の AI HL Matrices 支援】

✓5 大行列演算（加減・スカラー倍・積・単位/零・転置）の個別演習
✓2x2 / 3x3 行列式・逆行列の即答訓練（毎週 20 問）
✓連立 1 次方程式の行列解法 + Cramer's rule の演習
✓固有値・固有ベクトル + 対角化 A = PDP⁻¹ の解法指導
✓Markov 連鎖の定常状態の 3 解法（手計算 / べき乗 / 固有ベクトル）
✓Leslie matrix と支配固有値による長期成長率の予測
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AI HL Matrices 完全攻略 — 行列・固有値・Markov 連鎖

IB Math AI HL Matrices & Linear Algebra 完全攻略 2026

【目次】

【結論先出し】

【① AI HL Matrices シラバス全体像（7 大トピック）】

① 行列演算（Matrix Operations）

② 行列式・逆行列（Determinant / Inverse）

③ 連立 1 次方程式（Linear Systems）

④ 固有値・固有ベクトル（HL only）

⑤ Markov 連鎖（Markov Chain）

⑥ Leslie Matrix（人口モデル、HL only）+ ⑦ グラフ理論

関連内部記事

【② 行列の基本演算（5 種類）】

行列の加法・減法（Matrix Addition / Subtraction）

スカラー倍（Scalar Multiplication）

行列積（Matrix Multiplication）— 最重要

単位行列と零行列（Identity / Zero Matrix）

転置行列（Transpose）

【③ 行列式（Determinant）と逆行列】

2x2 行列式（Determinant of 2x2 Matrix）

3x3 行列式（余因子展開・Cofactor Expansion）

2x2 逆行列（Inverse Matrix of 2x2）

3x3 逆行列（余因子行列を使う）

連立 1 次方程式の行列解法（Matrix Form）

|A| = 0 のとき何が起きるか（特異行列）

【④ 連立 1 次方程式の行列解法】

Ax = b の解法 3 ステップ

Cramer's Rule（n 変数連立方程式）

【⑤ 固有値・固有ベクトル（Eigenvalue / Eigenvector）】

固有値・固有ベクトルの定義（Eigenvalue / Eigenvector）

特性方程式（Characteristic Equation）

固有ベクトルの計算（連立 1 次方程式に帰着）

対角化（Diagonalization）と高次べき乗

固有値・固有ベクトルの求め方 4 ステップ

【⑥ Markov 連鎖（Markov Chain）】

遷移行列（Transition Matrix）の構造

n ステップ後の状態予測

定常状態（Steady State / Equilibrium）

Regular Markov Chain と収束定理

定常状態を求める 3 つの方法

【⑦ Leslie Matrix（人口モデル、HL only）】

Leslie Matrix の構造（年齢階級モデル）

次世代人口の予測

支配固有値（Dominant Eigenvalue）= 長期成長率

安定年齢分布（Stable Age Distribution）

支配固有値 λ_1 の意味（Perron-Frobenius の定理）

【⑧ Paper 別 Matrix 出題傾向 + 30 日演習プラン】

Paper 1（GDC OK）

Paper 2（GDC OK）

Paper 3（GDC + Problem-Solving）

Matrices の出題比率（過去 5 年データ）

30 日 過去問演習プラン（試験 1-2 ヶ月前に実行）

Week 1（Day 1-7）

Week 2（Day 8-14）

Week 3（Day 15-21）

Week 4（Day 22-30）

【関連 Shorts（30-90 秒で復習）】

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AI HL Matrices 完全攻略 — 行列・固有値・Markov 連鎖

IB Math AI HL Matrices & Linear Algebra 完全攻略 2026

【目次】

【結論先出し】

【① AI HL Matrices シラバス全体像（7 大トピック）】

① 行列演算（Matrix Operations）

② 行列式・逆行列（Determinant / Inverse）

③ 連立 1 次方程式（Linear Systems）

④ 固有値・固有ベクトル（HL only）

⑤ Markov 連鎖（Markov Chain）

⑥ Leslie Matrix（人口モデル、HL only）+ ⑦ グラフ理論

関連内部記事

【② 行列の基本演算（5 種類）】

行列の加法・減法（Matrix Addition / Subtraction）

スカラー倍（Scalar Multiplication）

行列積（Matrix Multiplication）— 最重要

単位行列と零行列（Identity / Zero Matrix）

転置行列（Transpose）

【③ 行列式（Determinant）と逆行列】

2x2 行列式（Determinant of 2x2 Matrix）

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