AA HL Vectors & 3D Geometry 完全攻略

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IB Math AA HL Vectors / 2026 年版

IB Math AA HL Vectors &
3D Geometry 完全攻略 2026

ベクトル基本・内積外積・直線 / 平面・3D 距離の全範囲

マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL / Sayfol / Cempaka / Nexus / Fairview / Sri KDU 等）で AA HL を取っている DP 1-2 生徒と保護者のための徹底ガイド。2D / 3D ベクトル基本演算、Dot Product（内積）、Cross Product（外積、HL only）、直線のパラメータ表示 r = a + tb と Cartesian 方程式、平面の方程式 r・n = d、3D 距離計算（点と直線・点と平面・捩れの位置にある 2 直線の最短距離）まで、AA HL Vectors の全範囲を 8 章に分けて完全網羅。Grade 7 を狙うための公式暗記法と 30 日演習プランも掲載します。

Table of Contents

【目次】

AA HL Vectors シラバス全体像
ベクトル基本演算（和差・スカラー倍・単位ベクトル）
内積（Dot Product）— 垂直条件・角度・射影
外積（Cross Product、HL only）— 行列式形・面積・法線
直線の方程式（パラメータ表示・Cartesian・2 直線の関係）
平面の方程式（法線形・3 点通る平面・直線との交点）
3D 距離計算（点と直線・点と平面・捩れの 2 直線）
過去問演習プラン 30 日

Conclusion First

【結論先出し】

Vectors は 4 ブロックで構成されます。全 Paper で 15-20% の配点です。

内積／外積／直線・平面の方程式／3D 距離の 4 つです。Grade 7 に必要な演習量の目安は、公式暗記 + 過去問 30 問 + Mock 試験 3 回。

特に注意したいのが、外積（Cross Product）と「捩れの位置にある 2 直線の最短距離」の公式です。AA HL だけの範囲で、しかも公式集に載らないため、確実に暗記しておく必要があります。この記事では公式集・演習プラン・IA テーマ例まで網羅します。

AA HL Vectors Syllabus Overview

【① AA HL Vectors シラバス全体像】

IB Math AA HL の Geometry & Trigonometry セクションには Vectors が含まれ、SL と比較して大幅に拡張されています。AA SL では 2D Vectors と Dot Product の基礎のみ、AA HL では 3D 拡張 + Cross Product + 直線 / 平面の方程式 + 3D 距離計算が追加されます。

トピック	レベル	内容
2D / 3D Vectors（ベクトル基本）	AA SL + AA HL	成分表示・大きさ・単位ベクトル・和差・スカラー倍。AA HL では位置ベクトルと相対ベクトルの区別、3D 拡張が中心。
Dot Product（内積）	AA SL + AA HL	a・b = \|a\|\|b\|cosθ。垂直条件（a・b = 0）、角度計算、射影（projection）。AA SL は 2D 中心、AA HL は 3D に拡張。
Cross Product（外積）	AA HL only	a × b の行列式形定義、右手の法則、\|a × b\| = 平行四辺形面積、a × b が a, b に垂直という性質。
Vector Equation of Line（直線の方程式）	AA HL only	r = a + tb のパラメータ表示と Cartesian 形 (x-a1)/b1 = (y-a2)/b2 = (z-a3)/b3 の相互変換。
2 直線の関係（平行 / 交差 / 捩れ）	AA HL only	Skew Lines の判定、交点が存在する条件、最短距離公式 d = \|(a2-a1)・(b1×b2)\| / \|b1×b2\|。
Vector Equation of Plane（平面の方程式）	AA HL only	r・n = d（法線形）、3 点を通る平面、平面と直線 / 平面と平面の交点・交線・整合性。
3D Distance Problems（3D 距離計算）	AA HL only	点と平面、点と直線、2 直線（捩れの位置）の最短距離。Cross Product / Dot Product を駆使した複合問題。

注目ポイント：Cross Product / 直線・平面の方程式 / 3D 距離は全て AA HL only。AA SL 受験者は Dot Product の 2D 中心のみで、AA HL に上がると Vectors の負荷が一気に増えます。逆に AI HL では Voronoi Diagram / Graph Theory の方が中心で、Vector の扱いは限定的です。

【② ベクトル基本演算】

Vectors の全ての応用は『成分表示・和差・スカラー倍・大きさ・単位ベクトル』の基本演算から始まります。Paper 1 では電卓不可なので、これらを手で素早く正確に計算する力が必須。

位置ベクトルと相対ベクトル

点 A の位置ベクトル OA は原点 O から A までのベクトル。2 点 A, B の相対ベクトル AB = OB - OA。Paper 1 の頻出パターンは『3 点を結ぶ三角形の重心 G = (A + B + C) / 3』の証明問題。

単位ベクトル

大きさ 1 のベクトル。任意のベクトル a の単位ベクトル â = a / |a|。方向を保ったまま大きさを 1 に正規化する操作で、直線の方程式や法線の正規化に頻繁に使われる。

成分表示（3D）

3 次元ベクトル a = (a₁, a₂, a₃) または a = a₁i + a₂j + a₃k（i, j, k は単位ベクトル）。AA HL では 3D が標準。

ベクトルの大きさ

|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)。3D Pythagoras Theorem の応用。Paper 1 で根号を保持する練習が必要。

基本演算の典型例

和差：a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)、a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, a₃ - b₃)
スカラー倍：k a = (k a₁, k a₂, k a₃)。k > 0 で同方向、k < 0 で逆方向。
大きさ：|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
単位ベクトル：â = a / |a|（方向はそのまま大きさが 1）
2 点間距離：|AB| = √((b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + (b₃ - a₃)²)

Dot Product: Perpendicularity, Angle, Projection

【③ 内積（Dot Product）】

Dot Product は 「ベクトル間の角度を測る道具」。AA SL でも扱われますが、AA HL では 3D に拡張され、垂直条件 / 角度計算 / 射影の 3 用途で頻出します。

Dot Product 公式集

内積の幾何定義

a・b = |a| |b| cos θ

ベクトル間の角度 θ を計算するときの基本式。a・b > 0 で鋭角、< 0 で鈍角、= 0 で垂直。

内積の成分計算（3D）

a・b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

成分が与えられたときの実用的な計算式。Paper 1 / 2 で最頻出の形。

角度の計算

cos θ = (a・b) / (|a| |b|)

幾何定義を θ について解いた形。Paper 1 では分数・根号のまま保持。

垂直条件

a ⊥ b ⇔ a・b = 0

ベクトルが垂直かを判定する最重要条件。Paper 1 / 2 / 3 の全 Paper で頻出。

射影（projection）

proj_b(a) = ((a・b) / |b|²) b

ベクトル a を b 方向に射影した成分。スカラー射影は (a・b) / |b|。

Dot Product の 3 大用途

垂直判定：a・b = 0 ならベクトルは垂直。Paper 1 で『k を求めよ、ただし a と b は垂直』のような問題が頻出。
角度計算：cos θ = (a・b) / (|a||b|)。3 ベクトル間の角度や三角形の角度を求める問題が頻出。
射影（projection）：proj_b(a) = ((a・b) / |b|²) b。応用問題で『a を b と b に垂直な成分に分解せよ』のような問題で使う。

典型例題（Paper 1 / No GDC）

a = (2, -1, 3), b = (1, k, 2) が垂直のとき、k の値を求めよ。

解：a・b = 0 より 2(1) + (-1)(k) + 3(2) = 0、つまり 2 - k + 6 = 0、よって k = 8。Method Mark を確実に取るため『a・b = 2 - k + 6』の展開を必ず書く。

Cross Product: HL-Only Topic

【④ 外積（Cross Product、HL only）】

Cross Product は AA HL only の核心トピック。「2 ベクトルから新しいベクトルを作る」操作で、平面の法線 / 平行四辺形の面積 / 平行判定の 3 用途で必須です。

Cross Product 公式集

外積の行列式形

a × b = | i j k / a₁ a₂ a₃ / b₁ b₂ b₃ |

成分計算の基本。Sarrus 法 / Cofactor 展開で計算する。AA HL only。

外積の展開形

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂)i - (a₁b₃ - a₃b₁)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k

行列式を展開した最終形。j 成分のマイナス符号に注意。

外積の大きさ

|a × b| = |a| |b| sin θ

平行四辺形 OAOB の面積。三角形 OAB の面積はこの半分。

平行条件

a ∥ b ⇔ a × b = 0

ベクトルが平行かを判定する条件。2 直線の関係判定で必須。

外積の性質

a × b = -(b × a), a × a = 0

順序逆転で符号反転、同じベクトル同士は 0。Paper 1 で頻出のミス防止。

右手の法則

人差し指 a、中指 b、親指が a × b の方向。i × j = k のサイクル（i → j → k → i で正、逆回りで負）を体に染み込ませる。

行列式形での計算

| i j k / a₁ a₂ a₃ / b₁ b₂ b₃ | を Sarrus 法 / Cofactor 展開で計算。Paper 1 では手計算速度が点数を左右する。

面積の解釈

|a × b| = 平行四辺形 OAOB の面積、三角形 OAB の面積はこの半分（½|a × b|）。3 次元での三角形面積計算で頻出。

法線ベクトルとしての利用

a × b は a, b 両方に垂直。3 点を通る平面の方程式を立てる際、n = AB × AC で法線を求めるのが定石。

頻出ミス警告：行列式の展開で『j 成分のみマイナス符号』を忘れるミスが最も多い。a × b = (a₂b₃ - a₃b₂)i - (a₁b₃ - a₃b₁)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k。マイナスの位置を絶対に間違えないこと。Method Mark を 1-2 点失うのはここが多い。

典型例題（Paper 2 / With GDC 可）

3 点 A(1, 0, 2), B(2, 1, 0), C(3, -1, 1) を頂点とする三角形 ABC の面積を求めよ。

解：AB = (1, 1, -2), AC = (2, -1, -1)。AB × AC = ((1)(-1) - (-2)(-1), -((1)(-1) - (-2)(2)), (1)(-1) - (1)(2)) = (-1 - 2, -(-1 + 4), -1 - 2) = (-3, -3, -3)。|AB × AC| = √(9 + 9 + 9) = 3√3。三角形面積 = ½ × 3√3 = (3√3) / 2。

Vector Equation of Lines

【⑤ 直線の方程式】

3D 空間の直線は パラメータ表示 r = a + tb または Cartesian 形（対称形） で表されます。2 直線の関係（平行 / 交差 / 捩れ）の判定は Paper 2 / 3 の典型問題。

直線の方程式公式集

パラメータ表示

r = a + t b

a は直線上の 1 点の位置ベクトル、b は方向ベクトル、t ∈ ℝ。最も汎用的な表現。

Cartesian 形（対称形）

(x - a₁) / b₁ = (y - a₂) / b₂ = (z - a₃) / b₃

パラメータ t を消去した形。方向ベクトル成分が 0 のときは z = a₃ 等と書き換える。

2 点 A, B を通る直線

r = A + t (B - A)

B - A が方向ベクトル。t = 0 で A、t = 1 で B を通る。

2 直線が平行

b₁ × b₂ = 0

方向ベクトル同士が平行なら 2 直線は平行（または同一直線）。

2 直線の最短距離（捩れの位置）

d = |(a₂ - a₁) ・ (b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|

捩れの位置にある 2 直線の最短距離。公式集には載らないため暗記必須。

2 直線の関係を判定する 3 ステップ

Step 1：方向ベクトルが平行か — b₁ × b₂ = 0 なら平行。さらに点 a₁ が L₂ 上にあるか確認、上にあれば同一直線、なければ平行（離れている）。
Step 2：平行でなければ連立方程式を解く — a₁ + tb₁ = a₂ + sb₂ から 3 つの式を立て、t と s について解く（2 つの未知数 + 3 つの方程式の過剰決定系）。
Step 3：解の存在で判定 — 整合的な解が存在すれば交差、存在しなければ捩れの位置（Skew Lines）。捩れの場合は最短距離公式 d = |(a₂ - a₁)・(b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂| を使う。

典型例題（Paper 2）

直線 L₁: r = (1, 0, 1) + t(2, 1, 1), L₂: r = (2, 1, 0) + s(1, -1, 2) の関係を判定せよ。捩れの位置にあれば最短距離を求めよ。

解：b₁ × b₂ = ((1)(2) - (1)(-1), -((2)(2) - (1)(1)), (2)(-1) - (1)(1)) = (3, -3, -3) ≠ 0 なので平行ではない。連立を試みると 1 + 2t = 2 + s, t = 1 - s, 1 + t = 2s。第 2 式から s = 1 - t、第 3 式に代入 1 + t = 2(1 - t) = 2 - 2t、3t = 1、t = 1/3、s = 2/3。第 1 式チェック：1 + 2/3 = 5/3、2 + 2/3 = 8/3。一致しないため捩れの位置。最短距離 d = |(2-1, 1-0, 0-1)・(3, -3, -3)| / |（3, -3, -3）| = |(1)(3) + (1)(-3) + (-1)(-3)| / √27 = |3| / 3√3 = 1/√3 = √3 / 3。

Vector Equation of Planes

【⑥ 平面の方程式】

3D 空間の平面は 法線ベクトル形 r・n = d が標準。3 点を通る平面の方程式は Cross Product を使って法線を求めるのが定石です。

平面の方程式公式集

法線ベクトル形（スカラー方程式）

r ・ n = d

n は平面の法線ベクトル、d は原点からの符号付き距離 × |n|。平面の最も汎用的な表現。

Cartesian 形

n₁ x + n₂ y + n₃ z = d

n = (n₁, n₂, n₃) の成分で表記。Paper 1 / 2 で最頻出。

3 点 A, B, C を通る平面

n = AB × AC, r ・ n = A ・ n

Cross Product で法線を求め、点 A を代入して d を決定。AA HL 典型問題。

ベクトル方程式（パラメータ形）

r = a + s b + t c

a は平面上の 1 点、b, c は平面上の 2 つの独立ベクトル、s, t ∈ ℝ。

点と平面の距離

d = |a ・ n - d| / |n|

点 a と平面 r・n = d の最短距離。法線方向への射影距離。

法線ベクトルの意味

平面に垂直なベクトル n。平面の方程式 r・n = d で『平面上の任意の点 r と n の内積が定数 d』という性質。d = a・n（a は平面上の 1 点）で計算。

3 点を通る平面の手順

3 点 A, B, C から AB と AC を計算 → n = AB × AC で法線 → d = A・n で d 決定 → r・n = d で完成。AA HL Vectors の最頻出パターン。

平面と直線の交点

直線 r = a + tb を平面 r・n = d に代入：(a + tb)・n = d → t = (d - a・n) / (b・n)。b・n = 0 なら直線が平面に平行で解なしまたは無数。

2 平面の交線

2 平面 r・n₁ = d₁ と r・n₂ = d₂ の交線。方向ベクトルは n₁ × n₂、通る点は連立方程式（例えば z = 0 と仮定して x, y を解く）で求める。

典型例題（Paper 2）

3 点 A(1, 0, 2), B(2, 1, 0), C(0, 1, 3) を通る平面の方程式を Cartesian 形で求めよ。

解：AB = (1, 1, -2), AC = (-1, 1, 1)。n = AB × AC = ((1)(1) - (-2)(1), -((1)(1) - (-2)(-1)), (1)(1) - (1)(-1)) = (3, -(-1), 2) = (3, 1, 2)。d = A・n = (1)(3) + (0)(1) + (2)(2) = 7。よって平面：3x + y + 2z = 7。

3D Distance Problems

【⑦ 3D 距離計算】

3D 距離計算は Paper 2 / 3 の頻出テーマ。点と直線・点と平面・捩れの 2 直線の 3 種の公式を確実に暗記する必要があります。

点 P と直線 L: r = A + tb の距離

公式

d = |AP × b| / |b|

手順

① 点 P と直線上の点 A から AP を求める ② AP × b の Cross Product を計算 ③ |AP × b| を |b| で割る。

例題

点 P(1, 2, 3) と直線 r = (0, 0, 0) + t(1, 1, 1) の距離。AP = (1, 2, 3), AP × b = ((2)(1) - (3)(1), -((1)(1) - (3)(1)), (1)(1) - (2)(1)) = (-1, 2, -1), |AP × b| = √6, |b| = √3。d = √6 / √3 = √2。

点 P と平面 Π: n₁ x + n₂ y + n₃ z = D の距離

公式

d = |n₁ p₁ + n₂ p₂ + n₃ p₃ - D| / √(n₁² + n₂² + n₃²)

手順

① 点 P の座標を平面方程式の左辺に代入 ② D を引いて絶対値を取る ③ 法線ベクトルの大きさで割る。

例題

点 P(1, 2, 3) と平面 2x - y + 2z = 5 の距離。代入：2(1) - 2 + 2(3) = 6, |6 - 5| = 1, |n| = √(4+1+4) = 3。d = 1/3。

捩れの位置にある 2 直線の最短距離

公式

d = |(a₂ - a₁) ・ (b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|

手順

① 2 直線の点 a₁, a₂ と方向 b₁, b₂ を整理 ② Cross Product b₁ × b₂ を計算 ③ (a₂ - a₁)・(b₁ × b₂) の Triple Scalar Product を取る ④ |b₁ × b₂| で割って絶対値。

例題

L₁: r = (1, 0, 0) + t(1, 0, 0), L₂: r = (0, 1, 1) + s(0, 1, 0)。b₁ × b₂ = (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1), a₂ - a₁ = (-1, 1, 1), (a₂-a₁)・(b₁×b₂) = 1。|b₁×b₂| = 1。d = 1。

暗記の優先順位：点と平面の距離公式が最も頻出（Paper 1 / 2 で各 1 問）、捩れの位置の最短距離公式は Paper 2 / 3 で出題。点と直線の距離は Paper 2 で出題されることが多いです。3 公式とも公式集には載らないため、自分で導出できる状態 + 暗記が両立した状態を目指しましょう。

30-Day Practice Plan

【⑧ 過去問演習プラン 30 日】

AA HL Vectors を 30 日で網羅する標準プラン。DP 2 年目の Mock 試験前、または DP 1 年目の長期休暇（夏休み 6-8 月、年末 12-1 月）に集中して取り組むのが推奨。

期間	フォーカス	タスク
Day 1-3	ベクトル基本	成分表示・大きさ・単位ベクトル・和差・スカラー倍。AA SL 範囲の復習。
Day 4-6	Dot Product 基礎	幾何定義・成分計算・角度・垂直条件・射影。Paper 1 過去問 10 問。
Day 7-9	Cross Product 基礎	行列式形定義・右手の法則・大きさ = 面積。Paper 1 過去問 8 問。
Day 10-12	直線のパラメータ化	r = a + tb / Cartesian 形相互変換。2 点を通る直線。Paper 1 過去問 6 問。
Day 13-15	2 直線の関係判定	平行 / 交差 / 捩れの判定。最短距離公式。Paper 2 過去問 5 問。
Day 16-18	平面の方程式	法線形・3 点を通る平面・Cartesian 形。Paper 2 過去問 6 問。
Day 19-21	平面と直線の交点	代入法・解の存在条件。Paper 2 過去問 5 問。
Day 22-24	3D 距離計算	点と直線・点と平面・捩れの位置の 3 種。Paper 3 過去問 3 問。
Day 25-27	総合演習	Cross Product + 平面 + 距離の連鎖問題。Paper 3 過去問 3 問の解き直し。
Day 28-30	Mock 試験 + 弱点補強	Paper 1 + Paper 2 の Vectors セクションをまとめて時間計測。誤答ノートで弱点を確認。

推奨教材

Pearson IB Math AA HL（公式 Textbook）：Chapter 11-13 の Vectors セクションを全演習問題完答
Haese Mathematics for the IB Diploma: Analysis and Approaches HL：Vectors の章末問題 100 問
Oxford IB Diploma Math AA HL Course Companion：Modelling Problem セットで Paper 3 対策
IB Past Papers May 2021-2025：Paper 1 / 2 / 3 の Vectors セクション全 10 セット
Revision Village（オンライン教材）：トピック別問題集と動画解説

Mock 試験のチェックリスト

Paper 1 で Vectors セクションに 25-30 分を割く（全体 120 分の約 20%）
Cross Product の行列式展開を 30 秒で計算できる速度を確保
『2 直線の関係判定』を 5 分以内で完答（平行 / 交差 / 捩れの 3 通り判別）
『3 点を通る平面の方程式』を Cross Product 経由で 4 分以内
『点と平面の距離』『捩れの 2 直線の最短距離』の公式を即座に書ける

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✓3 点を通る平面の方程式を Cross Product 経由で完答
✓点と平面・点と直線・捩れの 2 直線の 3 種距離公式を完全暗記
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AA HL Vectors & 3D Geometry 完全攻略

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IB Math AA HL Vectors / 2026 年版

IB Math AA HL Vectors &
3D Geometry 完全攻略 2026

ベクトル基本・内積外積・直線 / 平面・3D 距離の全範囲

Table of Contents

【目次】

AA HL Vectors シラバス全体像
ベクトル基本演算（和差・スカラー倍・単位ベクトル）
内積（Dot Product）— 垂直条件・角度・射影
外積（Cross Product、HL only）— 行列式形・面積・法線
直線の方程式（パラメータ表示・Cartesian・2 直線の関係）
平面の方程式（法線形・3 点通る平面・直線との交点）
3D 距離計算（点と直線・点と平面・捩れの 2 直線）
過去問演習プラン 30 日

Conclusion First

【結論先出し】

Vectors は 4 ブロックで構成されます。全 Paper で 15-20% の配点です。

内積／外積／直線・平面の方程式／3D 距離の 4 つです。Grade 7 に必要な演習量の目安は、公式暗記 + 過去問 30 問 + Mock 試験 3 回。

AA HL Vectors Syllabus Overview

【① AA HL Vectors シラバス全体像】

トピック	レベル	内容
2D / 3D Vectors（ベクトル基本）	AA SL + AA HL	成分表示・大きさ・単位ベクトル・和差・スカラー倍。AA HL では位置ベクトルと相対ベクトルの区別、3D 拡張が中心。
Dot Product（内積）	AA SL + AA HL	a・b = \|a\|\|b\|cosθ。垂直条件（a・b = 0）、角度計算、射影（projection）。AA SL は 2D 中心、AA HL は 3D に拡張。
Cross Product（外積）	AA HL only	a × b の行列式形定義、右手の法則、\|a × b\| = 平行四辺形面積、a × b が a, b に垂直という性質。
Vector Equation of Line（直線の方程式）	AA HL only	r = a + tb のパラメータ表示と Cartesian 形 (x-a1)/b1 = (y-a2)/b2 = (z-a3)/b3 の相互変換。
2 直線の関係（平行 / 交差 / 捩れ）	AA HL only	Skew Lines の判定、交点が存在する条件、最短距離公式 d = \|(a2-a1)・(b1×b2)\| / \|b1×b2\|。
Vector Equation of Plane（平面の方程式）	AA HL only	r・n = d（法線形）、3 点を通る平面、平面と直線 / 平面と平面の交点・交線・整合性。
3D Distance Problems（3D 距離計算）	AA HL only	点と平面、点と直線、2 直線（捩れの位置）の最短距離。Cross Product / Dot Product を駆使した複合問題。

【② ベクトル基本演算】

位置ベクトルと相対ベクトル

単位ベクトル

成分表示（3D）

3 次元ベクトル a = (a₁, a₂, a₃) または a = a₁i + a₂j + a₃k（i, j, k は単位ベクトル）。AA HL では 3D が標準。

ベクトルの大きさ

|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)。3D Pythagoras Theorem の応用。Paper 1 で根号を保持する練習が必要。

基本演算の典型例

和差：a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)、a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, a₃ - b₃)
スカラー倍：k a = (k a₁, k a₂, k a₃)。k > 0 で同方向、k < 0 で逆方向。
大きさ：|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
単位ベクトル：â = a / |a|（方向はそのまま大きさが 1）
2 点間距離：|AB| = √((b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + (b₃ - a₃)²)

Dot Product: Perpendicularity, Angle, Projection

【③ 内積（Dot Product）】

Dot Product 公式集

内積の幾何定義

a・b = |a| |b| cos θ

ベクトル間の角度 θ を計算するときの基本式。a・b > 0 で鋭角、< 0 で鈍角、= 0 で垂直。

内積の成分計算（3D）

a・b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

成分が与えられたときの実用的な計算式。Paper 1 / 2 で最頻出の形。

角度の計算

cos θ = (a・b) / (|a| |b|)

幾何定義を θ について解いた形。Paper 1 では分数・根号のまま保持。

垂直条件

a ⊥ b ⇔ a・b = 0

ベクトルが垂直かを判定する最重要条件。Paper 1 / 2 / 3 の全 Paper で頻出。

射影（projection）

proj_b(a) = ((a・b) / |b|²) b

ベクトル a を b 方向に射影した成分。スカラー射影は (a・b) / |b|。

Dot Product の 3 大用途

垂直判定：a・b = 0 ならベクトルは垂直。Paper 1 で『k を求めよ、ただし a と b は垂直』のような問題が頻出。
角度計算：cos θ = (a・b) / (|a||b|)。3 ベクトル間の角度や三角形の角度を求める問題が頻出。
射影（projection）：proj_b(a) = ((a・b) / |b|²) b。応用問題で『a を b と b に垂直な成分に分解せよ』のような問題で使う。

典型例題（Paper 1 / No GDC）

a = (2, -1, 3), b = (1, k, 2) が垂直のとき、k の値を求めよ。

解：a・b = 0 より 2(1) + (-1)(k) + 3(2) = 0、つまり 2 - k + 6 = 0、よって k = 8。Method Mark を確実に取るため『a・b = 2 - k + 6』の展開を必ず書く。

Cross Product: HL-Only Topic

【④ 外積（Cross Product、HL only）】

Cross Product 公式集

外積の行列式形

a × b = | i j k / a₁ a₂ a₃ / b₁ b₂ b₃ |

成分計算の基本。Sarrus 法 / Cofactor 展開で計算する。AA HL only。

外積の展開形

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂)i - (a₁b₃ - a₃b₁)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k

行列式を展開した最終形。j 成分のマイナス符号に注意。

外積の大きさ

|a × b| = |a| |b| sin θ

平行四辺形 OAOB の面積。三角形 OAB の面積はこの半分。

平行条件

a ∥ b ⇔ a × b = 0

ベクトルが平行かを判定する条件。2 直線の関係判定で必須。

外積の性質

a × b = -(b × a), a × a = 0

順序逆転で符号反転、同じベクトル同士は 0。Paper 1 で頻出のミス防止。

右手の法則

人差し指 a、中指 b、親指が a × b の方向。i × j = k のサイクル（i → j → k → i で正、逆回りで負）を体に染み込ませる。

行列式形での計算

| i j k / a₁ a₂ a₃ / b₁ b₂ b₃ | を Sarrus 法 / Cofactor 展開で計算。Paper 1 では手計算速度が点数を左右する。

面積の解釈

|a × b| = 平行四辺形 OAOB の面積、三角形 OAB の面積はこの半分（½|a × b|）。3 次元での三角形面積計算で頻出。

法線ベクトルとしての利用

a × b は a, b 両方に垂直。3 点を通る平面の方程式を立てる際、n = AB × AC で法線を求めるのが定石。

典型例題（Paper 2 / With GDC 可）

3 点 A(1, 0, 2), B(2, 1, 0), C(3, -1, 1) を頂点とする三角形 ABC の面積を求めよ。

Vector Equation of Lines

【⑤ 直線の方程式】

直線の方程式公式集

パラメータ表示

r = a + t b

a は直線上の 1 点の位置ベクトル、b は方向ベクトル、t ∈ ℝ。最も汎用的な表現。

Cartesian 形（対称形）

(x - a₁) / b₁ = (y - a₂) / b₂ = (z - a₃) / b₃

パラメータ t を消去した形。方向ベクトル成分が 0 のときは z = a₃ 等と書き換える。

2 点 A, B を通る直線

r = A + t (B - A)

B - A が方向ベクトル。t = 0 で A、t = 1 で B を通る。

2 直線が平行

b₁ × b₂ = 0

方向ベクトル同士が平行なら 2 直線は平行（または同一直線）。

2 直線の最短距離（捩れの位置）

d = |(a₂ - a₁) ・ (b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|

捩れの位置にある 2 直線の最短距離。公式集には載らないため暗記必須。

2 直線の関係を判定する 3 ステップ

Step 1：方向ベクトルが平行か — b₁ × b₂ = 0 なら平行。さらに点 a₁ が L₂ 上にあるか確認、上にあれば同一直線、なければ平行（離れている）。
Step 2：平行でなければ連立方程式を解く — a₁ + tb₁ = a₂ + sb₂ から 3 つの式を立て、t と s について解く（2 つの未知数 + 3 つの方程式の過剰決定系）。
Step 3：解の存在で判定 — 整合的な解が存在すれば交差、存在しなければ捩れの位置（Skew Lines）。捩れの場合は最短距離公式 d = |(a₂ - a₁)・(b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂| を使う。

典型例題（Paper 2）

直線 L₁: r = (1, 0, 1) + t(2, 1, 1), L₂: r = (2, 1, 0) + s(1, -1, 2) の関係を判定せよ。捩れの位置にあれば最短距離を求めよ。

Vector Equation of Planes

【⑥ 平面の方程式】

3D 空間の平面は 法線ベクトル形 r・n = d が標準。3 点を通る平面の方程式は Cross Product を使って法線を求めるのが定石です。

平面の方程式公式集

法線ベクトル形（スカラー方程式）

r ・ n = d

n は平面の法線ベクトル、d は原点からの符号付き距離 × |n|。平面の最も汎用的な表現。

Cartesian 形

n₁ x + n₂ y + n₃ z = d

n = (n₁, n₂, n₃) の成分で表記。Paper 1 / 2 で最頻出。

3 点 A, B, C を通る平面

n = AB × AC, r ・ n = A ・ n

Cross Product で法線を求め、点 A を代入して d を決定。AA HL 典型問題。

ベクトル方程式（パラメータ形）

r = a + s b + t c

a は平面上の 1 点、b, c は平面上の 2 つの独立ベクトル、s, t ∈ ℝ。

点と平面の距離

d = |a ・ n - d| / |n|

点 a と平面 r・n = d の最短距離。法線方向への射影距離。

法線ベクトルの意味

平面に垂直なベクトル n。平面の方程式 r・n = d で『平面上の任意の点 r と n の内積が定数 d』という性質。d = a・n（a は平面上の 1 点）で計算。

3 点を通る平面の手順

3 点 A, B, C から AB と AC を計算 → n = AB × AC で法線 → d = A・n で d 決定 → r・n = d で完成。AA HL Vectors の最頻出パターン。

平面と直線の交点

直線 r = a + tb を平面 r・n = d に代入：(a + tb)・n = d → t = (d - a・n) / (b・n)。b・n = 0 なら直線が平面に平行で解なしまたは無数。

2 平面の交線

2 平面 r・n₁ = d₁ と r・n₂ = d₂ の交線。方向ベクトルは n₁ × n₂、通る点は連立方程式（例えば z = 0 と仮定して x, y を解く）で求める。

典型例題（Paper 2）

3 点 A(1, 0, 2), B(2, 1, 0), C(0, 1, 3) を通る平面の方程式を Cartesian 形で求めよ。

3D Distance Problems

【⑦ 3D 距離計算】

3D 距離計算は Paper 2 / 3 の頻出テーマ。点と直線・点と平面・捩れの 2 直線の 3 種の公式を確実に暗記する必要があります。

点 P と直線 L: r = A + tb の距離

公式

d = |AP × b| / |b|

手順

① 点 P と直線上の点 A から AP を求める ② AP × b の Cross Product を計算 ③ |AP × b| を |b| で割る。

例題

点 P と平面 Π: n₁ x + n₂ y + n₃ z = D の距離

公式

d = |n₁ p₁ + n₂ p₂ + n₃ p₃ - D| / √(n₁² + n₂² + n₃²)

手順

① 点 P の座標を平面方程式の左辺に代入 ② D を引いて絶対値を取る ③ 法線ベクトルの大きさで割る。

例題

点 P(1, 2, 3) と平面 2x - y + 2z = 5 の距離。代入：2(1) - 2 + 2(3) = 6, |6 - 5| = 1, |n| = √(4+1+4) = 3。d = 1/3。

捩れの位置にある 2 直線の最短距離

公式

d = |(a₂ - a₁) ・ (b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|

手順

例題

30-Day Practice Plan

【⑧ 過去問演習プラン 30 日】

期間	フォーカス	タスク
Day 1-3	ベクトル基本	成分表示・大きさ・単位ベクトル・和差・スカラー倍。AA SL 範囲の復習。
Day 4-6	Dot Product 基礎	幾何定義・成分計算・角度・垂直条件・射影。Paper 1 過去問 10 問。
Day 7-9	Cross Product 基礎	行列式形定義・右手の法則・大きさ = 面積。Paper 1 過去問 8 問。
Day 10-12	直線のパラメータ化	r = a + tb / Cartesian 形相互変換。2 点を通る直線。Paper 1 過去問 6 問。
Day 13-15	2 直線の関係判定	平行 / 交差 / 捩れの判定。最短距離公式。Paper 2 過去問 5 問。
Day 16-18	平面の方程式	法線形・3 点を通る平面・Cartesian 形。Paper 2 過去問 6 問。
Day 19-21	平面と直線の交点	代入法・解の存在条件。Paper 2 過去問 5 問。
Day 22-24	3D 距離計算	点と直線・点と平面・捩れの位置の 3 種。Paper 3 過去問 3 問。
Day 25-27	総合演習	Cross Product + 平面 + 距離の連鎖問題。Paper 3 過去問 3 問の解き直し。
Day 28-30	Mock 試験 + 弱点補強	Paper 1 + Paper 2 の Vectors セクションをまとめて時間計測。誤答ノートで弱点を確認。

推奨教材

Pearson IB Math AA HL（公式 Textbook）：Chapter 11-13 の Vectors セクションを全演習問題完答
Haese Mathematics for the IB Diploma: Analysis and Approaches HL：Vectors の章末問題 100 問
Oxford IB Diploma Math AA HL Course Companion：Modelling Problem セットで Paper 3 対策
IB Past Papers May 2021-2025：Paper 1 / 2 / 3 の Vectors セクション全 10 セット
Revision Village（オンライン教材）：トピック別問題集と動画解説

Mock 試験のチェックリスト

Paper 1 で Vectors セクションに 25-30 分を割く（全体 120 分の約 20%）
Cross Product の行列式展開を 30 秒で計算できる速度を確保
『2 直線の関係判定』を 5 分以内で完答（平行 / 交差 / 捩れの 3 通り判別）
『3 点を通る平面の方程式』を Cross Product 経由で 4 分以内
『点と平面の距離』『捩れの 2 直線の最短距離』の公式を即座に書ける

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AA HL Vectors & 3D Geometry 完全攻略

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【目次】

【結論先出し】

【① AA HL Vectors シラバス全体像】

関連内部記事

【② ベクトル基本演算】

位置ベクトルと相対ベクトル

単位ベクトル

成分表示（3D）

ベクトルの大きさ

基本演算の典型例

【③ 内積（Dot Product）】

Dot Product 公式集

Dot Product の 3 大用途

典型例題（Paper 1 / No GDC）

【④ 外積（Cross Product、HL only）】

Cross Product 公式集

右手の法則

行列式形での計算

面積の解釈

法線ベクトルとしての利用

典型例題（Paper 2 / With GDC 可）

【⑤ 直線の方程式】

直線の方程式 公式集

2 直線の関係を判定する 3 ステップ

典型例題（Paper 2）

【⑥ 平面の方程式】

平面の方程式 公式集

法線ベクトルの意味

3 点を通る平面の手順

平面と直線の交点

2 平面の交線

典型例題（Paper 2）

【⑦ 3D 距離計算】

点 P と直線 L: r = A + tb の距離

点 P と平面 Π: n₁ x + n₂ y + n₃ z = D の距離

捩れの位置にある 2 直線の最短距離

【⑧ 過去問演習プラン 30 日】

推奨教材

Mock 試験のチェックリスト

【関連 Shorts（30 秒で復習）】

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【南数塾の IB Math AA HL Vectors 支援】

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【結論先出し】

【① AA HL Vectors シラバス全体像】

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【⑥ 平面の方程式】

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3 点を通る平面の手順

平面と直線の交点

2 平面の交線

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【⑦ 3D 距離計算】

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直線の方程式公式集

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