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AA HL Calculus 完全攻略 — Chain Rule から Maclaurin まで

現サイトの公開情報・公開用データを2026年9月19日に照合した資料です。出典の条件を独立に保証するものではありません。入試・学費・資格・評価方法は、出願・科目選択の前に公式情報でご確認ください。

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IB Math AA HL Calculus / 2026 年版

IB Math AA HL Calculus
完全攻略 2026

Chain Rule から Maclaurin まで — 微分・積分・極限・級数の全範囲を 1 つで

マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL / Sayfol / Cempaka 等）に通う AA HL Math の DP 1-2 生徒と保護者のための完全ガイド。AA HL Calculus は試験全体の 30-35% を占める最大トピックで、Grade 7 を取れるかどうかは Calculus の習熟度で決まります。本記事では 4 大微分技法（Chain / Product / Quotient / Implicit）、5 大積分技法（基本 7 公式・部分積分 LIATE・置換積分・部分分数・定積分応用）、L'Hopital と極限、Taylor / Maclaurin 級数（収束半径含む）、Differential Equations（Separable / Integrating Factor / Euler's Method）まで完全網羅し、Paper 1 / Paper 2 / Paper 3 別の出題傾向と 30 日演習プランを掲載します。

Table of Contents

【目次】

  1. AA HL Calculus シラバス全体像（5 大トピック）
  2. 微分（Differentiation）の核 — 6 技法
  3. 積分（Integration）の核 — 5 技法
  4. 極限（Limits）と L'Hopital の Rule
  5. Taylor / Maclaurin Series（HL only）
  6. Differential Equations（HL only）
  7. Paper 1 / Paper 2 / Paper 3 別 Calculus 出題傾向
  8. 30 日 過去問演習プラン
Conclusion First

【結論先出し】

Calculus は AA HL 最大のヤマ。試験全体の 30-35% を占めます。

Grade 7 を狙うなら、次の 6 領域を 30 日で固めます。

  • ① 基本 7 積分公式の暗記
  • ② Chain Rule（合成関数の微分）
  • ③ 部分積分（LIATE）と置換積分（u-sub）
  • ④ 部分分数分解
  • ⑤ Maclaurin 級数
  • ⑥ 微分方程式

出題の役割分担はこうです。Paper 1（電卓なし）は Chain Rule と部分積分の手計算。Paper 2（電卓あり）は数値計算と最適化。Paper 3 は Calculus 単独問題（Maclaurin・微分方程式など）です。

AA HL Calculus Syllabus Overview

【① AA HL Calculus シラバス全体像（5 大トピック）】

AA HL Calculus は 「Limits / Differentiation / Integration / Differential Equations / Series」の 5 大トピックで構成されます。HL では SL に含まれない範囲（Maclaurin 級数・Differential Equations の解析解・Implicit Differentiation の応用・L'Hopital の Rule・部分分数分解による積分）が追加されます。

① Limits（極限）

連続性 + L'Hopital + Taylor 展開

lim (x→a) f(x) の定義、連続性と微分可能性、不定形（0/0、∞/∞、∞−∞、0×∞）の解法。L'Hopital の Rule と Taylor / Maclaurin 級数による近似が HL の中核。

② Differentiation（微分）

6 技法（Chain / Product / Quotient / Implicit / Log / Higher Order）

Chain Rule（合成関数）、Product / Quotient Rule、Implicit Differentiation（陰関数）、Logarithmic Differentiation（対数微分法）、Higher Order Derivatives（高階微分）。Paper 1 最頻出。

③ Integration（積分）

5 技法（基本 7 公式・部分積分・置換・部分分数・応用）

基本 7 公式（多項式・三角・指数・対数・逆三角）、部分積分（LIATE）、置換積分（u-sub）、部分分数分解、Definite Integral の面積・体積応用（回転体含む）。Paper 1-3 全てで頻出。

④ Differential Equations（HL のみ）

Separable / Integrating Factor / Euler's Method

変数分離型（dy/dx = f(x)g(y)）、1 階線形（dy/dx + P(x)y = Q(x)）の積分因子法、Euler's Method による数値解、Slope Field の可視化。Paper 2 / Paper 3 で頻出。

⑤ Taylor / Maclaurin Series（HL only）

関数を多項式級数で近似する技法。Maclaurin 級数（x = 0 周りの Taylor 展開）は e^x、sin(x)、cos(x)、ln(1+x)、(1+x)^k の 5 大公式を暗記必須。収束半径 R は Ratio Test で計算。Paper 3 で頻出。

※ Maclaurin 級数 + L'Hopital + Implicit Differentiation + Differential Equations + 部分分数分解 = HL のみの追加範囲（SL では扱わない）

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Differentiation Techniques

【② 微分（Differentiation）の核 — 6 技法】

AA HL の微分は 6 大技法に集約されます。Paper 1（No GDC）で全 6 技法の手計算が必須。Chain Rule は最頻出で、他の技法と組合せて出題されます。

Chain Rule（合成関数の微分）

公式
d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
例
d/dx[sin(x²)] = cos(x²) · 2x

「玉ねぎモデル」と呼ばれる視覚化：合成関数を玉ねぎの皮のように外から剥いていく。最外層を微分してそのまま、内側を微分して掛ける、を繰り返す。Paper 1 で最頻出。

Product Rule（積の微分）

公式
d/dx[u·v] = u'v + uv'
例
d/dx[x² · sin(x)] = 2x sin(x) + x² cos(x)

2 つの関数の積を微分する公式。3 つの積の場合は (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw' と拡張可能。Chain Rule との組合せが頻出。

Quotient Rule（商の微分）

公式
d/dx[u/v] = (u'v − uv') / v²
例
d/dx[sin(x)/x] = (x cos(x) − sin(x)) / x²

分数式の微分公式。「下下、上下マイナス上下、下下二乗」のリズムで覚える。Paper 1 で出ると計算ミス頻発、丁寧な括弧管理が必須。

Implicit Differentiation（陰関数微分）

公式
x² + y² = 1 の両辺を x で微分 → 2x + 2y(dy/dx) = 0
例
x² + y² = 1 → dy/dx = −x/y

y が x の関数として明示されていない式（陰関数）の微分。両辺を x で微分し、y を含む項に dy/dx を掛けて変形。円・楕円・双曲線の接線問題で頻出。

Logarithmic Differentiation（対数微分法）

公式
y = f(x) → ln(y) = ln(f(x)) → 両辺微分
例
y = x^x → ln(y) = x ln(x) → y'/y = ln(x) + 1 → y' = x^x (ln(x) + 1)

指数と底の両方に変数がある関数（x^x や x^(sin(x)) 等）を微分する方法。両辺の ln を取って Product Rule に帰着。AA HL Paper 1 で年 1 回程度出題。

Higher Order Derivatives（高階微分）

公式
f''(x), f'''(x), f^(n)(x)
例
f(x) = e^x → f^(n)(x) = e^x（全て同じ）

2 階以上の微分。Maclaurin 級数の係数計算（a_n = f^(n)(0)/n!）で必須。曲線の凹凸判定（f'' > 0 で下に凸）にも使う。

Chain Rule の「玉ねぎモデル」：合成関数 f(g(h(x))) を玉ねぎの皮のように外から内へ剥いていく。最外層 f を微分して中身そのまま、その g を微分して中身そのまま、内側 h を微分して掛ける、と段階的に進める。複雑な合成関数（4 層以上）も同じ手順で機械的に処理可能。

→ AA Chain Rule 3 秒の型（Shorts）
Calculus / Chain Rule の最速解法を 30 秒で復習
Integration Techniques

【③ 積分（Integration）の核 — 5 技法】

AA HL の積分は 5 大技法に集約されます。基本 7 公式の暗記が出発点、そこに 3 大技法（部分積分・置換積分・部分分数分解）+ Definite Integral の応用が乗ります。

基本 7 公式（多項式・三角・指数・対数・逆三角）

公式
∫ x^n dx, ∫ 1/x dx, ∫ e^x dx, ∫ sin/cos/sec², ∫ 1/(1+x²), ∫ 1/√(1−x²)
例
∫ (3x² + 2x + 1) dx = x³ + x² + x + C

AA HL 積分の基礎。これら 7 公式を即答できる状態まで暗記が必須。Formula Booklet にも掲載されているが、参照する余裕は Paper 1 では基本的にない。

部分積分（Integration by Parts）

公式
∫ u dv = uv − ∫ v du（LIATE で u を選ぶ）
例
∫ x e^x dx：u = x, dv = e^x dx → x e^x − ∫ e^x dx = (x − 1) e^x + C

2 つの関数の積を積分する技法。LIATE（Log / Inverse trig / Algebraic / Trig / Exponential）の順で u を選ぶ。同じ式が再現する『循環型』（∫ e^x sin(x) dx 等）は 2 回部分積分して連立方程式に帰着。

置換積分（u-substitution）

公式
u = g(x) と置く → du = g'(x) dx
例
∫ 2x cos(x²) dx：u = x² → du = 2x dx → ∫ cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C

Chain Rule の逆操作。被積分関数の中に『合成関数 f(g(x))』と『内側 g(x) の導関数 g'(x)』の両方が見えたら u-sub を使う。Definite Integral では積分区間も u に対応して変更。

部分分数分解（Partial Fractions）

公式
P(x)/Q(x) を分母の因数で部分分数に分解
例
1/(x² − 1) = 1/((x−1)(x+1)) = (1/2)·1/(x−1) − (1/2)·1/(x+1)

有理関数（多項式 / 多項式）の積分技法。分母を因数分解し、部分分数に分けて ∫ 1/(x − a) dx = ln|x − a| + C に帰着。AA HL Paper 1 / Paper 3 で頻出。Cover-up Method（係数を素早く求める技法）も習熟必須。

Definite Integral（定積分）と応用

公式
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
例
面積 = ∫ₐᵇ f(x) dx、体積（回転体）= π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx

面積・体積・平均値・確率密度の応用で頻出。回転体の体積（Disk / Shell Method）、曲線の長さ（∫ √(1 + [f'(x)]²) dx）、表面積も AA HL で出題範囲。

LIATE で部分積分の u を選ぶ

  • L = Logarithm（対数）— 例：ln(x), log(x)
  • I = Inverse trig（逆三角）— 例：arctan(x), arcsin(x)
  • A = Algebraic（代数・多項式）— 例：x, x², x³
  • T = Trigonometric（三角関数）— 例：sin(x), cos(x)
  • E = Exponential（指数）— 例：e^x, 2^x

上位ほど u に選ぶ。∫ x ln(x) dx なら ln(x) を u に、∫ x sin(x) dx なら x を u に。例外的に ∫ e^x sin(x) dx は『どちらを u に選んでも 2 回部分積分すれば元の式に戻る循環型』で、連立方程式で解く。

→ AA 部分積分 LIATE の型（Shorts）
LIATE で u を選ぶ手順を 60 秒で
Limits and L'Hopital

【④ 極限（Limits）と L'Hopital の Rule】

極限 lim (x→a) f(x) は AA HL Calculus の基礎です。0/0 や ∞/∞ の不定形を解く強力な技法が L'Hopital の Rule と Taylor / Maclaurin 級数による近似です。

L'Hopital の Rule（適用条件と公式）

適用条件：lim (x→a) f(x)/g(x) が 0/0 型または ∞/∞ 型の不定形のとき、かつ f, g が a の近傍で微分可能なとき。

公式：lim (x→a) f(x)/g(x) = lim (x→a) f'(x)/g'(x)（右辺の極限が存在するとき）

例：lim (x→0) sin(x)/x → 0/0 型なので L'Hopital を適用 → lim (x→0) cos(x)/1 = 1。微分しても再び 0/0 になる場合は 2 回、3 回と繰り返し適用可能。

Taylor 展開による別解

同じ問題 lim (x→0) sin(x)/x を Taylor 展開で解くと、sin(x) ≈ x − x³/6 + ... なので sin(x)/x ≈ 1 − x²/6 + ... → x → 0 で 1。L'Hopital より直感的で、AA HL Paper 3 では Taylor 展開を使う問題が頻出。

連続性と微分可能性：関数 f が a で連続 ⟺ lim (x→a) f(x) = f(a)。微分可能 ⟹ 連続（逆は成立しない）。代表例：f(x) = |x| は x = 0 で連続だが微分不可能（左右の微分係数が −1 と +1 で一致しない）。AA HL Paper 1 で『連続だが微分不可能な例を挙げよ』と出題されることもある。

Taylor and Maclaurin Series

【⑤ Taylor / Maclaurin Series（HL only）】

Taylor 級数は関数 f(x) を多項式級数で近似する技法、Maclaurin 級数はその x = 0 周りの特殊ケースです。AA HL Paper 3 で頻出で、収束半径の計算と 5 大公式の暗記が必須。

公式と直感的理解

Maclaurin Series：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + ... + f^(n)(0)x^n/n! + ...

Taylor Series（a 周り）：f(x) = Σ f^(n)(a)(x−a)^n/n!

直感：関数の値 f(0)、傾き f'(0)、曲がり方 f''(0)、…と高階の微分係数を「多項式の係数」として積み上げ、無限和で関数を再現する。打ち切り次数を増やすほど近似精度が上がる。

5 大 Maclaurin Series（暗記必須）：

e^x

R = ∞
= 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + x^n/n! + ...

全ての実数で収束。最も覚えやすい Maclaurin 級数。Probability の Poisson 分布や複利計算で応用。

sin(x)

R = ∞
= x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + ...

奇関数なので奇数次項のみ。物理学（単振動）・信号処理（Fourier 級数の基礎）で頻出。

cos(x)

R = ∞
= 1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + ...

偶関数なので偶数次項のみ。sin(x) の微分が cos(x) なので、級数も微分すれば対応する。

ln(1 + x)

R = 1（|x| < 1 で収束）
= x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + ...

境界 x = 1 では条件収束、x = −1 では発散。x = 1 を代入すると ln(2) = 1 − 1/2 + 1/3 − ... の交代調和級数。

(1 + x)^k

R = 1（k が非負整数のとき以外）
= 1 + kx + k(k−1)x²/2! + k(k−1)(k−2)x³/3! + ...

Binomial Series。k が非負整数なら有限和（二項定理）、それ以外は無限級数。√(1+x) や 1/√(1+x) の近似で多用。

収束半径 R の計算（Ratio Test）

Σ a_n x^n の収束半径は R = lim (n→∞) |a_n / a_(n+1)| で計算。

  • R = ∞ → 全実数で収束（e^x, sin(x), cos(x)）
  • R = 1 → |x| < 1 のみ収束（ln(1+x), (1+x)^k）
  • R = 0 → x = 0 のみで収束（実用的でない）

※ 境界 x = ±R での収束判定はシラバス外。IA で深掘りすると高得点の根拠になる。

→ AA Maclaurin Series の本質（Shorts）
e^x / sin(x) / cos(x) の Maclaurin 展開を 60 秒で

近似値計算の応用：sin(0.1) を Maclaurin 展開で近似すると sin(0.1) ≈ 0.1 − 0.1³/6 = 0.1 − 0.0001667 ≈ 0.0998333。実際の値 sin(0.1) = 0.09983341... と一致。第 3 項以降を含めなくても 4 桁精度。Paper 3 で『指定精度まで近似せよ』『打ち切り誤差を評価せよ』と出題される。

Differential Equations

【⑥ Differential Equations（HL only）】

Differential Equation（微分方程式）は『未知関数とその導関数を含む方程式』。AA HL では 3 つの解法（Separable / Integrating Factor / Euler's Method）+ Slope Fieldが出題範囲。

Separable Equations（変数分離型）

公式
dy/dx = f(x) · g(y) → ∫ 1/g(y) dy = ∫ f(x) dx
例
dy/dx = xy → ∫ 1/y dy = ∫ x dx → ln|y| = x²/2 + C → y = A e^(x²/2)

AA HL Differential Equation の基本型。両辺を分離して積分。Population Growth の Exponential Model（dP/dt = kP）や Newton 冷却法則がこの型。

Integrating Factor（積分因子法）

公式
dy/dx + P(x)y = Q(x) → 積分因子 μ(x) = e^(∫P(x)dx) を掛けて両辺を (μy)' とまとめる
例
dy/dx + (1/x)y = x → μ = e^(∫1/x dx) = x → d/dx(xy) = x² → xy = x³/3 + C → y = x²/3 + C/x

1 階線形微分方程式の標準解法。Separable に変形できないが、線形（y と y' が 1 次）の場合に使う。Year 13 Paper 1 / Paper 3 で頻出。

Euler's Method（数値解）

公式
y_(n+1) = y_n + h · f(x_n, y_n)（h は step size）
例
dy/dx = x + y, y(0) = 1, h = 0.1 で y(0.5) を近似 → 5 ステップ計算

解析的に解けない Differential Equation の数値解法。step size を小さくすると精度向上だが計算量増。Paper 2 / Paper 3 で GDC を使った計算問題として出題。

Slope Field（斜面場）

公式
各点 (x, y) で dy/dx の値を矢印で表示
例
dy/dx = x − y の Slope Field を GDC で表示 → 解曲線の概形把握

Differential Equation の解を視覚的に理解する方法。GDC（TI-Nspire CX II）の Slope Field 機能で一発描画。Paper 2 の問題で『解曲線をスケッチせよ』と出題。

現実問題への応用：Population Growth（dP/dt = kP → Exponential Growth、または dP/dt = rP(1 − P/K) → Logistic Growth）、Newton 冷却法則（dT/dt = −k(T − T_room)）、放射性崩壊（dN/dt = −λN）、伝染病モデル（SIR：dS/dt, dI/dt, dR/dt の連立方程式）など、AA HL IA のテーマとしても最有力。

Calculus Focus per Paper

【⑦ Paper 1 / Paper 2 / Paper 3 別 Calculus 出題傾向】

AA HL の 3 つの Paper はそれぞれ性格が異なり、Calculus の出題内容と戦略も変わります。

Paper 1（No GDC）

120 分 / 110 点電卓不可
Calculus 出題

Chain Rule / Product Rule / Quotient Rule の手計算、部分積分（LIATE）、置換積分、基本 7 公式の積分、極限の L'Hopital / Taylor 展開、Implicit Differentiation

戦略

計算は分数・根号・π・ln(2) 等のまま最後まで保持。途中式を 1 行ずつ書いて Method Mark を確保。Section A（短答 9-10 問）で確実に基礎点、Section B（長文 3-4 問）で Chain Rule + 部分積分の連続応用が頻出。

Paper 2（With GDC）

120 分 / 110 点GDC 使用可
Calculus 出題

数値積分（GDC で一発）、Optimization 問題（極値を GDC の Trace / Maximum / Minimum で）、Definite Integral の面積・体積、微分方程式の数値解（GDC の slope field）

戦略

計算は GDC に任せ、問題設定の読解と式の立て方に集中。TI-Nspire CX II の Calculator + Document + Graph の使い分けが点数に直結。GDC の操作スピードを Year 13 で 2 倍以上に上げる訓練が必須。

Paper 3（GDC + Problem-Solving）

60 分 / 55 点GDC 使用可
Calculus 出題

Calculus 単独 1 問が出題されることが多い（Maclaurin 級数 / Differential Equations / Conjecture → Proof の流れ / 最適化の応用）

戦略

60 分で 2 問は 1 問 30 分の配分。Part a, b は基礎で確実に取り、Part c, d で Maclaurin の収束半径や Differential Equation の解析解で勝負を分ける。

Calculus の出題比率（過去 5 年データ）

AA HL では Calculus が試験全体の 約 30-35% を占めます。Paper 1 で約 30-35 点（110 点中）、Paper 2 で約 30-40 点、Paper 3 で約 20-30 点（55 点中、1 問丸ごと Calculus のことが多い）。合計 80-100 点が Calculus 由来 = 275 点満点中 30-36%。Calculus で 75-80% 取れれば、それだけで Grade 6 が見える計算。

Paper 1 で No GDC でも解ける理由：出題者は『計算結果が綺麗な数値・分数・根号・対数になる』ように係数を選んでいます。途中式を全て書いて Method Mark を確保し、分数・根号・π・ln(2) はそのまま最後まで保持するのが鉄則。10 進近似で減点される事故を避ける。

30-Day Past Paper Plan

【⑧ 30 日 過去問演習プラン】

AA HL Calculus を 6 → 7 に上げる 30 日プラン。Year 13 の試験 1-2 ヶ月前に実行するのが理想。Year 12 終了時に基礎が固まっていれば、このプランで Grade 7 が射程に入ります。

Week 1（Day 1-7）

基本公式の徹底暗記 + 微分の核
  • 基本 7 積分公式を即答できる状態まで暗記（毎日 20 問の演習）
  • Chain Rule / Product Rule / Quotient Rule の連続応用問題 30 問
  • Implicit Differentiation 10 問（円・楕円・双曲線の接線）
  • Higher Order Derivatives 10 問（Maclaurin 係数の準備）
  • Day 7：Paper 1 / Paper 2 の Calculus 関連短答 1 セット

Week 2（Day 8-14）

Chain Rule + 部分積分 集中
  • 部分積分 LIATE 問題 40 問（毎日 6 問）
  • 置換積分 u-sub 問題 30 問（Chain Rule の逆向き訓練）
  • 部分分数分解 15 問（Cover-up Method 含む）
  • Definite Integral の面積・体積問題 15 問（回転体含む）
  • Day 14：Paper 1 1 セット（時間計測）+ 解答解説

Week 3（Day 15-21）

Taylor / Maclaurin + Differential Equations
  • Maclaurin 級数の導出 + 収束半径の計算 15 問
  • e^x / sin(x) / cos(x) / ln(1+x) / (1+x)^k の暗記 + 応用 10 問
  • Separable Differential Equation 15 問
  • Integrating Factor 法 10 問
  • Euler's Method 10 問（数値解の計算）
  • Day 21：Paper 3 1 セット（60 分計測）

Week 4（Day 22-30）

Paper 3 形式 + 総合演習
  • Paper 3 の Calculus 単独問題 6 セット（過去 3 年 May + November）
  • L'Hopital + Taylor 展開を組合せた極限問題 10 問
  • Conjecture → Proof（数学的帰納法 + Calculus）3 問
  • Day 27-29：Paper 1 + Paper 2 + Paper 3 通し模試 1 セット
  • Day 30：間違えた問題のみ解き直し + 弱点リスト作成

過去問の入手先：IBO 公式の Past Papers は学校経由で配布されるのが正規ルート。マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL / Sayfol 等）では Math Department が在校生に提供します。塾経由の入手や非公式の過去問サイトは Copyright 違反のリスクがあるため避ける。南数塾では学校から正規入手した過去問の解答解説 + 採点フィードバックを提供しています。

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【関連 Shorts（30-60 秒で復習）】

AA HL Calculus の頻出公式・技法を 30-60 秒で復習する Shorts コンテンツ。試験前の最終確認に。

AA Chain Rule 3 秒の型
玉ねぎモデルで合成関数の微分を最速処理
AA 部分積分 LIATE の型
LIATE で u を選ぶ手順を 60 秒で
AA Maclaurin Series の本質
e^x / sin(x) / cos(x) の Maclaurin 展開を 60 秒で
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How Nansu Juku Supports AA HL Calculus

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  • ✓Differential Equations（Separable / Integrating Factor / Euler）の解法演習
  • ✓Paper 1（No GDC）の手計算速度引き上げ訓練
  • ✓Paper 2（GDC）の TI-Nspire CX II 操作習熟
  • ✓Paper 3 の Calculus 単独問題 30 回演習
  • ✓30 日 過去問演習プランの個別フォロー
  • ✓IA で Calculus を使う高得点テーマの選定 + 執筆指導
  • ✓月次保護者三者面談で進捗 + 大学出願戦略の共有

※ 本記事は 2026 年 5 月時点の IB Diploma Programme 公式シラバス（First Exam 2021、AA HL）と公開情報を基に整理しています。出題比率や公式の表現は IB Math AA Subject Guide に準拠していますが、最終的な確認は IB Official Formula Booklet と各校の Math Department に行ってください。Grade Boundary や難易度は May / November Session で変動するため、IB Official Statistical Bulletin で必ず確認してください。

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