AA HL Probability & Statistics 完全攻略

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IB Math AA HL / 確率統計 / 2026 年版

IB Math AA HL Probability & Statistics
完全攻略 2026

順列組合せ・確率分布・期待値・条件付き確率の全範囲

マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL / Sayfol / Cempaka / Nexus 等）に通う DP 1-2 の AA HL 受講生徒と保護者のための徹底ガイド。確率・統計章で 7 を取るための 8 章構成で、Counting Principles（順列・組合せ）から Bayes 定理、Binomial Distribution、Normal Distribution、HL Extension（Hypergeometric / Geometric）、Paper 3 過去問傾向まで網羅。GDC（TI-Nspire / TI-84 / Casio fx-CG50）の操作手順、30 日演習プラン、よくあるミスと対策まで一気通貫で整理します。

Table of Contents

【目次】

AA HL Stats シラバスの全体像
順列・組合せ（Counting Principles）
確率の基礎（標本空間 / 排反 / 独立）
条件付き確率と Bayes 定理
二項分布（Binomial Distribution、HL）
正規分布（Normal Distribution、HL）
HL Extension（Discrete / Continuous / Hypergeometric）
過去問演習プラン 30 日

Conclusion First

【結論先出し】

確率・統計章は、安定して 7 を取れる得点源になります。

出題比率は Paper 1/2/3 合わせて約 25-30%。Counting で 1 ミス、Normal の Inverse で 1 ミスと重ねると Grade 6 で止まります。逆に、次の 3 点を徹底訓練すれば一気に安定します。

① 順列か組合せかの判定
② 独立と排反の区別
③ Inverse Normal の左右の取り違え防止

この記事は確率・統計の全範囲を 8 章で整理し、最後に Paper 3 の傾向と 30 日演習プランを載せています。GDC（TI-Nspire・TI-84・Casio fx-CG50）の操作も機種別に解説します。

AA HL Statistics Syllabus Overview

【① AA HL Stats シラバスの全体像】

AA HL の確率・統計章は Topic 4: Statistics and Probability として整理され、SL 共通内容に HL Extension を加えた構成。出題比率は Paper 1 / 2 / 3 を合わせて約 25-30% で、Calculus 章（約 30-35%）に次ぐ大きなウェイトを持ちます。

トピック	SL での扱い	HL での扱い	出題比率
Counting Principles（順列・組合せ）	扱わない（基本のみ）	nPr / nCr / 円順列 / 場合分け / 二項定理	AA HL 約 5-8%
Probability Basics（確率の基礎）	標本空間 / 排反 / 独立 / Venn Diagram	SL 内容 + 確率の公理 / 加法定理 / 乗法定理	AA HL 約 8-10%
Conditional Probability（条件付き確率）	基本のみ	Bayes 定理 / Tree Diagram / 独立性検定	AA HL 約 6-8%
Discrete Random Variable	期待値 / 分散 / 標準偏差	SL 内容 + Binomial Distribution / 期待値の線形性	AA HL 約 8-10%
Continuous Random Variable（HL のみ）	扱わない	確率密度関数 / 累積分布関数 / 期待値の積分定義	AA HL 約 6-8%
Normal Distribution	標準化 z / GDC 操作 / Inverse Normal	SL 内容 + Z 値の理論 / Confidence Interval 基礎	AA HL 約 8-10%
HL Extension（Hypergeometric / Poisson 等）	扱わない	Hypergeometric / Poisson / Geometric Distribution	AA HL 約 4-6%

重要：AA HL 受講生徒は SL 範囲（標本空間 / 独立性 / 期待値 / Normal Distribution 基礎）を完全に理解した上で、HL Extension（二項定理応用 / Bayes / Continuous RV / Hypergeometric 等）に進む必要があります。シラバス全体での比率を意識した時間配分が、Grade 7 を取る前提条件です。

Permutations and Combinations

【② 順列・組合せ（Counting Principles）】

Counting は AA HL の HL Extension のみのトピック（SL では基本のみ）。順列 nPr / 組合せ nCr / 円順列 / 重複組合せの 4 タイプを完全に区別する必要があります。判定軸は『順序が結果に影響するか』『回転で同一視するか』の 2 軸です。

順列 nPr（Permutation）

nPr = n! / (n − r)!

n 個から r 個を順序付きで選ぶ。例：10 人から「会長・副会長・書記」の 3 役を選ぶ → 10P3 = 720 通り。問題文に『arrangement』『order』『lineup』があれば順列。

組合せ nCr（Combination）

nCr = n! / (r! × (n − r)!)

n 個から r 個を順序なしで選ぶ。例：10 人から「代表 3 人」を選ぶ → 10C3 = 120 通り。問題文に『select』『choose』『team』『committee』があれば組合せ。

円順列

(n − 1)!

n 人を円卓に並べる。回転で同一視するため、n! を n（回転パターン数）で割る。例：6 人で円卓 → 5! = 120 通り。条件付き円順列（A と B が隣接等）も頻出。

重複組合せ（nHr）

nHr = (n + r − 1)Cr

n 種類から重複可で r 個を選ぶ。例：3 種類のケーキから 5 個選ぶ → 3H5 = 7C5 = 21 通り。Stars and Bars 法で導出可能。

Counting 問題の判定フロー（5 ステップ）

Step 1：問題文を読み、選ぶ対象（人 / 物 / 数字 / 文字）と総数 n、選ぶ個数 r を特定。
Step 2：『順序が結果に影響するか』を判定。役職・順位・並び順 → 順列、グループ・チーム・代表 → 組合せ。
Step 3：『同じものを重複して選べるか』を判定。重複可能 → 重複組合せ、不可 → 通常の組合せ。
Step 4：『円形・数珠形か』を判定。円卓・ネックレス → 円順列 (n-1)! または (n-1)!/2。
Step 5：『条件付きか』を判定。「特定の 2 人が隣接」「特定の人が端」等の条件は、条件を満たす配置を 1 通り固定して残りを並べる 2 段階思考。

よくあるミス（Counting）

『単語の選び方』『チームの作り方』を順列で計算（→ 組合せ）
『役職の任命』『順位の決定』を組合せで計算（→ 順列）
円順列で n! のまま回転を考慮しない
条件付き順列で『条件を満たすパターン数』と『全体の場合の数』を混同
重複組合せで Stars and Bars 法を使わず直接列挙してしまう

Probability Basics

【③ 確率の基礎（標本空間 / 排反 / 独立）】

確率の基礎は AA HL の Paper 1 / 2 で頻出。SL でも扱われますが、HL では『確率の公理』『加法定理の一般形』『独立性検定』まで深く問われます。

① 標本空間（Sample Space）の図示

標本空間 S は『起こりうる全ての結果の集合』。コインを 3 回投げる場合 S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}（8 通り）。Venn Diagram / Tree Diagram / 表（Two-way Table）の 3 つの図示法を使い分けます。AA HL では『標本空間の濃度（cardinality）』を Counting Principles で計算する複合問題が頻出。

② 加法定理（一般形）

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)。排反（Mutually Exclusive）の場合は P(A ∩ B) = 0 になるため P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。3 事象の場合は包除原理で P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) − P(B∩C) − P(A∩C) + P(A∩B∩C)。Paper 1 で頻出のため公式を暗記し、図解（Venn）で意味を理解しておきます。

③ 乗法定理と独立性

一般形：P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A) = P(B) × P(A | B)。独立の場合は P(B | A) = P(B) になるため P(A ∩ B) = P(A) × P(B)。独立性の判定は『P(A ∩ B) = P(A) × P(B) を計算で検証』するのが正攻法。問題文に『independent』があれば即適用、なければ自分で検証します。

④ 排反 vs 独立の区別

排反（Mutually Exclusive）：P(A ∩ B) = 0（同時に起こらない）。独立（Independent）：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)（一方が他方の確率に影響しない）。両者が同時に成立するのは P(A) = 0 または P(B) = 0 のときのみ。典型問題は『P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(A ∪ B) = 0.6 のとき、A と B は独立か？』のような検証問題。

⑤ 補事象（Complementary Event）

P(A') = 1 − P(A)。『少なくとも 1 回起こる』を計算するときは『1 回も起こらない確率を 1 から引く』アプローチが圧倒的に楽。例：『コインを 5 回投げて少なくとも 1 回表が出る』 = 1 − P(全部裏) = 1 − (1/2)^5 = 31/32。Paper 1 で時間短縮の鍵。

Conditional Probability and Bayes' Theorem

【④ 条件付き確率と Bayes 定理】

Conditional Probability は AA HL Paper 1 / 2 の核となるトピック。Tree Diagram と Bayes 定理を使いこなせるかで Grade 6 と 7 が分かれます。

条件付き確率の定義

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)（B が起きたという条件のもとで A が起きる確率）。これを変形すると P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B) = P(A) × P(B | A)。さらに変形して Bayes 定理：

P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B)

① Tree Diagram の描き方

第 1 段階の分岐に最初の確率、第 2 段階の分岐に条件付き確率を記入。各経路の確率は分岐の確率の積（独立でなくても条件付きで掛けるのが正しい）。Paper 1 で『複雑な確率問題は Tree で描く』を徹底すると、Bayes 定理の暗記が不要になります。

② Bayes 定理の典型例

③ 独立性検定（HL Extension）

2 事象 A, B が独立かを判定する方法は 3 つあり、数学的に同値です。

①P(A ∩ B) = P(A) × P(B) を計算で確認
②P(A | B) = P(A) を計算で確認
③P(B | A) = P(B) を計算で確認

Paper 1 で『独立か検証せよ』と問われたら、①の方法が最短です。

④ 連続適用（2 段階以上の Bayes）

検査を 2 回受けて両方陽性の場合の事後確率は、1 回目陽性の事後確率を新たな事前確率として 2 回目の Bayes を適用。P(D | ++) = P(+ | D) × P(D | +) / P(+)。Paper 3 の長文問題で頻出。

⑤ Two-way Table での Conditional 計算

2 × 2 の表で『男女 × 喫煙/非喫煙』『学年 × 部活加入/非加入』等の同時度数を整理し、Conditional Probability を計算。表の行・列の周辺度数から条件付き確率を読み取る練習を Year 11-12 で固めます。

Binomial Distribution

【⑤ 二項分布（Binomial Distribution、HL）】

Binomial Distribution は AA HL の Discrete Random Variable の代表格。X ~ B(n, p) で表現し、n 回の独立試行で k 回成功する確率を計算します。GDC（TI-Nspire / TI-84 / Casio）の binomPdf / binomCdf を瞬時に使えるかが鍵。

Binomial の 4 条件

試行回数 n が固定（事前に決まっている）
各試行が独立（前の結果が次に影響しない）
各試行で結果が成功/失敗の 2 値
各試行で成功確率 p が一定

4 条件全てを満たさない場合は Binomial NG。たとえば『袋から玉を取り出して戻さない』は条件 2 / 4 違反のため Hypergeometric を使います。

公式

P(X = k) = nCk × p^k × (1 − p)^(n − k)
P(X ≤ k) = Σ (i=0 to k) nCi × p^i × (1 − p)^(n − i)（累積）
E(X) = np
Var(X) = np(1 − p)
SD(X) = √(np(1 − p))

① Binomial を使う条件の確認

Binomial X ~ B(n, p) を適用できるのは 4 条件全てを満たすときのみ：①試行が n 回の固定、②各試行が独立、③各試行で結果が成功/失敗の 2 値、④各試行で成功確率 p が一定。たとえば「袋から玉を取り出して戻さない」場合は各試行の確率が変わるため Binomial NG（Hypergeometric を使う）。問題文を読んだら 4 条件をチェックする習慣をつけます。

② GDC で Binomial 確率を瞬時に計算

TI-Nspire CX II では『menu > Statistics > Distributions > Binomial Pdf（または Cdf）』。Pdf は P(X = k)、Cdf は P(X ≤ k)。引数は『Num Trials n、Prob Success p、X Value k』。Paper 2 で『P(X ≥ 7) when X ~ B(20, 0.3)』のような問題は 1 - binomCdf(20, 0.3, 6) で 10 秒。Paper 1（No GDC）の場合は手計算で nCk × p^k × (1-p)^(n-k) を展開します。

③ Normal Distribution の z 標準化

X ~ N(μ, σ²) を Z ~ N(0, 1²) に変換することで、標準正規分布表（または GDC）で確率計算ができます。z = (x - μ) / σ。たとえば X ~ N(70, 10²) で P(X < 85) は z = (85-70)/10 = 1.5 → P(Z < 1.5) = 0.9332。Paper 1（No GDC）では標準正規分布表が試験中に配布されないため、GDC 不可問題は出題されないのが標準ですが、概念理解は必須です。

④ Inverse Normal の左右取り違え対策

Inverse Normal は『左側累積確率 → x 値』を返すため、問題が『上位 X%』のときは Area = 1 - X/100 を入力する必要があります。例：『上位 5% に入る最低点』なら Area = 0.95（× Area = 0.05）。問題を読んだら『左から数えて何 %?』と再翻訳する習慣をつけます。Paper 2 で Inverse Normal の左右取り違えで丸ごと失点するケースが多発するため、訓練必須。

⑤ 期待値の線形性（HL Extension）

E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) は X, Y が独立でなくても成立。Var(aX + bY) = a²Var(X) + b²Var(Y) は X, Y が独立のときのみ成立（独立でない場合は共分散項が加わる）。AA HL Paper 3 で『独立 2 つの Binomial の和の分布』を求める問題が頻出。Normal Distribution の場合、X ~ N(μ₁, σ₁²), Y ~ N(μ₂, σ₂²) で独立なら aX + bY ~ N(aμ₁ + bμ₂, a²σ₁² + b²σ₂²) と直接 Normal で計算できます。

Normal Distribution

【⑥ 正規分布（Normal Distribution、HL）】

Normal Distribution は AA HL Paper 2 / 3 の頻出トピック。標準化 z = (X − μ) / σ により標準正規分布 N(0, 1²) に変換し、GDC または標準正規分布表で確率を計算します。

標準化 z

Z = (X − μ) / σ

X ~ N(μ, σ²) を Z ~ N(0, 1²) に変換。たとえば X ~ N(70, 10²) で P(X < 85) → z = 1.5 → P(Z < 1.5) ≈ 0.9332。

68-95-99.7 ルール

μ ± σ, μ ± 2σ, μ ± 3σ

正規分布では μ±σ に約 68%、μ±2σ に約 95%、μ±3σ に約 99.7% のデータが含まれる。Paper 1 の概算問題で必須。

累積確率（normalCdf）

P(a < X < b)

TI-Nspire：menu > Statistics > Distributions > Normal Cdf。引数は『Lower Bound, Upper Bound, μ, σ』。Paper 2 / 3 で頻出。

逆関数（invNorm）

x = invNorm(Area, μ, σ)

左側累積確率 Area から x 値を逆算。『上位 5%』なら Area = 0.95、『下位 10%』なら Area = 0.10 を入力。

GDC 操作手順（機種別）

TI-Nspire CX II：menu > 6: Statistics > 5: Distributions > 2: Normal Cdf / 3: Inverse Normal。引数を直接入力できる Wizard 形式。
TI-84 Plus CE：2nd > VARS（DISTR）> 2: normalcdf( / 3: invNorm(。コマンドを直接入力する形式。
Casio fx-CG50：MENU > Statistics > DIST > NORM > Ncd / InvN。マレーシア IB 校で比較的安価に入手可能。

よくあるミス（Normal Distribution）

Inverse Normal で『上位 X%』と『下位 X%』の Area を取り違える
分散 σ² と標準偏差 σ を取り違える（GDC では σ を入力）
区間確率 P(a < X < b) で Lower Bound と Upper Bound の順を逆にする
Continuous Distribution で P(X = a) = 0（連続分布では特定の 1 点の確率は 0）を理解していない
標準正規分布 N(0, 1²) と一般正規分布 N(μ, σ²) を混同する

HL Extension Topics

【⑦ HL Extension（Discrete / Continuous / Hypergeometric）】

AA HL の HL Extension では SL を超えた確率分布が扱われます。Discrete RV の一般理論、Continuous RV の積分定義、Hypergeometric Distribution の 3 つが核心。

① Discrete Random Variable の一般理論

X が離散変数（x₁, x₂, ..., xₙ）を確率（p₁, p₂, ..., pₙ）で取るとき、E(X) = Σ xᵢpᵢ、Var(X) = Σ (xᵢ - μ)² pᵢ = E(X²) - μ²。Binomial / Geometric / Poisson 等の特定の分布に依存しない一般理論を AA HL では問われます。Paper 1 で確率質量関数 P(X = x) を表で与えられ、E(X), Var(X) を計算する問題が頻出。

② Continuous Random Variable と確率密度関数

連続変数 X の確率は積分で定義：P(a ≤ X ≤ b) = ∫(a to b) f(x) dx。確率密度関数 f(x) は ∫(全範囲) f(x) dx = 1 を満たす。期待値 E(X) = ∫ x f(x) dx、分散 Var(X) = ∫ (x - μ)² f(x) dx。AA HL Paper 2 で頻出。Calculus 章の積分計算が直接活きるため、Calculus と Statistics の橋渡しトピック。

③ 累積分布関数（CDF）

F(x) = P(X ≤ x) = ∫(-∞ to x) f(t) dt。CDF を微分すると PDF が得られる：f(x) = F'(x)。Paper 1 で CDF が与えられ、PDF を求める / 区間確率を計算する問題が頻出。

④ Hypergeometric Distribution

N 個の母集団から K 個の成功要素があり、n 個を非復元抽出する場合の成功数 X の分布：P(X = k) = (KCk × (N-K)C(n-k)) / NCn。例：50 個の電球のうち 5 個が不良品で、5 個を抜き取り検査するとき不良品数 X の分布。Binomial と異なり『戻さない』ため各試行の確率が変動。AA HL Paper 1 / 2 / 3 で 2-3 年に 1 回程度出題。

⑤ Geometric Distribution（HL Extension 範囲）

独立試行で『最初の成功までの試行回数』をモデル化。P(X = k) = (1-p)^(k-1) × p。E(X) = 1/p、Var(X) = (1-p)/p²。記憶喪失性（memoryless property）を持つ唯一の離散分布。Paper 3 の Modelling 問題で頻出。

⑥ Poisson Distribution（参考）

単位時間あたりの稀な事象の発生数をモデル化：P(X = k) = (λ^k × e^(-λ)) / k!。E(X) = Var(X) = λ。Binomial の n → ∞、p → 0、np → λ の極限として導出可能。AA HL では明示的に必須ではないが、Modelling の文脈で扱われることがあります。

30-Day Practice Plan

【⑧ 過去問演習プラン 30 日】

AA HL 確率・統計章を 30 日で総ざらいするプラン。DP 2 の最終試験前 1 ヶ月、または DP 1 終了時の夏休み集中演習に最適。1 日 1.5-2 時間の確保が前提。

Week 1（Day 1-7）

Counting Principles 集中

順列 nPr / 組合せ nCr / 円順列 / 重複組合せの定義と公式を完全暗記。教科書例題 + 過去問 Paper 1 の Counting 問題を 1 日 5 問。Day 7 で MCQ 形式の自己テスト（30 問 / 60 分）。

Week 2（Day 8-14）

Probability Basics + Conditional

標本空間 / 加法定理 / 乗法定理 / 独立 vs 排反の判定。Tree Diagram を 1 日 3 問。Day 11-12 で Conditional Probability と Bayes 定理を集中演習。Day 14 で章末テスト（自校 Mock 過去問流用可）。

Week 3（Day 15-21）

Discrete RV + Binomial Distribution

期待値 E(X)・分散 Var(X) の定義 → Binomial の E(X) = np, Var(X) = np(1-p) を導出。GDC（TI-Nspire / TI-84 / Casio）で binomPdf / binomCdf を 1 日 10 回操作。Day 19-20 で Paper 2 形式の Binomial 問題演習。Day 21 で章末テスト。

Week 4（Day 22-30）

Normal Distribution + HL Extension + 総合

Day 22-25：Normal 標準化 z + GDC の normalCdf / invNorm 完全習熟。Day 26-27：Continuous RV / Hypergeometric Distribution。Day 28-30：過去問 Paper 1 + Paper 2 の確率章セクション 3 セット（時間計測）+ 採点 + 弱点ピックアップ。

Paper 3 過去問傾向（確率・統計章）

AA HL Paper 3 は 60 分で 2 問の長文 Problem-Solving / Modelling。確率・統計章からは 2 年に 1 回程度の頻度で出題されます。

May 2024

Discrete RV + Geometric Distribution

Geometric Distribution（HL Extension）で『最初の成功までの試行回数』をモデル化。Part a, b で基本計算、Part c で期待値の導出、Part d で実データとの fit を Chi-squared 適合度検定。

May 2023

Normal + Confidence Interval

工場の製品サイズが Normal Distribution に従うという仮定で、95% Confidence Interval を導出。Part c で Sample Size n が変化した場合の CI 幅の挙動を考察。

Nov 2022

Bayes 定理 + 連続適用

医療検査の擬陽性率・擬陰性率から、検査陽性者が真に病気である確率を Bayes で計算。Part d で 2 段階検査の場合（陽性のまま 2 回目を受ける）の事後確率を連続適用。

May 2022

Markov Chain + Stationary Distribution

天気の遷移確率（晴れ / 曇り / 雨）を Transition Matrix で表現し、Stationary Distribution を固有値分解で導出（HL Extension 範囲）。

Formula Cheat Sheet

【公式チートシート（10 公式）】

AA HL 確率・統計章で Paper 1 / 2 / 3 のいずれにも頻出する 10 公式。試験 1 週間前に毎日 1 周することで Paper 1（No GDC）の計算速度が大幅に向上します。

名称	公式	用途
順列 nPr	nPr = n! / (n - r)!	n 個から r 個を順序付きで選ぶ場合の数
組合せ nCr	nCr = n! / (r! × (n - r)!)	n 個から r 個を順序なしで選ぶ場合の数
円順列	(n - 1)!	n 人を円卓に並べる場合の数（回転で同一視）
確率の加法定理	P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)	和事象の確率（排反なら最後の項が 0）
条件付き確率	P(A \| B) = P(A ∩ B) / P(B)	B が起きたという条件のもとで A が起きる確率
Bayes 定理	P(A \| B) = P(B \| A) × P(A) / P(B)	事後確率の更新（医療検査・スパム判定等）
独立事象	P(A ∩ B) = P(A) × P(B)	2 事象が独立な場合の同時確率
Binomial 確率	P(X = k) = nCk × p^k × (1 − p)^(n − k)	n 回の独立試行で k 回成功する確率
Binomial 期待値・分散	E(X) = np, Var(X) = np(1 − p)	Binomial Distribution の平均と分散
Normal 標準化	Z = (X − μ) / σ	正規分布を標準正規分布に変換

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✓Paper 2（With GDC）の GDC 戦略最適化
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