AA HL Functions & Equations 完全攻略
現サイトの公開情報・公開用データを2026年9月19日に照合した資料です。出典の条件を独立に保証するものではありません。入試・学費・資格・評価方法は、出願・科目選択の前に公式情報でご確認ください。
IB Math AA HL Functions &
Equations 完全攻略 2026
関数・方程式・複素数・指数対数・三角関数の全範囲
マレーシア IB 校（MKIS / GIS / ISKL / Sayfol / Cempaka / Nexus / Fairview / Sri KDU 等）に通う日本人 AA HL 生徒（DP 1-2）と保護者のための徹底ガイド。Linear / Quadratic / Polynomial / Rational / Exponential / Logarithmic / Trigonometric / Complex Numbers の 8 領域を、Functions 章で 7 を取るための深度で攻略します。判別式・剰余定理・部分分数・log laws・単位円・加法定理・倍角・de Moivre 定理・Euler 公式・単位根まで、AA HL Paper 1 / Paper 2 / Paper 3 で頻出の解法テンプレートを一気通貫で整理。30 日演習プランも収録しました。
【目次】
- AA HL Functions シラバスの全体像
- 2 次関数（Quadratic）の核 — 判別式・解の公式・頂点・最大最小
- 多項式（Polynomial）と剰余定理 — Synthetic Division・Rational Root Theorem
- 有理関数（Rational Functions） — 漸近線・Partial Fractions
- 指数・対数（Exp / Log） — 底の変換・log laws・解の方程式
- 三角関数（Trigonometric） — 単位円・加法定理・倍角・三角方程式
- 複素数（Complex Numbers、HL only） — 極形式・Euler 公式・de Moivre・単位根
- 過去問演習プラン 30 日
【結論先出し】
Functions & Equations で 7 を取る手順はシンプルです。
まず 8 領域（一次・二次・多項式・有理・指数・対数・三角・複素数）の「定義と公式」を完全に暗記します。そのうえで、Paper 1（電卓なし）の手計算スピードと、Paper 3 の証明力を鍛えます。
特に差がつくのが、複素数と三角関数の融合分野（de Moivre 定理・Euler 公式・単位根）です。ここは AA HL だけの範囲で、Paper 1・Paper 3 の得点源になります。この記事では各領域の核となる公式・解法テンプレ・落とし穴を整理し、最後に 30 日演習プランを載せています。
【① AA HL Functions シラバスの全体像】
AA HL の Functions & Equations 領域は、IB の 5 主要トピック（Number & Algebra / Functions / Geometry & Trigonometry / Probability & Statistics / Calculus）のうち Functions セクションと Algebra の交差領域 に位置します。AA HL only のトピック（Complex Numbers / 加法定理の応用 / de Moivre）が含まれ、Paper 1 / Paper 2 / Paper 3 のいずれにも頻出します。
| 領域 | 範囲 | Paper 出題傾向 |
|---|---|---|
| Linear Function | 1 次関数 y = mx + c、傾き・切片・直線の方程式、平行・直交条件、点と直線の距離 | Paper 1: 基本問題（短答）。AA HL では他トピックの導入として使用。 |
| Quadratic Function | 2 次関数 y = ax² + bx + c、判別式 D = b² − 4ac、解の公式、頂点形式、最大最小、Vieta の公式 | Paper 1: 判別式の条件付け、Paper 2: 最大最小と応用問題。HL では Complex Number と接続。 |
| Polynomial（多項式） | 因数定理・剰余定理、Synthetic Division、Rational Root Theorem、3 次以上の因数分解、グラフの挙動 | Paper 1: 因数分解、Paper 2: 多項式の零点と Complex Roots、Paper 3: Polynomial の応用。 |
| Rational Function | y = P(x)/Q(x)、垂直・水平・斜漸近線、不連続点、Partial Fractions（部分分数分解） | Paper 1: 漸近線と零点、Paper 2: グラフ描画、HL Calculus（積分）と接続。 |
| Exponential（指数） | y = a^x、自然指数 e^x、指数法則、指数方程式・不等式 | Paper 1: 指数方程式、Paper 2: 応用（人口モデル・複利）、HL Calculus と接続。 |
| Logarithmic（対数） | log_a(x)、自然対数 ln(x)、Log laws、底の変換、対数方程式・不等式 | Paper 1: 対数方程式、Paper 2: 真数条件の確認、HL Calculus（積分・微分）と接続。 |
| Trigonometric（三角関数） | 単位円、sin/cos/tan、Pythagoras 恒等式、加法定理、倍角・半角、三角方程式、逆三角関数 | Paper 1: 三角方程式（電卓不可）、Paper 2: 応用、Paper 3: 証明問題で頻出。 |
| Complex Numbers（複素数、HL only） | z = a + bi（直交形式）、r·e^(iθ)（極形式）、Euler 公式、de Moivre 定理、単位根（Roots of Unity） | Paper 1: 累乗・除算、Paper 2: Argand 図、Paper 3: PMI 証明と単位根の応用。HL only。 |
※ AA HL の全範囲（Functions 以外の 4 領域）の概観は IB Math 4 区分 完全攻略 をご参照ください。
【② 2 次関数（Quadratic）の核】
2 次関数 y = ax² + bx + c は AA HL の中で最も基礎的でありながら、Complex Number と接続する重要な入り口です。AA HL では判別式 D = b² − 4ac の符号で「実数解 / 重解 / 複素共役解」の 3 パターンを瞬時に判定する力が要求されます。
判別式 D = b² − 4ac の 3 パターン
| 条件 | 解の型 | 例 |
|---|---|---|
| D > 0 | 実数解 2 つ（distinct real roots） | x² − 5x + 6 = 0 → D = 25 − 24 = 1 > 0 → x = 2, 3 |
| D = 0 | 重解（repeated real root） | x² − 4x + 4 = 0 → D = 16 − 16 = 0 → x = 2（重解） |
| D < 0 | 複素共役解（complex conjugate pair） | x² + 2x + 5 = 0 → D = 4 − 20 = -16 < 0 → x = -1 ± 2i |
解の公式（Quadratic Formula）
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。AA HL Paper 1 では分数・根号をそのまま保持。√ 内が負の場合は ±i√|D|/(2a) として複素共役解で表現。
頂点形式（Completing the Square）
y = a(x − h)² + k に変形すれば、頂点 (h, k) と最大最小が即座に分かる。h = −b/(2a)、k = c − b²/(4a)。Paper 2 の Optimization で頻出。
Vieta の公式
2 解 α, β に対し α + β = −b/a、αβ = c/a。Polynomial 領域の Rational Root Theorem や Complex Roots の和・積の計算に応用。
最大最小と区間の応用
閉区間 [p, q] での最大最小は ①頂点が区間内 / 外、②端点の値の 2 比較で解く。Paper 2 で「面積・体積の最大化」問題として頻出。
Paper 1 落とし穴：「判別式 D > 0 となる k の範囲を求めよ」型は、k に関する不等式 b(k)² − 4a(k)·c(k) > 0 を解いて k の区間を答える。a, b, c が k の関数になっているケースが頻出のため、b² と 4ac を別々に展開して整理する習慣を。
【③ 多項式（Polynomial）と剰余定理】
3 次以上の Polynomial の因数分解は AA HL Paper 1 / Paper 2 で必須技能。Factor Theorem（因数定理）・Remainder Theorem（剰余定理）・Synthetic Division（組立除法）・Rational Root Theorem（有理根定理）の 4 ツールを使い分けます。
Factor Theorem（因数定理）
P(x) を (x − a) で割って余りが 0 ⇔ P(a) = 0 ⇔ (x − a) は P(x) の因数。例：P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 で P(1) = 0 → (x − 1) が因数。
Remainder Theorem（剰余定理）
P(x) を (x − a) で割った余り = P(a)。長除法（Long Division）を回避できるため計算高速化に有効。
Rational Root Theorem
整数係数の Polynomial で、有理根 p/q が存在するなら p は定数項の約数、q は最高次係数の約数。候補を絞ってから Factor Theorem で検証。
Synthetic Division（組立除法）
(x − a) で割る場合の高速計算法。係数を 1 行に並べ、a を掛けて加算する操作を繰り返す。AA HL Paper 1 で時間を稼ぐ必須技。
3 次方程式の解法フロー（例：x³ − 7x + 6 = 0）
- Rational Root 候補列挙：定数項 6 の約数 = ±1, ±2, ±3, ±6。最高次係数 1 なので候補は ±1, ±2, ±3, ±6 の 8 個。
- Factor Theorem で検証：P(1) = 1 − 7 + 6 = 0 → (x − 1) が因数。
- Synthetic Division で商を計算：x³ − 7x + 6 = (x − 1)(x² + x − 6)。
- 残った 2 次式を因数分解：x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2)。
- 全因数：x³ − 7x + 6 = (x − 1)(x + 3)(x − 2)。解：x = 1, 2, -3。
HL only ポイント：4 次以上の Polynomial で実数係数の場合、Complex Roots は必ず共役ペア（a+bi と a−bi）で出現。これを「Conjugate Root Theorem」と呼び、Paper 2 / Paper 3 で頻出。「α = 1+2i が解なら α* = 1−2i も解、よって (x − (1+2i))(x − (1−2i)) = x² − 2x + 5 が因数」の流れで解きます。
【④ 有理関数（Rational Functions）】
有理関数 y = P(x)/Q(x) のグラフ描画は AA HL Paper 1 / Paper 2 で頻出。垂直漸近線・水平漸近線・斜漸近線の 3 種を判別し、x 切片・y 切片・極値を全て書き込むのが定石です。Partial Fractions は積分（Calculus）と接続する重要技法。
垂直漸近線（Vertical）
分母 Q(x) = 0 かつ分子 P(x) ≠ 0 の x 座標で発生。例：y = (x+1)/(x−2) → x = 2 が垂直漸近線。
水平漸近線（Horizontal）
分子・分母の次数が同じなら漸近線 = 最高次係数の比。次数が分子 < 分母なら y = 0。
斜漸近線（Oblique / Slant）
分子の次数 = 分母の次数 + 1 のとき発生。長除法（Polynomial Division）で商 = 漸近線の式を求める。
Partial Fractions（部分分数分解）の 3 パターン
- 異なる 1 次因数：1/((x−1)(x+2)) = A/(x−1) + B/(x+2)。両辺に分母を掛けて A, B を求める。
- 重複する 1 次因数：1/((x−1)²(x+2)) = A/(x−1) + B/(x−1)² + C/(x+2)。重複次数まで全て分解。
- 既約 2 次因数：(x+1)/((x²+1)(x−2)) = (Ax+B)/(x²+1) + C/(x−2)。2 次因数の分子は 1 次の Ax+B。
Calculus との接続：Partial Fractions は HL Calculus の積分（∫ 1/(x²+x-2) dx 型）で必須。Functions 章で Partial Fractions を完全マスターしておくと、Calculus 章の負担が大きく減ります。Calculus 領域の詳細は AA HL Calculus 完全攻略 を参照（公開予定）。
【⑤ 指数・対数（Exp / Log）】
指数関数 y = a^x（特に y = e^x）と対数関数 y = log_a(x)（特に y = ln(x)）は互いに逆関数で、AA HL では Calculus と密接に絡みます。Log laws（対数法則）の 6 つを完全暗記し、真数条件（log の引数は正）を方程式の解検証で必ず使うのが鉄則。
| 法則名 | 公式 | 注意点 |
|---|---|---|
| 積の法則 | log(ab) = log a + log b | 真数条件 a > 0, b > 0 が前提。 |
| 商の法則 | log(a/b) = log a − log b | 分母 b ≠ 0 かつ b > 0。 |
| 累乗の法則 | log(a^n) = n log a | n は実数で OK。最も頻用される変形。 |
| 底の変換 | log_a(b) = log_c(b) / log_c(a) | 電卓で log_10 か ln しか使えないため必須。 |
| 特殊値 | log_a(a) = 1、log_a(1) = 0、log_a(a^n) = n | Paper 1 の短答で頻出。 |
| 指数↔対数 | log_a(b) = c ⇔ a^c = b | 方程式の変換で必須。 |
指数方程式の解法フロー（例：4^x − 3·2^x − 4 = 0）
- 置換：4^x = (2^x)² なので t = 2^x と置く（t > 0）。
- 2 次方程式に帰着：t² − 3t − 4 = 0 → (t − 4)(t + 1) = 0。
- 解の検証：t = 4 or t = -1。t > 0 なので t = -1 棄却。
- x を求める：2^x = 4 → x = 2。
対数方程式の落とし穴：「log x + log(x − 2) = log 15」を log[x(x−2)] = log 15 と変形し x² − 2x − 15 = 0 → x = 5 or -3 を解いた後、必ず真数条件 x > 0 かつ x − 2 > 0 すなわち x > 2 をチェック。x = -3 は棄却され x = 5 のみ正解。これを忘れると Paper 1 で 2-3 点失います。
【⑥ 三角関数（Trigonometric）】
三角関数は AA HL の中で「暗記量と応用力の両方が問われる」最重量級トピック。単位円の主要 12 角度の sin / cos / tan を瞬時に取り出せる暗記基盤の上に、加法定理 → 倍角・半角 → 三角方程式の解法ツリーが積み上がります。
単位円の主要 12 角度（暗記必須）
| 角度（rad） | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| π/2 | 1 | 0 | 未定義 |
| π | 0 | -1 | 0 |
※ 第 2-4 象限（2π/3, 3π/4, 5π/6, 7π/6, 5π/4, 4π/3, 5π/3, 7π/4, 11π/6 等）は対称性で展開。単位円の暗記法は 単位円の覚え方ショート に動画化されています。
| 恒等式名 | 公式 | 用途 |
|---|---|---|
| Pythagoras 恒等式 | sin²θ + cos²θ = 1 | sin と cos の相互変換。tan²θ + 1 = sec²θ、1 + cot²θ = csc²θ も派生。 |
| 加法定理（sin） | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB | 角度の合成・分解。倍角・半角の導出元。 |
| 加法定理（cos） | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB | 符号が逆になる点に注意。Paper 1 頻出。 |
| 倍角公式（sin） | sin 2A = 2 sinA cosA | 加法定理で A = B と置いた結果。三角方程式で頻出。 |
| 倍角公式（cos） | cos 2A = cos²A − sin²A = 1 − 2sin²A = 2cos²A − 1 | 3 形式を使い分け。半角の導出元。 |
| 半角公式 | sin²A = (1 − cos 2A)/2、cos²A = (1 + cos 2A)/2 | sin² や cos² の積分で必須。HL Calculus と接続。 |
| 積→和の公式 | 2 sinA cosB = sin(A+B) + sin(A-B) | AA HL Paper 3 で出題されることがある。導出は加法定理から。 |
三角方程式の解法フロー（例：sin 2x = sin x, x ∈ [0, 2π)）
- 倍角公式で展開：sin 2x = 2 sin x cos x。
- 方程式の整理：2 sin x cos x − sin x = 0 → sin x (2 cos x − 1) = 0。
- 因数ごとに解：sin x = 0 → x = 0, π。2 cos x − 1 = 0 → cos x = 1/2 → x = π/3, 5π/3。
- 区間内の全解を列挙：x = 0, π/3, π, 5π/3 の 4 解。
Paper 1 落とし穴：区間が [0, 2π) なのか [-π, π] なのか [0, 360°] なのかを最初に確認。tan の方程式は周期 π なので解の個数が sin / cos の半分になる点に注意。cos²x = 1/4 のような場合は cos x = ±1/2 と両方の符号を取り、解の本数は 4 個になります。
【⑦ 複素数（Complex Numbers、HL only）】
Complex Numbers は AA HL only のトピックで、SL では扱いません。Paper 1 / Paper 2 / Paper 3 の差別化ポイントになるため、Functions & Equations 章で最も投資効果の高い領域です。3 つの表現形式（直交 / 極 / Euler）を自在に変換し、de Moivre 定理で累乗・根を計算する力が要求されます。
| 形式 | 表現 | 最適な用途 |
|---|---|---|
| 直交形式（Cartesian） | z = a + bi（a = Re(z), b = Im(z)） | 足し算・引き算、Argand 図への作図、実部・虚部の比較。 |
| 極形式（Polar / Modulus-Argument） | z = r(cos θ + i sin θ)、r = |z| = √(a² + b²)、θ = arg(z) | 掛け算・割り算、回転変換、図形的解釈。 |
| Euler 形式（指数形式） | z = r·e^(iθ)（Euler 公式 e^(iθ) = cos θ + i sin θ） | 累乗・n 乗根、de Moivre 定理、単位根の計算。HL Paper 1/3 で頻出。 |
Euler 公式 e^(iθ) = cos θ + i sin θ
複素数を指数関数で表現する魔法の公式。π を代入すると e^(iπ) + 1 = 0（Euler 等式）。指数の和の法則を使えば三角関数の加法定理が自然に出る。
de Moivre 定理
[r(cos θ + i sin θ)]^n = r^n(cos nθ + i sin nθ)。AA HL Paper 1 / Paper 3 で頻出。PMI で証明する技を必ず練習。
n 乗根（n-th Roots）
z^n = w の解は z_k = w^(1/n)·e^(i(θ+2kπ)/n)、k = 0, 1, ..., n−1 で n 個。Argand 図で正 n 角形の頂点に並ぶ。
単位根（Roots of Unity）
z^n = 1 の解は z_k = e^(i·2kπ/n)、k = 0, ..., n−1。和は 0、積は (-1)^(n+1)。代数的構造（群論）の入り口で Paper 3 頻出。
de Moivre 定理の応用例（(1+i)^10 を計算）
- 直交→極形式に変換：1 + i = √2·(cos π/4 + i sin π/4) = √2·e^(iπ/4)。
- de Moivre 定理を適用：(1+i)^10 = (√2)^10·e^(i·10π/4) = 32·e^(i·5π/2)。
- 角度を [0, 2π) に正規化：5π/2 = 2π + π/2、よって e^(i·5π/2) = e^(iπ/2) = i。
- 最終解：32·i。直交形式での 11 項二項展開を回避できる。
Paper 3 頻出パターン：「z^5 = 1 の全ての解を Argand 図に図示し、それらを頂点とする正五角形の面積を求めよ」型。単位根を求める → 正 n 角形が単位円に内接していることを利用 → 三角形に分割して面積計算、の流れ。複素数とユークリッド幾何の融合問題は Paper 3 の典型出題です。複素数の極形式変換に焦点を当てた動画解説は AA HL 複素数 極形式ショート をご覧ください。
【⑧ 過去問演習プラン 30 日】
AA HL Functions & Equations 章を 30 日で総ざらいする実践プラン。DP 1 後半（Year 12 の 6-9 月）または DP 2 の試験前 1 ヶ月での集中対策を想定しています。各セクションの教科書末問題 + 過去問 Paper 1 / Paper 2 セットを組み合わせ、最終 2 日で本番形式の完走テストで弱点を炙り出します。
| 日程 | 学習テーマ | アウトプット目標 |
|---|---|---|
| Day 1-3 | Linear / Quadratic 復習。判別式の 3 パターン、頂点形式、Vieta、最大最小の応用問題。 | 教科書末問題 30 問 + Paper 1 過去問の Quadratic セクション 2 セット。 |
| Day 4-7 | Polynomial。Factor Theorem / Remainder Theorem、Synthetic Division、Rational Root Theorem、3-4 次の因数分解。 | 因数分解 50 問（うち 10 問は Complex Roots 含む）+ Paper 2 過去問 1 セット。 |
| Day 8-10 | Rational Function。垂直・水平・斜漸近線、Partial Fractions、グラフ描画（切片 / 漸近線 / 極値）。 | Rational Function のグラフ 20 問 + Partial Fractions 15 問。 |
| Day 11-14 | Exponential / Logarithmic。指数法則、log laws、底の変換、指数・対数方程式、真数条件。 | Paper 1 過去問の Exp/Log セクション 3 セット + 真数条件チェック 20 問。 |
| Day 15-20 | Trigonometric。単位円暗記、加法定理、倍角・半角、三角方程式、逆三角関数。 | 単位円 30 秒テスト 10 回 + 三角方程式 40 問 + Paper 1 過去問の Trig セクション 3 セット。 |
| Day 21-25 | Complex Numbers。直交↔極形式↔Euler 形式の変換、de Moivre 定理、単位根、Argand 図。 | Complex Number 練習 30 問（うち 10 問は単位根）+ de Moivre の PMI 証明を 2 パターン書く。 |
| Day 26-28 | Composite / Inverse Function、Domain / Range、Function Transformation（平行移動 / 拡大 / 折返し）。 | Function 操作 25 問 + Paper 2 過去問 1 セット。 |
| Day 29-30 | 本番形式の Paper 1 完走（120 分計時）+ 自己採点 + 弱点リスト作成。 | Paper 1 1 セット完走、各章の正答率を表に整理し、次のサイクルで集中する弱点 3 つを選定。 |
運用のコツ：4 ステップで回します。
- ①「教科書末問題 → 過去問」の順で「概念定着 → 試験形式適応」の 2 段階を踏む
- ②Paper 1（電卓不可）の手計算は、必ず時間を計る（Paper 1 は 1 点約 1 分強）
- ③間違えた問題は、その日のうちに『なぜ間違えたか』を 1 行メモ
- ④30 日後に弱点 3 つを選び、次のサイクルで集中強化
Functions 章は、他のすべての AA HL 領域（Calculus / Vector / Statistics）の基盤です。ここで 7 を取れる地力が、後の章にも波及します。
【FAQ】
AA HL Functions & Equations 章で生徒・保護者から最も多く寄せられる 8 つの疑問にお答えします。
Q. 単位円を最速で暗記する方法は？
単位円暗記の最速ルートは ①「主要 4 角（0, π/2, π, 3π/2）の座標を体に染み込ませる」、②「第 1 象限の 3 点（π/6, π/4, π/3）を『1/2 → √2/2 → √3/2』の階段で覚える」、③「対称性で 4 象限に展開」の 3 段階。具体的には、sin の値を見たら「分子の √ 内の数字（1, 2, 3）が角度の小ささに対応」と関連付けると瞬時に思い出せます。π/6 → sin = 1/2、π/4 → sin = √2/2、π/3 → sin = √3/2。cos は sin と対称（x = cos, y = sin）なので、cos π/6 = √3/2、cos π/4 = √2/2、cos π/3 = 1/2。第 2-4 象限は符号反転（sin は y 軸、cos は x 軸の符号）で対応。南数塾では「単位円 30 秒テスト」（無作為の 12 角度の sin / cos / tan を 30 秒で全て答える）で AA HL 生に定着させています。Paper 1（電卓不可）の三角関数問題では、この暗記が解答時間を 2-3 倍速くします。
Q. 加法定理は語呂で覚えるべきですか？
結論：語呂はサブ、構造理解がメイン。sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB、cos(A+B) = cosA cosB − sinA sinB が基本 4 式（sin / cos × +/-）の核ですが、語呂（『咲いたコスモス、コスモス咲いた』『コスモスコスモス、咲かない咲かない』等）は試験中の最後の確認用に留め、普段は ①「sin は混合（sin × cos の足し算）」、②「cos は同類（cos × cos と sin × sin、ただし符号反転）」、③「+/- は中央の符号と sin の符号が一致、cos の中央符号は逆」の構造で覚えるべきです。倍角は加法定理で A = B と置けば自動導出（sin 2A = 2 sinA cosA、cos 2A = cos²A − sin²A = 1 − 2sin²A = 2cos²A − 1）。半角は cos 2A の 3 形を sin²A = (1 − cos 2A)/2 と cos²A = (1 + cos 2A)/2 に変形して使う。AA HL Paper 1 の三角方程式（例：sin 2x = sin x を [0, 2π) で解け）は、加法定理 + 倍角を「導出する力」で 7 が決まります。語呂は緊急用、構造は普段使い、と切り分けてください。
Q. 複素数 z = a+bi（直交形式）と r·e^(iθ)（極形式）はどう使い分けますか？
使い分けの原則：①「足し算・引き算 → 直交形式 a+bi」、②「掛け算・割り算・累乗 → 極形式 r·e^(iθ) または r(cos θ + i sin θ)」。理由は、直交形式は実部と虚部を独立に足せばよい（(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i）一方、累乗は (a+bi)^n を展開すると爆発的に項が増えるため、極形式の de Moivre 定理 [r(cos θ + i sin θ)]^n = r^n(cos nθ + i sin nθ) を使えば一発で解けます。実例：(1+i)^10 を解け。直交形式での展開は二項定理で 11 項計算が必要だが、極形式に変換すれば 1+i = √2·e^(iπ/4) なので (√2)^10·e^(i·10π/4) = 32·e^(i·5π/2) = 32·e^(iπ/2) = 32i。AA HL Paper 1 / Paper 2 では、複素数問題が出たら最初に「これは累乗か？除算か？」を判定し、必要なら直交→極形式に変換するのが定石です。逆に Argand 図（複素平面の作図）は直交形式の方が直感的なので、グラフィカルな問題では a+bi を使います。
Q. de Moivre 定理の証明手順を教えてください
de Moivre 定理 [cos θ + i sin θ]^n = cos nθ + i sin nθ は AA HL のシラバス内で「数学的帰納法（Mathematical Induction, PMI）で証明できる」ことが期待されています。証明 3 ステップ：①【Base Case】n = 1 のとき左辺 = cos θ + i sin θ、右辺 = cos θ + i sin θ で成立。②【Inductive Step】n = k で成立すると仮定、すなわち [cos θ + i sin θ]^k = cos kθ + i sin kθ。n = k+1 のとき左辺 = [cos θ + i sin θ]^k · [cos θ + i sin θ] = (cos kθ + i sin kθ)(cos θ + i sin θ)。③【展開と加法定理】(cos kθ cos θ − sin kθ sin θ) + i(sin kθ cos θ + cos kθ sin θ) = cos(k+1)θ + i sin(k+1)θ（加法定理）。④【結論】PMI により全ての正整数 n で成立。負整数 n についても 1/[cos θ + i sin θ] = cos(-θ) + i sin(-θ) から拡張可能。AA HL Paper 1 / Paper 3 で「証明せよ」と出題された場合は、PMI のフォーマット（Base / Hypothesis / Inductive Step / Conclusion の 4 ブロック）を必ず明示し、加法定理を引用したことを 1 行追記すると Mathematical Communication の点数が上がります。
Q. Paper 1 の三角方程式（電卓不可）はどう解きますか？
AA HL Paper 1 の三角方程式は「電卓不可 + 与えられた区間（例 [0, 2π) や [-π, π]）で全ての解を列挙」が定型。攻略 5 ステップ：①「区間の確認」（[0, 2π) なら 2 周期分、[-π, π] なら 1 周期分）、②「式の正規化」（sin / cos / tan の 1 種類に揃える、または cos²x = 1 − sin²x で sin だけにする）、③「因数分解 or 置換」（sin x = t と置いて 2 次方程式に帰着するケースが多い）、④「基本角の解答」（単位円の暗記値 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π などを使う）、⑤「区間内の全解を列挙」（sin x = 1/2 なら [0, 2π) で x = π/6 と 5π/6 の 2 解）。落とし穴：tan の場合の周期は π なので解が k·π 単位で増えること、cos²x = 1/4 のような場合は cos x = ±1/2 の両方を取り 4 解になること、t = sin x の解が [-1, 1] の範囲外なら棄却すること。AA HL Paper 1 では「全ての解を列挙」が点数に直結するため、区間内の解の本数を必ず確認する習慣をつけてください。南数塾の Paper 1 演習では、三角方程式に特化した 30 分セット（10 問）で本番感覚を養成します。
Q. Composite function（合成関数）の domain（定義域）はどう求めますか？
合成関数 (f∘g)(x) = f(g(x)) の domain は ①「g の domain に含まれ」、かつ ②「g(x) が f の domain に含まれる」x の集合。手順 4 ステップ：①「g の domain を書き出す」（例：g(x) = √(x-1) なら domain は x ≥ 1）、②「f の domain を書き出す」（例：f(x) = 1/(x-2) なら domain は x ≠ 2）、③「g(x) = f の domain に入る x を求める」（例：g(x) = √(x-1) ≠ 2、すなわち x ≠ 5）、④「①と③の共通部分」（x ≥ 1 かつ x ≠ 5 → [1, 5) ∪ (5, ∞)）。AA HL Paper 1 / Paper 2 では合成関数の domain が頻出ですが、「f の domain だけ」「g の domain だけ」を見て答えるミスが多発。両方を考慮し、g(x) の値が f に通る条件を必ず書き加えてください。Range（値域）の場合は、合成関数の最終出力 (f∘g)(x) の取り得る値を計算し、不等式または区間表記（[a, b], (a, b) など）で答えます。
Q. Inverse function（逆関数）の作り方は？
逆関数 f⁻¹(x) の作成は 4 ステップ：①「y = f(x) と書く」、②「x と y を入れ替える」（x = f(y)）、③「y について解く」、④「y = f⁻¹(x) として書き直す」。例：f(x) = (2x + 3)/(x − 1) の逆関数。y = (2x + 3)/(x − 1) → x = (2y + 3)/(y − 1) → x(y − 1) = 2y + 3 → xy − x = 2y + 3 → y(x − 2) = x + 3 → y = (x + 3)/(x − 2) なので f⁻¹(x) = (x + 3)/(x − 2)。重要 3 ポイント：①「f が 1 対 1（One-to-One）でないと逆関数は存在しない」（例：f(x) = x² の逆関数を取るには domain を x ≥ 0 に制限）、②「f の domain ⇔ f⁻¹ の range、f の range ⇔ f⁻¹ の domain」、③「y = f(x) と y = f⁻¹(x) のグラフは直線 y = x について対称」。AA HL Paper 1 では逆関数のグラフ描画問題が頻出。元の関数の特徴点（切片・漸近線・極値）を y = x で折り返した点を全て書き込むのがコツです。
Q. Log laws（対数法則）で見落としやすい点は？
Log laws の 5 法則（①log(ab) = log a + log b、②log(a/b) = log a − log b、③log(a^n) = n log a、④change of base log_a(b) = log_c(b)/log_c(a)、⑤log_a(a) = 1, log_a(1) = 0）は基本ですが、AA HL での見落としポイント 5 つ：①「真数条件」（log の引数は必ず正、log(x − 3) なら x > 3 を最初に書く）、②「底の制限」（底 a は a > 0, a ≠ 1）、③「方程式での解の検証」（log x + log(x − 2) = log 15 → log[x(x − 2)] = log 15 → x² − 2x − 15 = 0 → x = 5 or -3、ただし真数条件 x > 2 で x = -3 棄却）、④「指数と対数の相互変換」（log_a(b) = c ⇔ a^c = b、これを書き出す癖をつける）、⑤「自然対数 ln と常用対数 log の混在」（IB では ln = log_e、log は文脈により log_10 か log_e、HL では明示するのが安全）。AA HL Paper 1 / Paper 2 では log と exp の連立方程式が頻出。Change of base を使って同じ底に揃え、置換（log a = t）で 2 次方程式に帰着するパターンを必ず練習してください。
【関連リンク】
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